感悟數(shù)形結(jié)合思想　提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

劉劍華

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想作為重要的數(shù)學(xué)思想，其有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生獲得更好的學(xué)習(xí)體驗，提升學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì).在二次函數(shù)的復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師精心創(chuàng)設(shè)問題鏈，讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下積累研究函數(shù)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)研究中蘊含的數(shù)形結(jié)合的思想，著力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；學(xué)習(xí)品質(zhì)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在每章內(nèi)容學(xué)習(xí)后，教師大多會安排時間進行單元復(fù)習(xí)，以便通過有效的復(fù)習(xí)幫助學(xué)生建構(gòu)完善的知識體系，提煉數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生解決問題的能力.筆者以“二次函數(shù)的復(fù)習(xí)課”為例，通過數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，提高教學(xué)有效性讓學(xué)生較好地感悟思想、理解數(shù)學(xué).

1 教學(xué)分析

二次函數(shù)的復(fù)習(xí)課安排在本章內(nèi)容全部學(xué)完后，通過有效地回顧、思考、總結(jié)歸納本章教學(xué)的重難點，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究方法，提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力.二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的地位，其既有利于學(xué)生進一步理解函數(shù)的概念，又為后期學(xué)習(xí)一元二次不等式奠定了基礎(chǔ).

從教學(xué)反饋來看，學(xué)生在解題時大多是從“數(shù)”的角度出發(fā)，習(xí)慣運用代數(shù)的方法解決問題，從而使得運算過程煩瑣，影響了解題效果.其實，學(xué)生之所以數(shù)形結(jié)合意識不強也與教師的教息息相關(guān)，大多教師對數(shù)形結(jié)合的認識不夠充分，導(dǎo)致課堂上數(shù)學(xué)思想方法的滲透流于形式，導(dǎo)致學(xué)生對知識的理解不夠深刻，難以靈活應(yīng)用相關(guān)知識解決問題，影響了解題效果.因此，在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師可嘗試通過適度的啟發(fā)和引導(dǎo)讓學(xué)生逐漸感悟數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)學(xué)生參與課堂的積極性，提高教學(xué)效率.

2 教學(xué)簡述

2.1 內(nèi)容回顧，體驗數(shù)形結(jié)合思想

師：對于數(shù)形結(jié)合的思想方法大家并不陌生，誰來說一說，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合有什么好處呢？

生1：“形”比較直觀，利用“形”可以開闊視野，拓寬思路.不過“形”不夠嚴謹，需要以“數(shù)”為依托，兩者相互聯(lián)系，相互依存.在解題時合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合可以快速形成思路，提高解題效率.

師：說得很好，今天我們就用數(shù)形結(jié)合的思想來復(fù)習(xí)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

師：圖1是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象，結(jié)合圖象說一說，你能得到什么結(jié)論？

生1：與x軸交點坐標(biāo)分別為（3，0）和（-1，0），頂點坐標(biāo)為（1，4）.

師：很好，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：圖象開口向下，故a＜0；對稱軸位于y軸的右側(cè)，而a＜0，根據(jù)左同右異原則可知b＞0；圖象與y軸的交點位于y軸的正半軸，故c＞0.

師：很好，觀察得非常仔細.請大家繼續(xù)觀察，看看還能得到哪些信息？（生沉思）

生3：根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)可以圖象有最大值，且最大值為4；圖象與x軸有兩個交點，所以有b²-4ac＞0；根據(jù)頂點式易求得二次函數(shù)表達式y(tǒng)=-（x-1）²+4.

師：很好，你剛剛是利用哪兩個點得到二次函數(shù)的

頂點式表達式的呢？

生4：利用頂點（1，4）和與x軸交點（3，0）.

師：如果把二次函數(shù)y=-（x-1）²+4向左平移1個單位，向下平移4個單位，你會得到一個什么樣的二次函數(shù)？

生5：平移后圖象的對稱軸為y軸，頂點坐標(biāo)為（0，0），得到的二次函數(shù)的解析式為y=-x².

師：很好，如果把二次函數(shù)y=-x²向上平移6個單位，你得到的二次函數(shù)解析式是什么？把二次函數(shù)y=-x²向右平移3個單位呢？

生6：兩個函數(shù)分別為y=-x²+6和y=-（x-3）².

師：結(jié)合以上平移過程，請大家總結(jié)歸納一下，函數(shù)圖象的平移遵循的什么原則？

生齊聲答：左加右減，上加下減.

師：剛剛這位同學(xué)結(jié)合函數(shù)圖象特點，利用頂點式得到了二次函數(shù)表達式，是否可以用其他方法得到二次函數(shù)表達式呢？

生4：已知二次函數(shù)與x軸交點坐標(biāo)分別為（3，0）和（-1，0），故可以應(yīng)用交點式求出二次函數(shù)表達式.

生7：已知二次函數(shù)與x軸交點坐標(biāo)分別為（3，0）和（-1，0），頂點坐標(biāo)為（1，4），所以還可以利用一般式來求二次函數(shù)的表達式.

師：很好，大家現(xiàn)在動手做一做，看看利用其它兩種方法求出的二次函數(shù)解析式是什么？本題應(yīng)用哪種方法最方便呢？

設(shè)計意圖：教師預(yù)留充足的時間讓學(xué)生觀察，盡量多地挖掘已知信息，這樣既幫助學(xué)生回顧了舊知，促進了知識的鞏固，又為接下來多角度探究奠定了基礎(chǔ).在此過程中，教師精心創(chuàng)設(shè)問題鏈，讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下自主探究、合作交流，總結(jié)歸納圖象的平移遵循的法則，并自然得出了二次函數(shù)的另外兩種表達方式，促進了學(xué)生認知體系的建構(gòu)與完善^［1］.

師：觀察圖1，你還能挖掘出其他的信息嗎？

生8：令圖象與y軸的交點為點C，其坐標(biāo)為（0，3），點F與點C關(guān)于x=1對稱，其坐標(biāo)為（2，3），直線CF平行于x軸.

師：你是如何求點C的坐標(biāo)的呢？（師追問）

生8：我是利用解方程的方法求解的，將x=0代入函數(shù)解析式，解得y=3.

師：很好，利用數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)了二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，那么它與一元二次不等式呢？兩者是否存在一定的聯(lián)系呢？

設(shè)計意圖：借助問題，將二次函數(shù)，一元二次方程和一元二次不等式建立聯(lián)系，讓新、舊知識相互溝通，豐富學(xué)生已有認知，鍛煉學(xué)生觀察能力、分析能力和遷移能力.

師：若從線段的角度去思考，你又有什么發(fā)現(xiàn)？（為了便于表述，教師給出圖2）

生9：OA=1，OB=3，OC=3.結(jié)合已知，根據(jù)勾股定理，易求線段AC的長.

師：思考一下，四邊形ABDC的面積是否可求呢？

問題給出后，學(xué)生積極思考，分別求出S_△AOC，S_梯形AOCD，S_△BAD的面積，問題即可獲解.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生從不同角度挖掘圖象信息，鍛煉了學(xué)生“動腦”“動口”的好習(xí)慣，充分調(diào)動了學(xué)生參與活動的積極性，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)和合作交流中獲得了可持續(xù)發(fā)展的能力，提高了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)^［2］.

在以上教學(xué)活動中，教師以學(xué)生的發(fā)現(xiàn)為主線，有組織、有目的、有針對性地引導(dǎo)學(xué)生進行探索研究，側(cè)重于學(xué)生能力的提高和思維的訓(xùn)練，提高了學(xué)生綜合能力和綜合素養(yǎng).

2.2 引導(dǎo)探究，感悟數(shù)形結(jié)合思想

師：若想使該拋物線經(jīng)平移后通過坐標(biāo)原點，可以如何平移呢？

生10：可以左右平移，向左平移3個單位或向右平移1個單位.

師：分別作該拋物線關(guān)于x軸和y軸的軸對稱圖形，你能求出對應(yīng)拋物線的解析式嗎？

（為了降低問題的難度，教師將問題進行拆分，通過分步引導(dǎo)，幫助學(xué)生形成策略）

師：我們先來分析關(guān)于y軸的軸對稱圖形，它的開口方向、開口大小如何變化，其對稱軸及與y軸的交點又是什么呢？（教師鼓勵學(xué)生通過動手畫尋找解題思路）

生11：開口方向、開口大小、與y軸交點均不變，所以a和c的值也不變.對稱軸由直線x=1變成了x=-1，根據(jù)左同右異得b=-2，所以拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+2x+3關(guān)于y軸的軸對稱圖形的解析式為y=-x²-2x+3.

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生通過分析開口方向、開口大小、與y軸交點等內(nèi)容，求得該拋物線關(guān)于x軸的軸對稱圖形的解析式為y=x²-2x-3.

師：若將拋物線y=-x²+2x+3繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°，你還能求出拋物線的解析式嗎？

設(shè)計意圖：通過平移變換、軸對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換，讓學(xué)生在變換中更好地體驗數(shù)學(xué)，培養(yǎng)思維的靈活性，鍛煉學(xué)生思維，增強學(xué)生學(xué)習(xí)信心，讓學(xué)生在合作研究中更好地體驗數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

2.3 課堂小結(jié)，升華認知

師：通過本課的復(fù)習(xí)，你學(xué)到了什么？還有哪些困惑？

教師預(yù)留時間讓學(xué)生進行反思、回顧，并鼓勵學(xué)生進行組內(nèi)交流.

設(shè)計意圖：通過反思、交流引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容進行梳理，從而使學(xué)生掌握的知識更加系統(tǒng)化、條理化，既便于學(xué)生理解與記憶，又促進了知識的遷移與重構(gòu)，有利于提高學(xué)生綜合應(yīng)用能力^［3］.在此環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生對獲取知識中涉及的思想、方法、策略進行反思，以此深化知識理解，積累活動經(jīng)驗，明確數(shù)形結(jié)合思想.另外，通過小結(jié)可以讓教師更好地了解學(xué)生之所思、之所獲、之所難，從而為針對性教學(xué)活動的創(chuàng)設(shè)提供了教學(xué)依據(jù)，有利于提高教學(xué)有效性.

3 教學(xué)思考

在本課教學(xué)中，教師以數(shù)形結(jié)合思想為核心，通過創(chuàng)設(shè)合理的問題情境將二次函數(shù)二項性質(zhì)、三種表示、平移變換、軸對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換等內(nèi)容有效地關(guān)聯(lián)在一起，通過潛移默化的啟發(fā)和引導(dǎo)幫助學(xué)生建構(gòu)了完善的知識體系.同時，本課教學(xué)中，教師貫徹以生為主導(dǎo)，以生為主體的教育理念，打破了傳統(tǒng)講授的枯燥與乏味，讓學(xué)生體驗了自主探究的樂趣，并讓學(xué)生在自主探究中獲得了知識、掌握了技能，明確數(shù)形結(jié)合思想，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注于知識與技能的提升，也要關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解和感悟.在教學(xué)中可以創(chuàng)設(shè)有效的問題情境讓學(xué)生去思考、去探索、去提煉，以此提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 張海芳.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透［J］.數(shù)學(xué)大世界：上旬，2021（3）：90-91.

［2］ 徐春華.核心素養(yǎng)下初中數(shù)學(xué)生本課堂的構(gòu)建研究［J］.科學(xué)咨詢，2019（9）：146.

［3］ 巨彥春.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)滲透路徑探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)：初中版，2021（18）：86-87.