基于數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的高階抽象思維能力培養(yǎng)探析

顧鋒

摘 要：數(shù)學(xué)高階抽象思維能力的培養(yǎng)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要目標(biāo)之一，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展具有重要的作用和價(jià)值.本文旨在探討高中數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的數(shù)學(xué)高階抽象思維能力的培養(yǎng)方法，介紹了高階抽象思維能力在高中數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要性和在教學(xué)中所面臨的挑戰(zhàn)，提出了具體的培養(yǎng)方法和措施.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)建模；抽象思維；培養(yǎng)方法；提煉與提升

在新課程背景之下，數(shù)學(xué)高階抽象思維能力已成為現(xiàn)代教育的重要目標(biāo)之一.尤其在高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中，學(xué)生需要運(yùn)用抽象思維解決實(shí)際問(wèn)題，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的高階抽象思維能力提出了更高要求.然而，目前學(xué)術(shù)界對(duì)于基于高考數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的數(shù)學(xué)高階抽象思維能力的培養(yǎng)方法研究還相對(duì)不足.如何有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階抽象思維能力已成為教育界的研究重點(diǎn).

1 培養(yǎng)數(shù)學(xué)高階抽象思維能力的重要性

1.1 數(shù)學(xué)高階抽象思維的概念和定義

數(shù)學(xué)高階抽象思維是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決過(guò)程中，能夠超越具體情境和具體概念，運(yùn)用抽象的思維方式來(lái)分析、推理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.它不僅包括對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和運(yùn)用，還涉及到抽象化、推廣化、歸納化和演繹化等思維過(guò)程.數(shù)學(xué)高階抽象思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一.

1.2 數(shù)學(xué)高階抽象思維在數(shù)學(xué)學(xué)科中的作用和價(jià)值

數(shù)學(xué)高階抽象思維能力的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展具有重要的作用和價(jià)值.它使學(xué)生能夠從具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題中抽象出通用的概念和原理，并能夠運(yùn)用這些概念來(lái)解決不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而提高學(xué)習(xí)效率和應(yīng)用能力.它能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和推理能力，使他們能夠進(jìn)行深入的問(wèn)題分析和解決，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，培養(yǎng)批判性思維和創(chuàng)新能力，使學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的建模過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)和關(guān)鍵因素，提出合理的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行分析和求解，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新思維.數(shù)學(xué)高階抽象思維能力使學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)與其他學(xué)科知識(shí)進(jìn)行整合和應(yīng)用，促進(jìn)跨學(xué)科綜合能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)和綜合思維能力.

2 指向高中數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的數(shù)學(xué)高階抽象思維能力的方法與策略

高中數(shù)學(xué)建模問(wèn)題作為一種綜合性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，由于其問(wèn)題的復(fù)雜性，需要學(xué)生正確理解和運(yùn)用一些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)，并能夠?qū)@些數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的處理和分析，提取有用的信息，將其應(yīng)用于問(wèn)題的求解過(guò)程中，通過(guò)構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生具備一定的抽象思維和問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力，同時(shí)需要學(xué)生能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)，并建立起合理的模型方程或不等式組來(lái)解決問(wèn)題，這給學(xué)生和教師帶來(lái)了一些挑戰(zhàn)和困惑.

在高中數(shù)學(xué)建模問(wèn)題中，如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)高階抽象思維能力，從而提升學(xué)科的核心素養(yǎng)呢？下面本文將結(jié)合實(shí)例提出具體的培養(yǎng)方法和措施.

2.1 為了提高學(xué)生的抽象思維能力，首先需要加強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)

教師可以通過(guò)課堂教學(xué)、輔導(dǎo)班和自主學(xué)習(xí)等方式，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本概念、原理和方法.此外，教師還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生多讀相關(guān)的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，擴(kuò)大他們的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解和抽象能力.

例1 人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，其理論和技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.人工智能背后的一個(gè)基本原理：首先確定先驗(yàn)概率，然后通過(guò)計(jì)算得到后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正和校對(duì)，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)?zāi)Ｐ停河型耆嗤募住⒁覂蓚€(gè)袋子，袋子里有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個(gè)紅球和1個(gè)白球；乙袋中有2個(gè)紅球和8個(gè)白球.從這兩個(gè)袋子中選擇一個(gè)袋子，再?gòu)脑摯又械瓤赡苊鲆粋€(gè)球，稱為一次試驗(yàn).若進(jìn)行多次試驗(yàn)直到摸出紅球，則試驗(yàn)結(jié)束.假設(shè)首次試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率均為?（先驗(yàn)概率）.

（1） 求首次試驗(yàn)結(jié)束的概率；

（2） 在首次試驗(yàn)摸出白球的條件下，我們對(duì)選到甲袋或乙袋的概率（先驗(yàn)概率）進(jìn)行調(diào)整.

① 求選到的袋子為甲袋的概率；

② 將首次試驗(yàn)摸出的白球放回原來(lái)袋子，繼續(xù)進(jìn)行第二次試驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案：方案一，從原來(lái)袋子中摸球；方案二，從另外一個(gè)袋子中摸球.請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，說(shuō)明選擇哪個(gè)方案第二次試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.

解：設(shè)“選到甲袋”為事件A₁，“選到乙袋”為事件A₂，“摸到紅球”為事件B₁，“摸到白球”為事件B₂，

這個(gè)問(wèn)題，首先需要學(xué)生對(duì)人工智能中先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率的概念有所了解，再結(jié)合條件概率的知識(shí)進(jìn)行求解，師生最后一起探索原理說(shuō)明了根據(jù)結(jié)果來(lái)調(diào)整對(duì)某些事物判斷的概率，并不斷根據(jù)結(jié)果來(lái)優(yōu)化判斷，從而做出更好的決策的道理.

2.2 問(wèn)題解決是培養(yǎng)抽象思維能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)

教師可以設(shè)計(jì)一系列的數(shù)學(xué)問(wèn)題，要求學(xué)生通過(guò)分析、歸納、推理等思維過(guò)程，找到解決問(wèn)題的方法和策略.同時(shí)，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度思考問(wèn)題，培養(yǎng)他們的多元思維能力，提高問(wèn)題解決的靈活性和創(chuàng)造性.

例如，在學(xué)習(xí)“二面角”時(shí)，教師不直接講解二面角的平面角定義，而是先提出問(wèn)題：怎樣用平面內(nèi)的角來(lái)度量二面角？

啟發(fā)學(xué)生找一個(gè)能正確反映二面角大小的平面角.學(xué)生通過(guò)思考、討論、歸納出的幾個(gè)思路：思路一，在二面角的棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這一點(diǎn)作一個(gè)平面和這條棱垂直，這個(gè)平面和二面角的兩個(gè)平面相交于兩條射線，得到一個(gè)角；思路二，在二面角的一個(gè)面內(nèi)任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)作另一個(gè)平面及棱的垂線，連接兩個(gè)垂足，得到一個(gè)角；思路三，在二面角的棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條垂線，得到一個(gè)角.

針對(duì)上述結(jié)果，進(jìn)一步提問(wèn)：這三種角有什么區(qū)別和聯(lián)系？哪個(gè)角是要找的角？

學(xué)生思考，歸納總結(jié)出：三種方法得到的角都是要找的角，其本質(zhì)是相同的，即都可以用來(lái)度量二面角，但思路三最好，并以它作為二面角的平面角定義.

通過(guò)這樣一環(huán)一環(huán)的啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生就能夠較深刻地把握二面角的平面角定義的本質(zhì).

2.3 促進(jìn)學(xué)生的合作與交流

合作與交流是培養(yǎng)抽象思維能力的重要手段.教師可以組織學(xué)生之間的小組討論和合作，讓他們共同探討數(shù)學(xué)問(wèn)題，分享解題思路和方法.通過(guò)互相交流和合作，學(xué)生可以從不同的觀點(diǎn)和思維方式中獲得啟發(fā)，拓展自己的思維空間，提高抽象思維的靈活性和深度.

2.4 教師角色的轉(zhuǎn)變和指導(dǎo)方式的優(yōu)化

為了有效地培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，教師需要轉(zhuǎn)變角色，從傳統(tǒng)的知識(shí)傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)者和激勵(lì)者.教師可以設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的探索欲和求知欲.這些任務(wù)可以涉及真實(shí)世界的問(wèn)題，需要學(xué)生運(yùn)用抽象思維來(lái)分析和解決.通過(guò)讓學(xué)生面對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題，教師可以激發(fā)他們的思維活力，幫助他們發(fā)展高階抽象思維能力.同時(shí)，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生的思維過(guò)程，幫助他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)運(yùn)用抽象思維.教師可以輔之以適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考解決問(wèn)題的不同路徑和方法.同時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題、提供解決方案，并通過(guò)問(wèn)問(wèn)題和提供反饋來(lái)引導(dǎo)學(xué)生的思考和推理過(guò)程.在教師創(chuàng)設(shè)的積極、包容和鼓勵(lì)的學(xué)習(xí)氛圍中，學(xué)生也感到安全和自由，積極地去表達(dá)自己的觀點(diǎn)和想法.通過(guò)鼓勵(lì)學(xué)生分享思考過(guò)程和解決問(wèn)題的思路，教師可以促進(jìn)學(xué)生之間的合作和交流，共同探索數(shù)學(xué)的抽象世界.

例2 鼎是古代烹煮用的器物，它是我國(guó)青銅文化的代表，在古代被視為立國(guó)之器，是國(guó)家和權(quán)力的象征.圖①是一種方鼎，圖②是根據(jù)圖①繪制的方鼎簡(jiǎn)易直觀圖，圖中四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁是鼎中盛烹煮物的部分，四邊形ABCD是矩形，其中AD=40cm，AB=30cm，A₁B₁=20cm，點(diǎn)A₁到平面ABCD的距離為18cm，則這個(gè)方鼎一次最多能容納的食物體積為（ ）

（假定烹煮的食物全在四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)）

A. 10400cm³B. 14000cm³

C. 14800cm³D. 15200cm³

老師引導(dǎo)學(xué)生思考，如何求四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積？可以先求出A₁D₁，利用相似，求出點(diǎn)O分別到平面ABCD和平面A₁B₁C₁D₁的距離.

最后抽象出此題求棱臺(tái)體積的方法：利用分割法，大棱錐體積減去小棱錐的體積.

3 結(jié)束語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的學(xué)習(xí)和實(shí)踐可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力.通過(guò)參與建模活動(dòng)，學(xué)生可以面對(duì)真實(shí)的問(wèn)題情境，進(jìn)行抽象和建模，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，提高他們的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)造力.可以深入研究數(shù)學(xué)建模教學(xué)的有效性和實(shí)施策略.通過(guò)比較不同的建模教學(xué)方法和實(shí)踐案例，分析其對(duì)學(xué)生抽象思維能力的影響，從而為教師提供更加科學(xué)和有效的教學(xué)指導(dǎo).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 涂榮豹，寧連華.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

［2］ 涂榮豹.新編教學(xué)論［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2006.

［3］ 李亞瓊，寧連華.數(shù)學(xué)知識(shí)觀視角下學(xué)習(xí)進(jìn)階的再審視［J］.課程·教材·教法，2023，43（7）：111-117.

［4］ 孫琦.高中概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中學(xué)生數(shù)字高階思維能力調(diào)查研究［D］.山東師范大學(xué)，2023.

［5］ 蘇錫永.淺談數(shù)學(xué)教學(xué)與高階思維能力培養(yǎng)［J］.考試周刊，2023（12）：69-72.

［6］ 劉忠振.核心素養(yǎng)導(dǎo)向下高中數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)［J］.智力，2023（19）：45-48.

［7］ 羅學(xué)平.高中數(shù)學(xué)建模思維培養(yǎng)路徑思考［J］.中國(guó)教學(xué)學(xué)刊，2022（6）：107.

［8］ 金珉.結(jié)構(gòu)化教學(xué)視角下高中數(shù)學(xué)建模課中統(tǒng)計(jì)思維的培養(yǎng)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2022（5）：16-21.

［9］ 仲易.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)教育中的落實(shí)研究與實(shí)踐［D］.華中師范大學(xué)，2022.