新課程標準下化歸思想運用于數學解題實踐中的方法研究

任丹丹

【摘要】新課程標準下，注重學生對問題本質的理解.化歸方法作為一種創造性教學方式，在培養學生良好的認知能力方面有積極作用.本文以數學教學為例，分析化歸方法的運用原則，提出數學解題中化歸方法的應用措施，以供借鑒.

【關鍵詞】數學解題；化歸方法；數學思維

數學解題過程中會出現各種錯誤，即使是同一類型的題目，不同水平的學生在解題中會出現不同程度的認知差異.化歸是實現快速解題的有效方式.

1 化歸方法運用原則

1.1 熟悉化原則

熟悉化原則就是對題目中的陌生內容進行轉化，將其以學生熟知的內容展現出來，促使問題簡單化［1］.例如，一元四次方程x4－2x3－24x2+80x－64=0，從表面看無直接求解方式，通過化歸方法可將左邊部分因式分解，轉化成一元二次方程，然后求解.

1.2 層次化原則

層次化原則就是對復雜問題進行解答時，將高層次問題向低層次轉化［2］.如：將高維空間問題向低維空間轉化，多元問題向單元轉化，提高解題效率［3］.如求：y=sinxcosx+sinx+cosx的最值，令：

t=sinx+cosx－2≤t≤2，

則y=t2－12+t（－2≤t≤2），所以y=12（t+1）2－1－2≤t≤2.

當t=－1，sinx+cosx=－1時，x=2kπ+π或者x=2kπ－π2（k∈Z），ymin=－1;

當t=2，sinx+cosx=2，即x=2π+π4（k∈Z）時，ymax=12+2.

本題就是利用替代方式，將三角函數最值問題轉化成學生熟悉的二次函數最值問題，簡化題目的復雜性.

2 有效運用化歸方法的具體措施

2.1 給學生營造良好的邏輯思考環境

教師應培養學生自主動手動腦的習慣，積極開展小組學習活動，引導學生大膽說出自己的想法，指導學生進行探究與總結.比如，在解答與三角函數中任意角相關的題目時，教師可以讓學生先利用直角坐標系確定角的位置，然后根據象限確定符號停留到銳角范圍中的學習現象，同時回顧銳角三角函數定義，使用畫圖模式進行學習和思考，最后把角的定義拓展到任意角.這有利于加深學生對相關數學知識的理解，從而構建完整數學知識框架.

2.2 將復雜問題轉化成一般問題

數學解題過程中，面對復雜的問題，教師可以引導學生采用化歸方法解題，將復雜抽象化的問題向簡單方向轉化，在短時間內提升學生學習數學的積極性.

例1 在數列an中，已知，a1=2，a2=3，同時存在an+2=35an+1+25an這種關系，請求出數列的通項公式an的具體表達形式.

分析 本題的遞推公式屬于二階線性遞推關系，教師可引導學生將其轉化成一般的基本數列問題，采用待定參數法求解.可在an+1－man=n（an－man－1）式子中引入m，n兩個參數，將題目轉化成求公比q=n的等比數列an－man－1通項公式問題.

解 因為an+1－man=n（an－man－1），所以an+2=（m+n）an－1－mnan，將其與條件an+2=35an+1+25an結合，可得：

m+n=35a，mn=－25，

解得m=1，n=25，或m=25，n=1，則an+2－an+1=－25（an+1－an），或an+2+25an+1=an+1+25an，其an－an－1的等比數列首項為a2－a1=1，q=－25，所以an－an－1=－25n-2，an=19+2×254－25n=197+254－25n，a1=1.契合此式，可解出an=197+254－25n.

2.3 代數問題向數形結合轉化

利用數形結合的方法解答復雜題目，能夠借助“形”的直觀性將問題化繁為簡，幫助學生更加直觀地解答問題，同時利用“數”的嚴謹性使問題更加具體，提高學生解題的能力.

例2 已知函數f（x）=ax3－bx+4，當x=2時，函數存有極值，為－43.

（1）求函數f（x）的解析表達式；

（2）當f（x）=k時，與x相關的方程共包括3個零點，求出k的取值范圍.

分析 直接采用代數的方式解答題目，難度較大，可采用代數與圖形相結合的方法求解.

在解答問題（1）時，教師可引導學生對函數求導，有

f′（x）=3ax2－b，根據題目可得

f（2）=12a－b=0，f（2）=8a－2b+4=－43，

解得a=13，b=4，再直接求出函數的解析表達式，即f（x）=13x3－4x+4.

由問題（1）可知f（x）=x2－4=（x－2）（x+2），如果f（x）=0，那么x=2或x=－2，

結合圖1可知，當x=－2時，f（x）的最大值為283，當x=2時，f（x）的最小值為－43，所以k的取值范圍為－43

2.4 用大視角轉化小問題

以三角函數為例，解答函數問題時，可采用換元等方式來變換題目類型，提高解題效率.例如，已知變量x，y滿足方程x2+y2=1，求x+y的取值范圍.以換元方式求解如下：

設x=cosθ，y=sinθ（θ∈R），那么x+y=cosθ+sinθ=2sin（θ+π4），可得：－2≤x+y≤2.

3 結語

綜上所述，在新課標背景下，教師要在數學解題中合理應用化歸思想方法，使學生掌握不同數學方法的應用技巧，將解題方式的應用價值發揮到最大，同時積極落實解題訓練任務，全面培養學生的化歸意識，提高學生的解題能力.

參考文獻：

［1］盧春華.“化”解題思路“歸”答題策略 ——談在高年級數學計算教學中滲透化歸思想方法的有效策略［J］. 小學教學參考，2020（8）：27-28.

［2］彭永寧.例析解題教學中轉化與化歸思想方法的滲透［J］.數學教學通訊，2020（21）：76-77.

［3］汪裕佳.化歸思想在 數學解題過程中的應用方法分析［J］.考試周刊，2021（14）：77-78.