關于抽象函數的對稱性、周期性的幾點思考與建議

楊青英 張少霞

【摘要】抽象函數一直是高考的高頻考點，最常見的題型是將函數的周期性、對稱性結合在一起考查.相比其他題型，學生面對抽象函數時更加難以理解，抓不住關鍵信息，找不到解題思路.本文擬從以上問題出發，通過梳理知識點，分析學生在解抽象函數中存在的問題，提出對應的解題方法，以2021、2022年的高考題為例，進行分析，希望對學生的解題能力有所幫助.

【關鍵詞】高中數學；抽象函數；對稱性

抽象函數是指沒有給出函數的具體解析式，只給出了一些特殊條件或特征的函數稱為抽象函數，如f（m+n）=f（m）·f（n）等表達式.正是因為沒有具體的解析式，所以學生通過求函數解析式來求解函數的這種思路便不再適用于抽象函數.因此，從抽象函數的性質出發，研究其周期性、對稱性的基本特征，結合數學不同知識點之間的關系，系統地掌握數學知識，學生的解題速度和質量都會獲得提升.

1 抽象函數的對稱性、周期性的基本解法

1.1 對稱性

對稱性包括軸對稱和中心對稱，一般與函數的奇偶性聯系在一起.當函數為偶函數時，f（x）=f（－x），對稱軸為x=0，并且如果一個函數滿足f（a+x）=f（a－x），則函數f（x）的對稱軸為x=a，通過觀察，這兩個函數數值相等，而且括號中的x為一正一負，可知對稱軸為正負對稱（軸）的平均；當函數為奇函數時，f（x）=－f（－x），其對稱中心為（0，0），或者一個函數滿足f（a+x）=－f（a－x），則這個函數的對稱中心為（a，0），可得這個函數的對稱中心的橫坐標為兩橫坐標之和的平均數.

1.2 周期性

周期函數是指對于函數如果存在一個不為零的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，此時我們就把這個叫周期函數，不為零的常數T就叫做函數的周期［1］REF_Ref131621457＼r＼h＼*MERGEFORMAT，常用的三種求函數周期性的方法是：（1）函數f（x）關于直線x=a，x=b對稱，則T=2|b－a|；（2）函數f（x）關于直線x=a和（b，0）對稱，則T=4|b－a|；（3）函數f（x）關于點（a，0）和（b，0）對稱，則T=2|b－a|.

掌握函數的周期性可以使學生便捷快速地進行解題.求解函數的周期一般與函數的對稱性有關，并且函數的對稱性可以轉化為函數的周期性，2 影響學生解題的因素

2.1 思維定勢的影響

學生在獨立解決問題的過程中，在過去知識經驗的影響下，心理常處于一種準備狀態，在解決當前問題時有一定的傾向性，從而決定后繼活動的趨勢［2］REF_Ref131626215＼r＼h＼*MERGEFORMAT，也就出現了思維定勢.學生在解抽象函數時，先前所積累的解題經驗對學生印象深刻，學生會下意識地用已有數學思維去解決抽象函數類題型，使其思維受阻.

2.2 基礎不牢，知識點混淆

學生對基礎知識的獲得有兩種形式：一是死記硬背，知識之間不成系統；二是在腦海中進行有意義建構，將所學知識形成思維導圖［3］REF_Ref131696281＼r＼h＼*MERGEFORMAT，抽象函數綜合性較強，涉及的知識點范圍廣，常常會和一個或多個知識點結合起來考查，學生在先前的學習中，沒有形成一個系統的結構框架，在解題時，只會套用公式，弄不清問題本質，遇到較難習題時，容易將知識點混淆，找不到解題思路.

2.3 歸納總結能力較低

高中數學題型包羅萬象，機械式的刷題模式會加強學生的學習負擔，從根本上無法提升學生的解題效率.其中有一部分原因是學生在解題后沒有對同一類型的題型進行歸納總結，不會舉一反三.另一部分原因是學生在解題時，會出現思路錯誤、方法錯誤、知識點錯誤，但學生并沒有對此進行反思總結，在做此類題型時仍犯同樣的錯誤，加大了數學學習負擔.

3 解題方法

3.1 還原法

還原法是解決抽象函數常用的方法，其最終目的是通過遞推和替換使題目中所要求的抽象函數表達式呈現周期性、對稱性的結構特征.第一次還原是根據題目所給的條件，進行形式上的遞推，讓其變成f（x）的表達形式.第二次還原是在第一次還原的基礎上再次替換，使其替換后的抽象函數表達式可以呈現出對稱軸、對稱中心或者周期等基本信息.

3.2 賦值法

在解決抽象函數時有一種通過化抽象為具體的方法，即賦予恰當的數值或代數式，經過恰當的運算和推理加以解決，這種方法就是賦值法［4］REF_Ref131779725＼r＼h＼*MERGEFORMAT.常見的是將未知量賦予一些特殊值或簡單的數，如：令x=0或x=1等.

3.3 構造法

構造法解題的本質是根據數學問題中的條件，用條件中的元素為“原件”，用已知數學關系為“ 支架”，在思維中構造相關的數學對象、或數學形式，從而使問題轉化并得到解決［5］REF_Ref131781193＼r＼h＼*MERGEFORMAT.在高中數學中最常見的有用構造輔助線、輔助量、圖形等來解.

4 抽象函數的周期性、對稱性在2021年、2022年高考題中的應用

例1 （2021全國甲卷）設函數f（x）的定義域為R，f（x+1）為奇函數，f（x+2）為偶函數，當x∈1，2時，f（x）=ax2+b，若f（0）+f（3）=6，則f92=（? ）

（A）－94. （B）－32. （C）74. （D）52.

解析 （第一次還原）因為f（x+1）為奇函數，所以f（x+1）=－f（－x+1），且f（1）=0.因為f（x+2）為偶函數，所以f（x+2）=f（－x+2），變形得f（x+1）+1=－f－（x+1）+1=－f（－x），即f（－x+2）=f（x+2）=－f（－x）.

（第二次還原）令t=－x，則f（t+2）=－f（t），所以f（x+4）=f（x）.當x∈1，2時，f（x）=ax2+b，f（0）=f（－1+1）=－f（2）=－4a－b，f（3）=f（1+2）=f（－1+2）=f（1）=a+b，又因為f（0）+f（3）=6，所以－3a=6，a=－2，f（1）=a+b=0，所以－a=2.當x∈1，2時，f（x）=－2x2+2，所以f92=f12=－f32=－－2×94+2=52，由此可知此題選（D）.

本題通過第一次還原遞推得出f（－x+2）=f（x+2）=－f（－x），觀察函數表達式，進行第二次還原，通過替換表達式中的x，使它變成f（x）的形式，再結合函數的周期性，此題便可得解.

例2 （2021全國乙卷）已知函數f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）+g（2－x）=5，g（x）－f（x－4）=7，若y=g（x）的圖象關于直線x=2對稱，g（2）=4，則∑22k=1f（k）=（? ）

（A）－21. （B）－22. （C）－23. （D）－24.

解析 由y=g（x）的圖象關于直線x=2對稱，可得g（2+x）=g（2－x）.在f（x）+g（2－x）=5中，用－x替換x，可得f（－x）+g（2+x）=5，可得f（－x）=f（x）.①y=f（x）為偶函數，在g（x）－f（x－4）=7中，用2－x替換x，得g（2－x）=f（－x－2）+7，代入f（x）+g（2－x）=5中，得f（x）+f（－x－2）=－2.②y=f（x）的圖象關于點（－1，－1）中心對稱，因此f（1）=f（－1）=－1.結合①②，可得f（x）+f（x+2）=－2，所以f（x+2）+f（x+4）=－2，f（x+4）=f（x），y=f（x）·T=4.由f（x）+g（2－x）=5，可得f（0）+g（2）=5，因為g（2）=4，所以f（0）=1，又因為f（x）+f（x+2）=－2，所以f（0）+f（2）=－2，可得f（2）=－3，又因為f（3）=f（－1）=－1，f（4）=f（0）=1，所以∑22i=1f（x）=6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（3）+5f（4）=6×（－1）+6×（－3）+5×（－1）+5×1=－24，故選（D）.

在這道題中并沒有出現很明顯的解題信息，但是y=g（x）的圖象關于直線x=2對稱，聯想到偶函數的性質，沿著這個思路進行遞推、替換，將表達式還原成f（x）的形式，觀察表達式之間的結構特征，在利用函數周期的性質解題.

例3 （2022新高考2卷）已知函數f（x）的定義域為R，且f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y），f（1）=1，則∑22k=1f（k）=（? ）

（A）－3.? （B）－2.? （C）0.? （D）1.

解析 由上述題型可知∑22k=1f（k）=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（22），因為f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y），令y=1，則f（x+1）+f（x－1）=f（x），對x∈R都是成立的.用x+1代替x，則f（x+2）+f（x）=f（x+1），由此可推出f（x+2）=f（x+1）－f（x）記為①式，同時也可推出f（x+1）=f（x）－f（x－1）記為②式，②式代入①式可得f（x+2）=－f（x－1）.用x+1代替x可得f（x+3）=－f（x），根據周期函數的性質f（x+m）=－f（x），T=2m，所以在f（x+3）=－f（x）中，T=6，f（1）=1.令 x=1，y=0，代入f（x+y）+f（x－y）=f（x）·f（y）中，整理化簡得f（0）=2.由①式f（x+2）=f（x+1）－f（x）可知，令x=0時，f（2）=f（1）－f（0）=－1.令x=1時，f（3）=f（2）－f（1）=－2.令x=2時，f（4）=f（3）－f（2）=－1.令x=3f（5）=f（4）－f（3）=1，令x=4時，f（6）=f（5）－f（4）=2.又因為（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=0，∑22k=1f（k）=［f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）］×3+f（19）+f（20）+f（21）+f（22）=f（19）+f（20）+f（21）+f（22）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=－3，故此題選（A）.

2022新高考2卷中的這道題的解題過程中并不是單一使用一種方法，而是將還原法與賦值法結合解題.因此，學生解題不應拘泥于一種解題方法，而是根據具體題型具體分析，將解題方法融會貫通，解題思路也會更加清晰.

5 結語

通過分析這兩年的高考題可以看出抽象函數中對求值問題考查頻繁，學生在解題過程中，需要重點注意“三性轉化”（奇偶性、對稱性、周期性），對于“三性”之間的關系做到熟稔于心，熟練自如地運用解題方法.遇到難度較大、信息繁瑣的習題時，秉持化繁為簡、化難為易，找準解題的切入點，最終達到習題所要實現的目標.

參考文獻：

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