高中數學解題技巧運用的科學性探究

張志堅

【摘要】本文以幫助高中學生掃清數學解題盲點、清除數學解題誤區，整體提升高中學生數學解題能力為目的，以高中學生一般數學解題規律為基準，結合人教版（2019）高中數學A版教材實例與歷年高考真題從審題、析題、解題三個層面上探討在高中數學解題教學中讓學生把握正確數學解題技巧.

【關鍵詞】高中數學；解題教學；解題技巧

高中數學的深奧煩瑣與抽象復雜，這就使得多數高中學生對數學生成較大的畏難、厭學、排斥心理，學習效率與思維能力自然也會受此影響.因此，在現如今的高中數學教學中，讓學生學會靈活運用多種解題技巧探索與分析數學問題，不僅是快速提升高中學生數學學習成績的“捷徑”，同時也是發展培養學生數學素養的關鍵手段.

1 審題：多元觀察，巧換視角

審題是學生進行數學解題的第一步，對后續解題方法的明確、解題效率與解題的正確性起重要決定作用［1］.

例如 在人教版高中數學教材必修第一冊“對數函數”一課中，有問題“說明函數y=log3x與y=log13x的關系”.在引導學生解答這一問題前，高中數學教師就可為學生提供兩種審題視角，讓學生對問題展開多維度、多層面觀察.

視角1 解題者視角

根據已知的指數函數知識可知，底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于y軸對稱.如y=12x與y=2x的圖象可如圖1繪制.可從指數函數的圖象繪制中汲取解題思想與靈感，通過代入具體數值的方式求出底數互為倒數的兩個對數函數的具體坐標，進而通過描點畫出函數圖象得出函數y=log3x與y=log13x關于x軸對稱的結論.

視角2 出題者視角

從學生已知的指數函數圖象關于y軸對稱的對稱性知識出發，讓學生通過繪制底數互為倒數對數函數的圖象得出對數函數圖象關于x軸對稱的結論，考查學生的知識遷移能力、數學推理能力、直觀想象能力以及對數形結合思想方法的掌握程度.

綜合上述兩種視角，學生的數學解題思路便會得到明晰，即在同一平面直角坐標系中，先畫出底數互為倒數的兩個對數函數y=log3x與y=log13x的函數圖象，根據二者的函數圖象說明對數函數y=log3x的函數圖象與y=log13x的函數圖象關于x軸對稱.

在高中數學解題教學中，引導學生從多個視角觀察與審視數學問題，不能夠讓學生學會在后續的數學解題過程中從宏觀整體的角度上觀察問題、分析問題，在實際的解題過程中也會更加精準、精確地找到得分點，而且對高中學生應試能力的提升，對學生嚴謹理性數學思維的形成同樣也大有助益［2］.

2 析題：把握關鍵，找準思路

通過多視角、多維度審題，學生便會對問題的條件、所需遷移運用的數學知識形成大致把握，解題的準確性與效率也會因此而得到大幅度提升［3］.

例如 在人教版高中數學必修第二冊“平面向量的運算”一課中，引導學生運用向量加法a+b≤a+b解決下題時，高中數學教師就要重點引導學生在分析問題的過程中剔除非必要因素，把握題目中的關鍵數學符號.

例1 長江是我國第一大河，全長約有6300km.在沒有橫跨長江兩岸大橋的地方，常需要借助輪渡進行運輸.如圖2所示，輪船欲從長江南岸A地出發，垂直向長江北岸B地航行.此時，這艘輪船的行駛速度為20km/h，江水的水流速度為向東8km/h.

（1）以向量的方式表示江水的水流速度、輪船的船速與輪船實際的航行速度；

（2）求圖2中輪船的實際航行速度大小與方向（結果保留小數點后兩位）.

這是一道包含兩個小問的數學問題，通過對問題的多角度審視，學生可通過數學建模、數形轉化構建出輪船從長江南岸A地出發，垂直向長江北岸B地航行的路線圖（圖3），完成對第一小問的破解，即AB為輪船的船速、AD為江水的水流速度，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，即可用AC表示出輪船從長江南岸A地出發，垂直向長江北岸B地航行的實際航行速度.

而對于題中第2小問，啟發學生，將學生的眼光與關注點有意引導到題干中“輪船的行駛速度為20km/h”“江水的水流速度為向東8km/h”與（2）問中“求圖2中輪船的實際航行速度大小與方向”幾處上，運用勾股定理與向量加法的三角形法則進行解題：

在Rt△ACD中，AD為長江水流速度8km/h，DC= AB同為輪船的行駛速度20km/h，所以根據勾股定理a2+b2= c2，

便有AC=AD2+DC2=82+202=464≈21.54，

因為tan∠CAD=DCAD=208=52，

所以∠CAD≈68.20°.

所以輪船的實際航行速度約為21.54km/h，方向與江水速度之間的夾角約是68.20°.

通過設置有目的性教學問題的方式將學生的眼光與注意力吸引到問題的關鍵點上，驅動學生圍繞關鍵點展開對問題的深度分析與仔細琢磨，在日復一日的鍛煉與訓練中學生思維的敏捷性與靈活性也會得到有效提升與增強，高效解題、精準解題自然便會因此而易如反掌的實現［4］.

3 解題：活用思想，化難為簡

隨著新高考制度的持續深化，老師要讓學生學會運用有效的數學思想方法化解難題，并在深刻理解把握數學思想方法精神實質的基礎上，促使數學核心素養的有機發展［5］.

例如 在人教版高中數學選擇性必修第一冊“圓錐曲線的方程”一章教學中，高中數學教師就將結論法、特殊值法與數形結合法滲透到學生數學解題過程之中.

第1，用結論法解題.

例2 已知有橢圓方程x220+y26=1，點Q是該橢圓方程上的一點，M1、M2分別為這一橢圓方程的左右焦點.如果QM1·QM2QM1QM2=12，那么△M1QM2的面積是（? ）

（A）33. （B）23. （C）3. （D）33.

以正向思維分析問題，并按照常規解題方法解決這一選擇題，多數學生會因計算量過大半途而廢，并很難得出結果.對此，高中數學教師就可引導學生運用結論法逆向探討這一問題：將題目解釋為焦點三角形問題，讓學生由此遷移運用已知的焦點三角形面積計算公式S△M1QM2=b2tanθ2便可口算出這一橢圓方程問題的結果，即33，選（A）.

第二，用特殊值法解題.

例3? M1，M2分別為橢圓O的左右焦點，點Q是該橢圓方程上的一點.且有QM1⊥QM2，∠QM2M1=60°，那么橢圓O的離心率是多少？

特殊值法是高中數學方程、函數問題解決中常用的解題方法，是一種結合已知條件對未知巧妙賦值創造解題條件，進而精準快速得出結果的數學解題方法.在本題中，高中數學教師可引導學生將QM1賦值為1，然后根據題干中的已知條件QM1⊥QM2，∠QM2M1=60°推導出M1M2=2，QM2=3，再根據橢圓離心率e=ca與橢圓定義、橢圓標準方程，即可得出e=2c2a=M1M2PM1+PM2=23+1=3－1，即O的離心率是3－1.

第3，用數形結合法解題.

例4 已知有傾斜角為30°的直線過雙曲線方程x23-y26=1的右焦點M2，交雙曲線于A、B兩點，求AB.

高中數學教師可在學生細致審題、深度析題的基礎上，鼓勵學生根據題干繪制出相對應的圖象（圖4），由此學生便能夠根據圖象確定出雙曲線方程的兩個焦點M1－3，0，M23，0，進而得出直線AB的方程y=33x－3；隨后，將雙曲線方程x23-y26=1與直線AB方程y=33x－3聯立消去y，得出x1，x2的值；最后，將x1，x2的值代入直線AB方程y=33x－3中，即可得出A、B兩點的坐標分別為-3，-23，95，-235，AB的值，即問題結果自然便會在數與形的巧妙轉化中浮出水面，即1635.

4 結語

總而言之，數學是一門具有極強規律性與邏輯性的教學學科.高中數學教師在實際的數學解題教學中，就要重視起對“授人以漁”思想的開發運用，讓學生在教師有目的性的引導促進中實現“知其然，知其所以然”的深度數學學習，得到潛力潛能的充分開發.

參考文獻：

［1］王麗杰.高中數學幾何解題技巧之“數”“形”結合策略［J］.數理天地（高中版），2022（20）：44-45.

［2］謝克仁.高中數學三角函數解題技巧探析建議［J］.學苑教育，2022（20）：62-63+66.

［3］張景勝.高中數學解題技巧及思路分析［J］.數理天地（高中版），2022（08）：36-38.

［4］張祖斌.高中數學圓錐曲線知識的教學方法及解題技巧研究［J］.天天愛科學（教育前沿），2022（04）：97-98.

［5］李峰.高中數學數列試題解題技巧探索［J］.試題與研究，2021（23）：33-34.