對一道高考題解法的探究

靳康杰

【摘要】針對2021年新高考Ⅰ卷第７小題做進一步深入的探討.

【關(guān)鍵詞】高考試題;反思

題目 （2021年新高考Ⅰ卷第７小題）若過點（a，b）可以作y=ex的兩條切線，則（? ）

（A）ea

（C）0

簡析 因為 y′=ex>0在R上恒成立，所以y=ex在R上單調(diào)遞增，且y=ex>0在R上恒成立.

做出函數(shù)y=ex的圖像，可知點Na，b若在x軸下方只能作出y=ex的一條切線，如圖1所示.由于y′>0在R上恒成立，若點（a，b）在x軸上時，則該點與其中一個切點的連線的斜率等于０，這與導函數(shù)y′>0恒成立矛盾，即點（a，b）必須在x軸上方.

若點A1（a，b）在曲線y=ex的上方，此時切線不存在，如圖2所示；若點A2（a，b）在曲線y=ex上，只有一條切線，如圖3所示；若點A3（a，b）在曲線y=ex的下方，且在x軸上方，此時有兩條切線，如圖4所示.由數(shù)形結(jié)合可知0

反思 解完題目自然會產(chǎn)生這樣的問題：點在什么位置時，可以作曲線的一條切線？在什么位置時，有兩條切線？在什么位置時，不能作曲線的切線？下面做一剖析.

簡析 設(shè)過點a，b作曲線y=ex的切線L，切點為M（x0，ex0），如圖5所示.則L：y-ex0= ex0（x-x0）

因L過點（a，b），所以b-ex0= ex0（a-x0）

即（x0-a-1）ex0+b=0? *

所以過點（a，b）作曲線y=ex的切線條數(shù)即為方程*有幾個不相等的根，即g（x0）=（x0-a-1）ex0+b的零點個數(shù)

g′（x0）=（x0-a）ex0，令g′（x0）=0，則x0=a

當x0∈（-∞，a）時，g′（x0）<0；當x0∈（a，+∞）時，g′（x0）>0

所以gx0在-∞，a上單調(diào)遞減，在a，+∞上單調(diào)遞增

所以當x0=a時，gx0取最小值gx0=b-ex0

（1）當b>ea時，gx0>0，gx0無零點，不符合題意

（2）當b= ea時，gx0=0，gx0有且僅有一個零點，不符合題意

（3）當b

且當x0→ -∞時，gx0→ b；當x0→ +∞時，gx0→ +∞

①=1＼*GB3若b≤0

因為x0→ -∞時，gx0→ b≤0

又gx0在-∞，a上單調(diào)遞減

所以當x0∈-∞，a時，gx0<0，gx0在-∞，a上無零點

因為x0→ +∞時，gx0→ +∞

又gx0在a，+∞上單調(diào)遞增

所以gx0在a，+∞上有一個零點

因此 b≤0時，gx0有且僅有一個零點

②=2＼*GB3若b>0

因為x0→? -∞時，gx0→ b>0；

x0=a時，gx0=b-ea<0；

x0→ +∞時，gx0→ +∞

且gx0在-∞，a上單調(diào)遞減，在a，+∞上單調(diào)遞增

所以gx0在-∞，a上有一個零點，在a，+∞上有一個零點.

綜上所述，當b≤0時或者當b=ea時，只能作一條切線；當0ea時，不能作曲線的切線.

參考文獻：

2021年新高考Ⅰ卷第７小題