2021年數學新高考Ⅰ卷解三角形綜合題的特點與教學啟示

黃春霜 彭永婷

摘? 要：深度分析2021年數學新高考Ⅰ卷解三角形綜合題（第19題）的特點，從中得到解三角形綜合題教學啟示.追根尋源，回歸教材，建構解題思維模型；提升遷移應用能力.

關鍵詞：解三角形；方法探源；核心素養；試題分析；教學啟示

2021年數學新高考Ⅰ卷第19題是解三角形綜合題，考查基本知識的遷移，將三角形的基本要素求解與證明和正余弦定理、面積、向量等內容高度融合，對學生的思維品質，信息提取與整合能力等提出較高要求.新課改所提倡的邏輯推理、數學運算等核心素養在這一題中體現得淋漓盡致.本文以新高考Ⅰ卷第19題為例，深度挖掘解三角形綜合題隱含的思想方法及其在教材中的呈現內容及形式，并結合教學實踐提出教學策略及建議.

1? 呈現試題與解法分析

（新高考Ⅰ卷T19）如圖1，記？駐ABC是內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）證明：BD=b；

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC

分析： （1）應用正弦定理求解，內容略.

（2）此問可用兩種解法（三角法、相量法等）解答.

解法1——采用三角法

整理得，6a2-11ac+3c2=0，方法同上.

2? 研究試題特點

2.1? 試題解法來源教材

該題解法1采用三角法，既可結合兩相鄰三角形鄰角互補其余弦值互為相反數；也可用嵌套三角形中同角的余弦值相等，兩次活用余弦定理列出方程進而求解.此法源于教材， 人教版《普通高中教科書數學》必修第二冊A版（2019年版）第53頁第15題就是采用此法，可見該法應用的重要性.此題得到的結論也叫中線性質定理，對其結論稍作變形即為“平行四邊形兩對角線的平方和等于其兩鄰邊平方和的兩倍”.追根溯源后發現該結論在教材人教版《普通高中教科書數學》必修第二冊A版（2019年版）P39例2以探究的形式出現，而教材中卻是借助向量工具來探究的.平行四邊形若只看其中一半時，發現此圖類似“爪子”的形狀，而“爪”圖在向量一章被廣泛應用，從而想到利用平面向量基本定理.自然就有了解法2向量法的產生.同時筆者發現此種解法與教材中用向量推導余弦定理，簡直如出一轍.教材P42探究余弦定理的過程即是從向量運算的三角形法則出發，讓向量與其自身作數量積運算，借助向量數量積、模等的運算得到了體現三角形邊角關系的重要定理之余弦定理.兩種方法都有效滲透了轉化與化歸、數形結合、方程等思想.

2.2? 滲透學科核心素養，強化思維品質考查

邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質[ 1 ].學生在未來生活中能否發現問題、分析、解決問題很大程度上依賴于直觀想象素養是否真實落地.2021年新高考Ⅰ卷第19題，試題要求學生對題目所給條件進行恰當邏輯推理、綜合分析后，證明邊長相等，并求出角的余弦值.解答過程中通過直觀想象畫出圖形，輔助理解顯得尤為重要.通過方程組思想列出方程后能否解出正確答案，考查了學生的數學運算素養.

2.3? 落實課程標準，考查學科關鍵能力

人教A版中解三角形這一節的內容新課標明確提出：探索任意三角形邊長和角度關系；掌握正、余弦定理；運用正、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題，是現階段高中生應有的學科能力.解決2021年新課標Ⅰ卷19題涉及的必備知識是正、余弦定理，面積公式、三角恒等變換、向量等.此題并非常規地利用正、余弦定理或者面積公式來求解三角形，而是通過兩次應用余弦定理建立方程組進行相關的推理運算.在課標要求的基礎上對試題進行了重新歸整，著重考查學生的學科邏輯推理能力，以及運用數學思想方法解決問題的能力.

2.4? 穩中有變求創新，考查類比遷移和綜合應用能力

直面高考的熱點與難點，是全國卷高考題一大特點.例如，近三年全國卷中都有涉及解三角形知識的考查，但考查的方式不盡相同[ 2 ] .2019年全國文、理數學卷都以解答題方式考查解三角形，涉及正余弦定理、三角恒等變換等知識內容的運用；2020年江蘇卷考查對嵌套三角形的求解，與今年考查題型類似；全國Ⅱ卷17題考查解三角形求角、求周長最值問題；2021年考查解三角形時，注重通過落實基礎知識提高學生運算能力.往年更多的是三角求解，今年是三角證明，不過道理相通.不難發現，這幾年對解三角形知識內容的考查，試題難度基本保持穩定，考查內容涵蓋了三角函數內容的所有知識點，對學生的綜合應用能力也是提出了較高要求.

3? 教學啟示

3.1? 追根尋源回歸教材，建構解題思維模型

在教學中通過挖掘教材中例題、習題、定理、公理所隱含的數學思想方法，使學生了解到高考中所用的一些解題思想方法并非無源之水，無本之木，而是源于教材、高于教材，從而使學生更易理解和掌握[ 3 ].通過對教材的典型例題、習題進行恰當梳理和必要拓展，分門別類構建解題的思維模型，是提升學生學習效率的重要途徑之一.例如，本題中探究的“爪”型圖對學生來說并不陌生，學生在人教A版必修二（2019版）第六章的學習中從向量的線性運算，平面向量基本定理的學習，再到平面向量的應用中，一直在接觸類似模型處理問題.在平時教學中可對此圖可能涉及的多種情況進行規整，包括中線定理，角平分線定理，三等分點或者更為一般的位置.利用它們的探究結論引導學生推導比較，發現其一般規律，以后學生再遇到此類問題時即可迅速分辨其所屬類型，提取已有的相應思維模式迅速答題.

3.2? 加強模塊專題化復習，提升遷移應用能力

梳理近年高考三角綜合題的高頻考點，構成常考專題知識體系，加強專題化復習和重難點突破.解三角重點突破如下項目：正余弦定理直接應用；三角函數取值范圍問題；周長、面積取值范圍問題；嵌套三角形求解問題等.專題復習時，應根據學生本身實際情況設定相應專題訓練的例題和習題，并提升學生遷移應用能力.以學習人教A版必修二第六章——余弦定理為例，學生需要熟悉如集合、函數、三角函數、向量等基礎知識.這些基礎知識都將有助于直接破解余弦定理發現和證明等難題.在探究余弦定理的過程中，教師創設的問題呈現形式也應盡可能有利于學生知識遷移能力的培養.例如，可以問學生，你能否用代數式形式表示出它的邊角關系？對于此問題，學生給出的結論可能多種多樣，教師在一一分析解答中，學生知識遷移和應用能力都將得到提升.

3.3? 依托真實情境和跨學科融合，強化探究的過程體驗

真實情境是培養學生知識探究能力的重要依托.應當深入挖掘在真實情境中隱含的教學內容，以及它們所涉及的數學本質、規律和思想方法等.例如，人教A版必修二第六章所學的向量相關知識是有很強的物理學科韻味的.從物理中位移、力的合成得到啟發，引進向量的加法；由力和位移兩個向量，明確做功這一標量，受到啟發，引入向量的數量積；研究小船行程最短或時間最短問題時，學生是有一定生活經驗的，讓他們想象自己在河中游泳，如何到達？問題設計時可以只有題干，沒有問題，由學生自己提出問題并解決問題.倘若教學中教師能精心選擇跨學科素材，以自主學習或合作探究模式進行解法探索和過程體驗，就能讓學生的深度學習真正發生.

3.4? 強化學科思想方法滲透，提升學科核心素養

以中國高考評價體系為指導思想，落實立德樹人任務，是新高考背景下學科教學的時代使命.依托數學知識，淡化特殊技巧，探究數學本質，培養數學核心素養，是提升學生發現、分析、解決問題能力的必由之路.教師唯有通過在教學中把握學生的認知規律，教會學生如何追本朔源，弄清問題本質，學生才能舉一反三，融會貫通，才有可能真正領悟數學思想的真諦.例如，因三角形隸屬于幾何圖形，從平面幾何的角度出發探究問題本質，是數形結合思想重要體現.從實際問題構建數學模型，將現實生活中測量角度、高度、距離等問題轉化為可解的三角形問題，讓數學真正回歸生活，也是數學的本質所在.結構不良開放試題也是近幾年新出現的題目類型，在解三角中經常被采用.教師在教學時可通過此類題型，對教學內容進行優化重組，與學生在問題的探究過程中，讓知識脈絡更加清晰.同時，學生的邏輯推理、直觀想象、數學建模、數學運算等核心素養也能得到提升[ 3 ].

總之，對照課程標準，深研教材原型，建構思維模型，加強模塊整合，強調跨學科融合，滲透數學思想等教學舉措能有效增強學生學習“解三角形綜合題”效果，促進學科核心素養在高中數學課堂教學的生根發芽.

參考文獻：

［1］ 李作濱.素養導向的數學測評研究：以2018年高考為例[J].數學教育學報，2018，27（6）：33-37.

［2］ 楊孝斌，周國利，周婭.兩道“解三角形”高考題的解法研究、比較分析及教學啟示：以全國Ⅲ卷理科數學2017年第17題、2019年第18題為例[J].興義民族師范學院學報，2020（1）：112-116，124.

［3］ 林運來.基于邏輯推理素養的高三復習教學[J].中學數學，2018（9）：24-26.