數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析

王德朋

摘? ?要：為貫徹落實(shí)“立德樹人”根本任務(wù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在六大核心素養(yǎng)中是最為基礎(chǔ)也是極為關(guān)鍵的核心素養(yǎng)，并能夠?yàn)榱硗馕宕蠛诵乃仞B(yǎng)的培養(yǎng)進(jìn)行鋪墊.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，數(shù)學(xué)抽象思想方法是必不可少的.文章主要從基本概念、數(shù)學(xué)抽象的基本形式、數(shù)學(xué)抽象的應(yīng)用案例及結(jié)論四部分介紹了數(shù)學(xué)抽象在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；應(yīng)用

自2017年高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂以來，教學(xué)教育堅(jiān)持以“立德樹人”為根本任務(wù)，并相應(yīng)地提出了六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要以培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，并貫穿于教學(xué)的全過程中.數(shù)學(xué)抽象作為最基礎(chǔ)的核心素養(yǎng)，在高中數(shù)學(xué)中都有所體現(xiàn).教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中通過知識(shí)的講解與應(yīng)用，即從實(shí)際的生活問題中抽象出數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決，來逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1? 基本概念

1.1? 抽象的概念

抽象是指在大部分事物中提取出共同本質(zhì)特征，放棄其中非本質(zhì)特征的思維過程[ 1 ].抽象要通過對(duì)比選擇出最根本的特征.在生活實(shí)踐中，抽象是運(yùn)用判斷及推理等形式去粗求精的過程.

1.2? 數(shù)學(xué)抽象的概念及表現(xiàn)

數(shù)學(xué)抽象是在實(shí)際問題中把數(shù)量與空間形式進(jìn)行抽象，以此形成相關(guān)研究對(duì)象的素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)教學(xué)中最基本的思想，把數(shù)量與數(shù)量之間、圖形與圖形之間的關(guān)系抽象成概念與概念之間的關(guān)系，從具體事物中抽象出共同特點(diǎn)，一般結(jié)構(gòu)，賦予數(shù)學(xué)語(yǔ)言來表達(dá)[ 2 ].其主要表現(xiàn)是：通過抽象，得到概念以及規(guī)則，提出模型，構(gòu)成數(shù)學(xué)思想方法，并建立數(shù)學(xué)體系.教師在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生在情境問題中抽象出數(shù)學(xué)的概念、方法與體系，養(yǎng)成從具體情境抽象出數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，學(xué)會(huì)運(yùn)用抽象思維去解決實(shí)際問題.如圖1所示.

2? 數(shù)學(xué)抽象的基本形式

如圖2所示，數(shù)學(xué)抽象的基本形式有弱抽象、強(qiáng)抽象、構(gòu)象化抽象及公理化抽象，下面對(duì)于這四種基本思維形式作以介紹.

2.1? 弱抽象

弱抽象是對(duì)某一事物的一個(gè)特征或從該事物的側(cè)面進(jìn)行抽象，形成比原事物更一般的理論和概念.通過抽象，形成了一個(gè)鮮明的特例，保留抽象出來的本質(zhì)，原事物其他性質(zhì)將被忽視.這個(gè)抽象也被稱為“概念擴(kuò)展性抽象”.例如：在各種各樣的物體的計(jì)數(shù)上，要抽象出整數(shù)的概念，原物體的性質(zhì)就會(huì)視而不見了，只考慮數(shù)的概念來確定整數(shù)的概念.

2.2? 強(qiáng)抽象

強(qiáng)抽象是在原有事物的基礎(chǔ)上賦予一些新的特征，從而形成新的概念的過程.這個(gè)新概念就會(huì)是原事物的一個(gè)特例，也被稱為“概念增加性抽象”.例如：在一個(gè)平行四邊形的概念基礎(chǔ)上，給其賦予一個(gè)新的概念“兩組對(duì)邊平行且相等”，就會(huì)形成一個(gè)新的矩形的概念.

2.3? 構(gòu)象化抽象

構(gòu)象化抽象是在原事物基礎(chǔ)上不能直接進(jìn)行抽取，而要將數(shù)學(xué)對(duì)象理想化對(duì)待，賦予其構(gòu)思想象的過程.此抽象的作用是在原事物的基礎(chǔ)上增添一種新的元素，使得其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)更加完備，因此，又被稱為“新元素添加完備式抽象”例如：在有理數(shù)的基礎(chǔ)上，構(gòu)想出了無理數(shù)，就構(gòu)成了實(shí)數(shù)，使得其系統(tǒng)更加完備.

2.4? 公理化抽象

公理化抽象是在原有的基礎(chǔ)上，為了數(shù)學(xué)的發(fā)展，通過構(gòu)思想象出了新的概念法則，并讓新法則更理想，符合要求，使得數(shù)學(xué)理論體系更加完善.此法則也叫“公理更新完善化法則”.例如：“非歐幾何學(xué)平行公理”就是通過公理化抽象而得來的.

3? 數(shù)學(xué)抽象在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用案例

3.1? 哥尼斯堡“七橋”問題

一條大河橫貫哥尼斯堡城區(qū)，共有兩個(gè)支流.市區(qū)內(nèi)有七座大橋，其中五座與河中的小島相連.該島風(fēng)景優(yōu)美，市區(qū)的居民們?cè)陂e暇時(shí)間都喜歡來島上游玩，瞻仰康德的雕像以及游玩.時(shí)間一長(zhǎng)，就有居民對(duì)七座大橋產(chǎn)生了興趣，并嘗試著能否一次性通過七座大橋，且不能在每一座橋上重復(fù)通過[ 3 ].這就是哥尼斯堡“七橋”問題的由來.如圖3所示：

人們對(duì)各種方案進(jìn)行嘗試，都達(dá)不到一次性通過七座橋的效果.著名數(shù)學(xué)家歐拉轉(zhuǎn)換思路，運(yùn)用抽象的方法用七條線段代替七座橋，用四個(gè)點(diǎn)代替四塊陸地，如圖4所示.這樣就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的問題，“怎樣一筆將七條線段一次性連接起來，且只有一個(gè)起點(diǎn)和終點(diǎn)？”即“一筆畫”.歐拉經(jīng)過分析，得到了一個(gè)結(jié)論：一筆能夠畫完的圖，“奇次點(diǎn)”要么沒有，要么有2個(gè).但圖4卻有4個(gè)，即不能一筆畫完，于是得出不能一次性通過七座橋的結(jié)論.

通過這個(gè)例子，可以深刻體會(huì)到運(yùn)用抽象的思維來解決實(shí)際問題的巨大優(yōu)勢(shì).在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在介紹用抽象思維解決問題時(shí)，可以運(yùn)用這個(gè)案例讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的重要性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3.2? 數(shù)學(xué)抽象在“函數(shù)”中的體現(xiàn)

“函數(shù)”內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)中是十分重要的一塊內(nèi)容.該內(nèi)容的學(xué)習(xí)有利于實(shí)際問題的解決.首先如何理解“函數(shù)符號(hào)y=f（x）”的意思呢？y=f（x）是一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，用來表示“y關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)”而不是f與x相乘.例：y=2x+1也能夠?qū)懗蒮（x）=2x+1，如果將x=3帶入其中會(huì)得到y(tǒng)=7，也可以寫成f（3）=7.通過對(duì)函數(shù)符號(hào)的理解，可以使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到抽象的思維方法.對(duì)于一些數(shù)學(xué)符號(hào)的理解與運(yùn)用，能更好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).此外，在函數(shù)的一些性質(zhì)里，也體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)抽象的運(yùn)用，如函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性等等.當(dāng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，借函數(shù)y=x2的圖象展示.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镴，且區(qū)間D包含于J，在D上任意取兩個(gè)值x1和x2，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），則函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)，即“單調(diào)遞增”，如圖5所示.同理，若都有f（x1）＞f（x2），則函數(shù)f（x）在區(qū)間D上就是減函數(shù)，即“單調(diào)遞減”，如圖6所示.

函數(shù)的奇偶性在對(duì)于定義的理解上以及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示奇偶性都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的應(yīng)用.“奇函數(shù)”是對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都存在f（-x）=-f（x），圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.“偶函數(shù)”是對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都存在f（x）=f（-x），圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

對(duì)于三角函數(shù)的教學(xué)，數(shù)學(xué)抽象的運(yùn)用更是必不可少的.例如，對(duì)任意角三角函數(shù)定義的理解；能根據(jù)三角函數(shù)的定義推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式并且掌握；利用單位圓能夠找到不同角的關(guān)系并理解誘導(dǎo)公式；利用三角恒等變換的公式解決一些問題；此外，在三角函數(shù)的應(yīng)用上，將一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題來解決.通過對(duì)于函數(shù)的定義理解以及賦予數(shù)學(xué)語(yǔ)言，及在實(shí)際問題中的應(yīng)用，教師在教學(xué)上能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，鍛煉抽象思維.

3.3? 數(shù)學(xué)抽象在“數(shù)列”中的體現(xiàn)

“數(shù)列”這一章是選擇性必修部分的內(nèi)容，也是高考中最重要的一部分內(nèi)容之一.尤其是等差數(shù)列及等比數(shù)列相關(guān)的知識(shí)及其應(yīng)用，是學(xué)生必須要掌握的內(nèi)容.培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在其中也是教學(xué)目標(biāo)的重要內(nèi)容.

（1）等差數(shù)列

從生活實(shí)例中，能夠抽象出等差數(shù)列的概念，以及對(duì)于通項(xiàng)公式能夠有深入的理解.例如：

{1}某人貸款買車，每月需要等額分期還款，每月還款錢數(shù)（元）分別是：2000，2000，2000，2000，……

{2}小學(xué)生數(shù)數(shù)，從1到100，即1，2，3，4，……

通過觀察這些數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)呢？以上兩組數(shù)據(jù)都是從第二項(xiàng)起與前一項(xiàng)之差為同一個(gè)常數(shù).那么，就可以從以上兩個(gè)生活實(shí)例中抽象出等差數(shù)列的概念，即“一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列即是等差數(shù)列[ 4 ].”同時(shí)，賦予數(shù)學(xué)語(yǔ)言，首項(xiàng)為a1，公差為d，得到通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d.理解等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一元一次函數(shù)的關(guān)系也能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（2）等比數(shù)列

對(duì)于等比數(shù)列的概念，通過實(shí)例也能夠有所體現(xiàn).例如：

{1}某動(dòng)物細(xì)胞細(xì)胞分裂，分裂的個(gè)數(shù)會(huì)由1個(gè)變成2個(gè)，2個(gè)變成4個(gè)，4個(gè)變成8個(gè)，以此類推，即1，2，4，8，……

通過觀察以上2個(gè)案例，就能觀察到從第二項(xiàng)起與前一項(xiàng)之比為同一個(gè)常數(shù).能夠從中抽象出等比數(shù)列的概念，即“一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)不為零的常數(shù)，這個(gè)數(shù)列即是等比數(shù)列[ 4 ].”用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：首項(xiàng)是a1，公比是q（q≠0），通項(xiàng)公式為：an=a1·qn-1.同時(shí)，對(duì)于等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系也能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象思想.

4? 結(jié)論

本文對(duì)抽象與數(shù)學(xué)抽象的概念及四種基本形式做了相關(guān)介紹，并通過哥尼斯堡“七橋”問題、函數(shù)及數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容來體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象思維方法.數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)教學(xué)中最基本的思想，在解決一些實(shí)際問題時(shí)，數(shù)學(xué)抽象思維是至關(guān)重要的.在授課過程中要引入一些生活實(shí)例，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題來加以解決，鍛煉學(xué)生的抽象思維.在新課標(biāo)的引導(dǎo)下，為把學(xué)生培養(yǎng)成全面發(fā)展的人，應(yīng)基于學(xué)生原有素養(yǎng)，提升學(xué)生抽象思維能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).高中數(shù)學(xué)的各部分內(nèi)容都能夠培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).教師在教學(xué)過程中，不僅僅要講授數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是通過在課堂上與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)交流，使學(xué)生能夠積極的參與到課堂中，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的效果，從而使學(xué)生的整體素質(zhì)得到提高.

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