數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)視角下“數(shù)列”單元整體教學(xué)研究

黃小冬

［摘? 要］ 新課標明確強調(diào)，要通過數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界. 在這樣的宏觀背景下，相應(yīng)的教學(xué)方式要進行重構(gòu)，于是包括單元整體教學(xué)在內(nèi)的教學(xué)方式就納入了一線教師的視野. 基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展的需要，單元整體教學(xué)應(yīng)當(dāng)在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上，充分利用好教科書以及學(xué)生生活中的相關(guān)資源，借助體驗性更強的數(shù)學(xué)活動幫助學(xué)生完成知識體系的建構(gòu). 這樣的單元整體教學(xué)的基本架構(gòu)涉及三個要素，分別為學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)、數(shù)學(xué)課程資源、數(shù)學(xué)體驗活動.

［關(guān)鍵詞］ 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)抽象；核心素養(yǎng)；數(shù)列；單元整體教學(xué)

當(dāng)前，高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著宏觀背景與具體教學(xué)方式的重構(gòu)現(xiàn)狀. 宏觀背景之所以需要重構(gòu)，是因為隨著新課標的頒布，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)已經(jīng)成為包括數(shù)學(xué)學(xué)科在內(nèi)所有學(xué)科的教學(xué)共識，而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)則更加明確了基本要素（包括數(shù)學(xué)抽象在內(nèi)的六個要素）. 新課標明確強調(diào)，要通過數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界. 在這樣的宏觀背景下，相應(yīng)的教學(xué)方式要進行重構(gòu)，于是包括單元整體教學(xué)在內(nèi)的教學(xué)方式就納入了一線教師的視野. 單元整體教學(xué)是相對于傳統(tǒng)的以課時、節(jié)為單位的課堂教學(xué)而言的. 所謂單元整體教學(xué)，就是把一個單元看成一個有機的學(xué)習(xí)和認知整體，即在明確的學(xué)習(xí)目標統(tǒng)領(lǐng)下，對一個單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容進行系統(tǒng)規(guī)劃和設(shè)計，關(guān)注知識邏輯，注重學(xué)生發(fā)展，并在此基礎(chǔ)上建立不同課文內(nèi)容間的聯(lián)系，充分彰顯單元學(xué)習(xí)的價值，使學(xué)生的學(xué)習(xí)既有明確的目標，又有清晰的路徑，進而最大可能地促進學(xué)生能力發(fā)展和素養(yǎng)提升［1］.

一線教師往往關(guān)注的就是教學(xué)方式，單元整體教學(xué)作為一種新型的教學(xué)方式，教師在理解時首先要形成理論認識. 康德認為，知識在本質(zhì)上是一個整體，正確使用人的理性可以指導(dǎo)主體將支離破碎的、不完整的知識，統(tǒng)整上升到更高層次的整體知識［2］. 隨著基礎(chǔ)教育課程改革的推進，強調(diào)知識的整體性和單元整體作用的教學(xué)觀愈加受到重視［3］. 在這樣的認識下，在核心素養(yǎng)培育的背景下，單元整體教學(xué)也就應(yīng)運而生. 借助單元整體教學(xué)來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，成為當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中過程與目標關(guān)系的體現(xiàn). 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的第一要素，因此筆者選擇在數(shù)學(xué)抽象的視角下研究單元整體教學(xué). 用《普通高中教科書·數(shù)學(xué)·選擇性必修第二冊》（人教A版）（下文簡稱教材）第四章“數(shù)列”這一知識，可以充分建立起數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培育視角，同時也可以實施單元整體教學(xué). 下面就從基本架構(gòu)、案例分析、研究反思等三個角度進行闡述.

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)視角下“數(shù)列”單元整體教學(xué)的基本架構(gòu)

新課標描述數(shù)學(xué)抽象時是這么說的：數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng). 新課標同時進一步指出：數(shù)學(xué)抽象主要從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征. 這樣的描述實際上指出了培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的基本思路，那就是引導(dǎo)學(xué)生研究數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系以及事物的具體背景，得到數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，然后用數(shù)學(xué)語言予以表征. 站在學(xué)生的角度來看數(shù)學(xué)抽象，可以認為數(shù)學(xué)抽象大體經(jīng)由簡約階段、符號階段、普適階段等三個基本階段. 以教學(xué)形態(tài)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)抽象，遵循數(shù)學(xué)抽象的一般規(guī)律，同時又具有實物抽象、半符號抽象、符號抽象和形式化抽象等四種表現(xiàn)形式［4］.

有了這樣的認識，意味著數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)視角就清晰了. 在這一視角下再來看單元整體教學(xué)的基本架構(gòu)，筆者認為基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展的需要，單元整體教學(xué)應(yīng)當(dāng)在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上，充分利用好教科書以及學(xué)生生活中的相關(guān)資源，借助體驗性更強的數(shù)學(xué)活動幫助學(xué)生完成知識體系的建構(gòu). 這樣的單元整體教學(xué)的基本架構(gòu)涉及三個要素，分別為學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)、數(shù)學(xué)課程資源、數(shù)學(xué)體驗活動. 這三個要素是互相關(guān)聯(lián)、互相作用的，銜接三者關(guān)系的是學(xué)生本身，是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程.

對“數(shù)列”這一單元的教學(xué)而言，教師要引導(dǎo)學(xué)生認識到數(shù)學(xué)知識看起來雖然抽象，但是對數(shù)列的研究卻是源于現(xiàn)實生產(chǎn)與生活的需要. 認識到這一點，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)也就有了基礎(chǔ). 在“數(shù)列”教學(xué)中，將等差數(shù)列與等比數(shù)列放在單元整體的視角下讓學(xué)生去學(xué)習(xí)，這是單元整體教學(xué)的宏觀思路. 教師可以參考上文總結(jié)的單元整體教學(xué)的基本架構(gòu)，重新設(shè)計本單元教學(xué). 這樣呈現(xiàn)在學(xué)生面前的單元整體教學(xué)，應(yīng)當(dāng)是基于學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，教師通過課程資源的開發(fā)與利用，來幫助學(xué)生體驗數(shù)學(xué)抽象的過程. 與傳統(tǒng)教學(xué)不同的是，無論是教師提供課程資源時，還是學(xué)生加工課程資源時，等差數(shù)列與等比數(shù)列有可能同時出現(xiàn)，那么相應(yīng)的概念建立也會同時發(fā)生. 另外，考慮到等差數(shù)列與等比數(shù)列的相同點與不同點，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在探究等差數(shù)列時，形成更好的研究視角與能力，然后向等比數(shù)列的探究遷移，這是單元整體教學(xué)的基本思路，也是最有價值的選擇. 畢竟由于時間和空間的限制，等差數(shù)列與等比數(shù)列不可能同時學(xué)習(xí)，而這種前期能力向后期學(xué)習(xí)的遷移，正成為單元整體教學(xué)的最佳注解.

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)視角下“數(shù)列”單元整體教學(xué)的實踐案例

借助上文總結(jié)的單元整體教學(xué)的基本架構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)在實施單元整體教學(xué)時，既要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)抽象的價值，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中有充分的數(shù)學(xué)抽象體驗，又要保證單元知識的整體性，讓學(xué)生在體驗的過程中建立起關(guān)于單元整體知識的認識. 數(shù)學(xué)抽象通常要經(jīng)歷感知與識別、分類與概括、想象與建構(gòu)、定義與表征、系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化等五個階段［5］. 這五個階段就是學(xué)生建構(gòu)知識的大致歷程，而在單元整體教學(xué)的基本架構(gòu)的引領(lǐng)下，則可以對本單元知識進行系統(tǒng)設(shè)計. 例如，筆者的設(shè)計是這樣的：

首先，列舉生活中關(guān)于數(shù)列的例子，讓學(xué)生初步感知數(shù)列的魅力.

數(shù)列本身是抽象的，但是數(shù)列在生活中卻對應(yīng)著不少實例，利用這些實例來幫助學(xué)生夯實感性認識的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)最好的切入口之一. 這些實例就是本單元整體教學(xué)的課程資源，想利用這些課程資源引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)列的魅力，就要保證課程資源是豐富的，要確保學(xué)生在分析這些例子時，能夠同時認識等差數(shù)列與等比數(shù)列.

比如，用教材所舉的例子——王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高得到的身高數(shù)據(jù)，可以幫助學(xué)生初步形成“不能交換位置的一列數(shù)就是數(shù)列”的認識，這對學(xué)生而言是認知突破，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)原來看起來雜亂無章的數(shù)據(jù)也是有章可循的. 這個過程需要數(shù)學(xué)抽象，因此教師舉例時要特別注意，可以在給出框架性思路后，讓學(xué)生嘗試自己去舉例. 比如學(xué)生所形成的初步認識其實就是一個框架，讓學(xué)生在這一框架內(nèi)根據(jù)自己對數(shù)列的理解去舉例，那么學(xué)生由于經(jīng)驗差異性的存在，就會舉出既在框架內(nèi)，又存在著明顯不同的數(shù)列的例子. 這些例子有的來自生活，有的來自學(xué)生的自主建構(gòu)——后者實際上已經(jīng)進一步演繹了數(shù)學(xué)抽象的魅力. 分析這些例子，也就成為下一步單元整體教學(xué)的內(nèi)容.

其次，引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納例子，進一步建立等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念.

這里要提出的例子必須是豐富的，分析歸納后的結(jié)果必須是簡潔的. 在學(xué)生所舉的例子中，通常會自然出現(xiàn)等差數(shù)列和等比數(shù)列. 這時研究的對象就是學(xué)生所舉的數(shù)列例子，這樣可以更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)列中蘊藏的規(guī)律. 其實學(xué)生舉例也是借助自身的經(jīng)驗進行的，在分析例子時，學(xué)生原有的感性認識就可以發(fā)揮作用，這個作用可以驅(qū)動學(xué)生的思維從形象向抽象轉(zhuǎn)化，本質(zhì)上也是數(shù)學(xué)抽象的一部分. 比如有的學(xué)生舉的例子是自然數(shù)，即1，2，3，4，5，…；有的學(xué)生根據(jù)故事舉例，如在棋盤的方格中放米粒，得到1，2，4，8，16，…. 通過對這些例子的分析可以發(fā)現(xiàn)，不同數(shù)列所遵循的規(guī)律有所不同. 當(dāng)然，這種“不同”應(yīng)當(dāng)由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，這在客觀上也是一個數(shù)學(xué)抽象的過程. 之所以這么說，是因為當(dāng)學(xué)生熟悉具有抽象特征的數(shù)列后，其就是一個形象思維加工的對象，而尋找數(shù)列背后的規(guī)律就變成了一個抽象的過程.

從學(xué)生學(xué)習(xí)的實際情形來看，學(xué)生能夠通過數(shù)學(xué)抽象發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系：類似于“1，2，3，4，5，…”，就是不斷地“+1”，而類似于“1，2，4，8，16，…”，就是不斷地“×2”. 學(xué)生可能同時發(fā)現(xiàn)這些關(guān)系，因此同時建立等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，也就是水到渠成的一件事情，反映了單元整體教學(xué)的基本特征.

再次，引導(dǎo)學(xué)生進行遷移.

根據(jù)教材知識呈現(xiàn)的順序，學(xué)生首先探究的是等差數(shù)列. 但由于此前的單元整體教學(xué)，學(xué)生此時大腦中已經(jīng)有了等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，因此教學(xué)等差數(shù)列時，要堅持能力立意的思路，從而為后面等比數(shù)列的自主探究奠定基礎(chǔ). 此時能力立意的主要體現(xiàn)，就是發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的規(guī)律，尤其是等差數(shù)列的通項公式. 等差數(shù)列的通項公式實際上是一個數(shù)學(xué)模型，這一模型的建立與運用，表征著學(xué)生對等差數(shù)列學(xué)習(xí)的能力. 當(dāng)這種能力實現(xiàn)遷移的時候，其實就是本單元知識教學(xué)表現(xiàn)出“整體”一面的時候.

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)視角下數(shù)列單元整體教學(xué)的研究反思

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)視角下的單元整體教學(xué)，在“數(shù)列”這一單元的教學(xué)中有著充分的體現(xiàn)：數(shù)列概念的建立，充分體現(xiàn)著數(shù)學(xué)抽象的基本特征；等差數(shù)列與等比數(shù)列兩個概念的同時建立，意味著單元整體教學(xué)落到實處；學(xué)生在等差數(shù)列學(xué)習(xí)過程中形成的認知與能力，有效遷移至等比數(shù)列學(xué)習(xí)，意味著單元整體教學(xué)走向高潮……由此來看，在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的視角下進行單元整體教學(xué)，不僅讓學(xué)生對數(shù)學(xué)概念或規(guī)律的理解更具整體性，還讓包括數(shù)學(xué)抽象在內(nèi)的核心素養(yǎng)得到更好的發(fā)展.

由此進一步反思單元整體教學(xué)，筆者認為其可以成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的有效途徑. 尤其對于數(shù)學(xué)抽象而言，教師必須充分認識到數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象，只有通過抽象才能得到抽象的東西［6］. 有了這樣的認識，再借助單元整體教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生完成知識的建構(gòu)與運用，那么數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)就可以切實落地；如果能夠進一步挖掘單元整體教學(xué)的價值，將更多的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素蘊含其中，那么在高中數(shù)學(xué)教師面前也就打開了一個新的教學(xué)空間.

參考文獻：

［1］ 陸啟威.單元整體教學(xué)的價值訴求與路徑探析［J］.江蘇教育，2022（25）：27-31.

［2］ 康德. 純粹理性批判［M］. 韋卓民，譯.武漢：華中師范大學(xué)出版社，2000.

［3］ 王海青，吳有昌. 基于數(shù)學(xué)單元的整體教學(xué)探索與實踐：問題驅(qū)動的視角［J］. 數(shù)學(xué)通報，2022，61（03）：27-32+46.

［4］ 張勝利，孔凡哲. 數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］. 教育探索，2012（01）：68-69.

［5］ 李昌官. 數(shù)學(xué)抽象及其教學(xué)［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017，26（04）：61-64.

［6］ 史寧中. 數(shù)學(xué)的抽象［J］. 東北師大學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版），2008（05）：169-181.