高中集合知識中數學思想方法的教學研究

盛晗笑 余波 董寧

［摘? 要］ 在教學中傳遞數學思想方法，對學生全方面發展以及創新型人才的培養都有著重要意義. 研究者通過教材分析、訪談以及文獻查閱等方法，從教和學的角度探究應用于集合教學的數學思想方法，分析教師教和學生學存在的問題，并提出有針對性的教學對策，從而幫助教師在集合教學中能夠有效滲透數學思想方法，提升學生的數學素養.

［關鍵詞］ 集合知識；數學思想方法；教學對策

引言

21世紀以來，國家各行業領域對于創新型人才的需求持續增長，如何培養創新型人才成了教育領域一直以來討論的話題. 創新型人才的基礎是人的全面發展，而其所具備的意識、能力以及精神等并不是憑空產生的，它們與人才的其他素質有著密切的聯系. 在大數據時代下，對有意義的數據進行專業化處理是創新型人才應具備的能力，而這項能力的培養離不開數學思想方法的幫助.

在傳統的教育環境下，數學教學大多以知識講授為主，學生無法從中理解知識的深層含義，也無法掌握數學思想方法. 《普通高中數學課程標準（2017年版）》提到，高中數學要以發展學生數學學科素養為導向，創設合適的教學情境，從而引導學生把握數學內容的本質，而高中數學教學離不開數學思想方法的指導，缺少了數學思想方法，學生的數學學科素養就得不到有效提升. 因此，教師要利用合理的教學方式，傳遞數學思想方法，讓學生能理解并應用，為學生適應社會發展并成為創新型人才打下良好的基礎.

集合是高中數學的第一個概念，它貫穿整個高中數學，是學生必須學習的基礎知識以及數學語言. 在集合教學中，要讓學生掌握數學思想方法，不僅需要教師根據實際情況調整教學方式，也需要學生不斷改善學習策略.

數學思想方法的概述及研究情況

1. 數學思想方法的概述

數學思想方法指的是人們在數學活動不斷進行的情況下，將所得的數學經驗進行總結，再加以抽象概括形成的帶有普遍指導意義的思想方法. 高中數學主要包含以下幾種思想方法.

（1）函數與方程思想方法.

函數與方程思想方法是高中數學基本的數學思想方法，包含函數思想方法和方程思想方法兩部分. 函數思想方法指的是用運動和變化的思路去分析和研究數學中對象間的數量關系，從而建立函數關系或構造對應的函數，再運用函數的圖象和性質去分析問題、解析問題. 方程思想方法指的是通過分析數學問題中變量間的等量關系，列出未知數，建立方程或方程組解決問題. 函數與方程是可以相互轉化的，掌握函數與方程思想方法，學生可以更好地理解數學中的一些動態問題.

（2）數形結合思想方法.

在高中數學中，數學研究對象通常分為“數”與“形”兩部分，兩者間存在一定的聯系. 因此，借助“數”來闡明“形”的特性，或者利用“形”來表達“數”的關系，就是數形結合思想方法的應用. 掌握數形結合思想方法，學生可以有效提高抽象思維能力和形象思維能力，提升數學素養.

（3）分類與整合思想方法.

分類指的是當問題包含多種情況不能統一研究時，需要按照一定的劃分標準對問題進行分類研究. 而整合指的是對問題進行分類討論后，需要綜合并檢驗所得結論，從而得到解決問題的最終結果. 掌握分類與整合思想方法，有利于學生以更全面的眼光看待事物［1］.

（4）化歸與轉化思想方法.

化歸與轉化思想方法指的是在解決較難的問題時沒有思路，通過對問題的觀察、分析，運用適當的原則和方法將較難的問題轉變為較熟悉或簡單的問題進行解決的思想方法. 掌握化歸與轉化思想方法，學生可以不斷突破、不斷發展，以已有的知識和經驗解決未知問題.

（5）特殊與一般思想方法.

特殊與一般思想方法指的是當面對一些較抽象或難以解答的問題時，通過取特殊值或用特殊方法去解決，或者根據特殊問題推導出一般結論的思想方法. 學生一旦掌握特殊與一般思想方法，就可以利用規律解決新問題，也可以通過個例推導出一般規律，從而有效提高解題效率.

（6）有限與無限思想方法.

有限與無限思想方法指的是把問題中的無限情況轉化成有限情況來解決，或將有限情況轉化為無限情況來解決的思想方法. 學生一旦掌握有限與無限思想方法，就可以加深知識理解，擴大知識面.

（7）或然與必然思想方法.

或然與必然思想方法指的是在概率事件中，利用偶然規律尋找必然，或者利用必然事件解決偶然事件的思想方法. 掌握或然與必然思想方法，學生可以運用或然與必然的辯證關系解決實際問題.

2. 數學思想方法的研究情況

古希臘幾何學家歐幾里得在亞里士多德三段論的基礎上創作了《幾何原本》，系統描述了公理化方法. 德謨克利特在古希臘唯物主義哲學家留基伯的研究基礎上發明了“無窮小分析法”，阿基米德在古希臘詭辯論者安提豐發明的“窮竭法”的影響下發明了定積分. 這些方法和結論都蘊含著一個非常重要的數學思想方法——極限思想方法. 古希臘的數學家將數學和哲學融為一體，以哲學理論推動著數學的發展，并由此發現了一系列數學思想方法.

美國數學家M·克萊因編寫了《古今數學思想》，闡述了數學思想方法發展的歷史；日本數學家米山國藏的著作《數學的精神、思想和方法》則系統論述了貫穿數學的思想方法. 此外，國外還有許多學者對數學思想方法進行了細致研究，這些研究成果對我國的數學發展產生了重要影響.

我國東漢初年編訂的數學經典著作《九章算術》確定了我國古代數學的框架，它的出現標志我國古代數學形成了完整的體系，在算術、幾何和代數等方面均有涉及.

徐利治教授編寫的《數學方法論選講》《數學方法論教程》等著作，強調數學思想方法在我國中學數學中的重要性；鄭毓信教授發表的《數學方法論》《數學方法論入門》等著作則從不同維度對數學方法的教育進行了闡述. 此外，國內還有非常多優秀的學者對數學思想方法進行了研究，并運用到了中學數學教學中，為我國的數學教育做出了非常大的貢獻.

高中集合知識的研究情況

1. 集合知識的教材分析

以人教A版數學必修第一冊教材（2019年版）（下文簡稱教材）為例，集合知識集中于第一章，主要包含集合的概念、集合間的基本關系和集合的基本運算三部分. 集合是高中數學引入的第一個概念，是貫穿整個高中數學的語言，與后續學習的不等式、函數、幾何等高中數學知識有著密切聯系. 學好集合能夠幫助學生在生活中運用數學語言解決問題，也能夠為之后的高中數學學習打下良好的基礎.

2. 集合知識蘊含的數學思想方法

單純的集合知識不難理解，但是集合知識與其他數學知識相結合的綜合題常常令學生手足無措. 只有將數學思想方法融于所學的數學知識中，讓學生發現知識間的內在聯系，才能幫助學生更好地理解知識，提升學生的數學素養，促進學生全面發展.

集合知識的教學現狀和學習現狀

1.集合知識的教學現狀

筆者通過對某地區部分高中數學教師的訪談，發現其在集合知識的教學中存在一些問題，之后對這些問題進行了整理歸納. 結合對文獻資料的整理，與上述結論進行了比對，歸納出以下幾個方面.

（1）忽視了集合內容的重要性.

在訪談和文獻查閱中發現，部分教師認為集合知識比較簡單，講解得較快，且在之后的章節中也沒有格外強調集合語言的重要性［3］. 這導致學生無法充分理解集合知識，也無法發揮主觀能動性，同時把集合知識與其他數學知識割裂開來，使學生解答集合綜合題時比較茫然，不知道如何下筆.

（2）集合教學為應試服務.

部分教師在集合知識講解中特別關注與考試相關的題目，更注重考試題型和解題技巧，同時只從成績上考查學生理解集合知識的情況. 這使得學生盲目關注解題，而忽略了集合語言的真正內涵.

（3）集合知識的講解過于單調.

集合知識是高中數學的第一個概念，有著非常重要的意義. 且集合是一門數學語言，學習并理解集合對學生的數學思想方法的發展有著非常大的幫助. 但是部分教師講解集合知識時既沒有注重導入環節，又比較單調，例題的設置與現實生活缺乏聯系，這樣的教學方式很難讓學生提起對集合知識的興趣，自然無法激發學生的學習動力.

（4）對教材的研究不夠透徹.

新課標提到，高中數學要以發展學生的數學學科素養為導向，創設合適的教學情境. 但當前的教育環境下，一些教師對教材的研究還不夠透徹，掌握不到可以有效促進學生理解數學知識、發展學生數學學科素養的方法，因此也就無法有效展開集合知識的教學.

2. 集合知識的學習現狀

通過對某地區部分高中生的訪談和問卷調查，以及對高中生集合習題完成情況的研究，發現其在集合知識學習中存在一些問題，之后對這些問題進行了整理歸納.

（1）對集合知識理解困難.

學生對集合概念不清楚，理解困難，具體表現在：①子集和真子集的概念；②常見數集的分類及字母表示；③屬于關系和包含關系的概念；④集合的基本運算；⑤空集與含“0”元素集合的概念區別；⑥補集的概念.

（2）對集合知識應用困難.

部分學生雖然對集合概念有了一定的了解，但是無法用合適的集合知識解決問題，具體表現在：①知道交集、并集、補集的概念，但是混合運算存在困難；②對有關集合的綜合題無從下手；③求解子集問題時容易忽略空集的存在.

（3）對集合要素把握不深.

學生對集合要素把握不深，特別是集合的互異性. 當提到集合三要素時，學生容易回憶起“確定性、無序性和互異性”，但求解一些含代數式的集合時，部分學生通常會得到含相同元素的集合作為最終答案，這說明他們對集合三要素并沒有完全理解.

滲透數學思想方法的集合教學策略

1. 深入研究教材，更新教學理念

集合知識在教材的第一章，內容比較基礎，但如何讓學生從中掌握集合語言，運用集合語言對數學內容進行描述是一項艱巨的任務［4］. 教師要重視集合知識的重要性，在進行集合教學前要深入理解教材的編排意義，對集合知識有一個整體把握，這樣才能在課堂教學中有條不紊地將知識傳遞給每一位學生.

通過近幾年的高考試題研究，可以發現高考題目的設置不再著重考慮學生的解題技巧和機械運算，而是更關注學生對試題的理解能力. 因此，教師需要持續更新教學理念，在進行集合知識教學時要重視數學思想方法與集合知識的結合. 比如，在傳遞數形結合思想時，教師可以利用多媒體技術展示相關圖形的制作，讓學生直觀感受數形結合的作用. 又比如，在傳遞化歸與轉化思想方法時，教師可以組織學生就集合綜合題展開討論，讓每一位學生根據題目談談自己想到的知識，這樣可以有效提高學生思考問題的靈活性.

2. 創設學習情境，融入數學史

如果教師講授集合知識時過于單調，只是一味地講解概念，那么學生學習數學的熱情就會大大降低，數學思想方法也就無法順利地傳遞給學生. 這就決定教師在教學時要根據知識不斷創設學習情境，滲透數學思想方法，將集合知識與生活實際相結合，加深學生對集合知識的理解. 在后續如不等式、函數等知識的教學中，也可以創設用集合語言進行表述的問題，促使學生復習集合知識，對集合知識有更加深刻的了解.

數學史是數學的一部分，在教學中融入數學史可以幫助學生了解數學發展的過程. 教材的編排是符合邏輯結構和學習要求的，但它舍棄了許多數學知識和方法形成的背景和過程，若學生只學習教材上的內容，則難以了解數學全貌. 這就需要教師在教學中融入數學史，讓學生體會數學發展的脈絡，了解數學知識產生的背景，增加學習動力.

3. 課后及時總結，歸納數學方法

上完一節數學課后，如果教師沒有帶領學生進行總結歸納，那么學生腦海中的知識就顯得雜亂無章. 作為引導學生理解知識的主導者，教師應在每節課結束后帶領學生進行總結歸納，引導學生將知識串聯起來，從而加深學生對知識的記憶和理解.

數學思想方法的掌握同樣離不開總結歸納，因此教師上完一節數學課后，應帶領學生對所學知識所蘊含的數學思想方法進行總結歸納. 比如講授完集合知識后，可以將數學思想方法與對應的集合題相結合，由此促進學生記憶，之后教師再對集合知識所蘊含的數學思想方法進行羅列與歸納，使學生在后續的解題過程中更加深刻地理解數學思想方法.

結論

新時代呼喚創新型人才，而創新型人才的培養離不開數學思想方法的幫助. 教師只有不斷鉆研教材，改善教學方法，以學生為主體，從學生的思維角度出發，才能有效幫助學生理解數學思想方法并學會在各領域中應用.

參考文獻：

［1］ 杜紅全. 曬曬集合中常用的數學思想［J］. 數理化解題研究，2021（22）：2-3.

［2］ 黃偉軍，張勇平. 數學思想方法在集合問題中的應用［J］. 廣東教育（高中版），2011（09）：20-22.

［3］ 張麗萍. 高中數學集合的教學現狀及對策研究［D］. 曲阜師范大學，2020.

［4］ 陳麗華. 從數學知識到數學思想的實現途徑——以“集合”知識的教學為例［J］. 數學大世界（上旬），2016（12）：11.