HPM視角下“有理數的乘方”教學設計與思考

徐敬元 黃賢明

［摘? 要］ 數學史在數學教學中發揮著獨一無二的教育價值.乘方是初中數學的重要概念，擁有著豐富的歷史底蘊.在HPM視角下，以蘇科版“有理數的乘方”一課的教學設計為例，指出HPM教學應以目標為導向選取史料，以活動為載體加工史料，以德育為基點運用史料.

［關鍵詞］ HPM；有理數的乘方；教學設計

數學史作為數學文化的重要構成部分，在數學教學中發揮著獨一無二的教育價值. 已有的實踐研究證實，數學史具有知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅和德育之效的教育價值? ［1］ . 乘方是初中數學課程中的重要概念. 蘇科版教材先創設“拉面”的情境引入課題，然后通過折紙實驗得到多個2相乘的算式，進而給出了冪的符號以及乘方、底數、指數和冪的概念.

對于初中生來說，從26到an到四個數學概念是認識上的一次飛躍. 在實踐中發現，學生首次接觸冪的符號時，對其認識還停留于過去的經驗，將26認為是2×6，并沒有將符號所表示的內容與四個概念對應起來. 因此，對于符號的給出與乘方概念的建構并非如同教材設計的那樣順利，若“蜻蜓點水”般帶過，則學生形成的概念大多停留于記憶層面而非理解層面，這不利于后續乘方運算的探索. 事實上，從歷史上來看，關于乘方的歷史故事較為豐富，冪的符號的起源與發展也沉淀著深厚的歷史文化底蘊，如今冪的符號是一代代數學家在生動實踐中的智慧結晶，是幫助學生理解概念的重要素材，擁有豐富的德育價值. 基于此，在HPM視角下對“有理數的乘方”一課進行教學設計與思考.

史料的內容及其運用

1. 關于乘方的歷史故事

（1）棋盤擺米的故事.

故事大意為：古印度人西塔發明了國際象棋而受到國王的賞賜，西塔要求按“1，2，4，8，…”的規律在64格棋盤內擺上對應數的米粒，國王不假思索就答應了. 事實上，格子內的米粒數依次對應著“20，21，22，23，…，263”，所需的米粒數近乎1. 8×1019.

（2）阿基米德的大數記法.

古希臘數學家阿基米德（Archi-medes，公元前287年—公元前212年）在《數沙者》中引入了大數記法：從1數到1萬萬記為一階數，從1萬萬數到1萬萬個1萬萬記為二階數，從1萬萬個1萬萬數到1萬萬個1萬萬個1萬萬記為三階數，以此類推. 他得到“充滿宇宙”的沙子數不超過1000個七階數，即不超過1051.

2. 關于冪的符號的發展歷史

關于冪的符號的發展大致經歷了兩個階段? ?［2］.

第一階段：由于古代數學運算并沒有涉及較高次的冪，所以古代數學家對于冪的符號的設計從平方與立方的符號出發，通過平方與立方符號的組合來表示更高次的冪. 例如：古希臘數學家丟番圖（Diophantus，246—300）在《算數》中用“ΔY”表示平方，用“KY”表示立方，四次方就是“ΔYΔ”的形式，五次方是“ΔKY”的形式. 顯然，這種表示冪的方法雖然圍繞著同底數冪的乘法運算法則，但對于較高次的冪卻難以表示，并且這樣的表示方法沒有將指數與底數聯系起來.

第二階段：16世紀，隨著法國數學家韋達（F.Viète，1540—1603）提出“字母表示數”，冪的記法出現了“新天地”. 對于“a2，a3，a4，a5，…”的表示，數學家們眾說紛紜. 比如韋達提出用“a.q，a.cu，a.qq，a.qcu，…”來表示；英國數學家哈里奧特（T.Harriot，1560—1621）提出用“aa，aaa，aaaa，aaaaa，…”來表示；法國數學家艾里岡（P.Hérigone，1580—1643）提出用“a2，a3，a4，a5，…”表示；比利時數學家羅曼努斯（A.Romanus，1561—1615）提出用“a（2），a（3），a（4），a（5），…”來表示……直達1637年，法國數學家笛卡兒（R.Descartes，1596—1650）創用了冪的新符號“an”，這個符號一直沿用至今.

從歷史上來看，冪的符號從圖形符號逐漸向字母符號發展，隨著較高次冪的表示的需要，符號設計趨向于實用、便捷，利于書寫，不易混淆，且能夠體現冪的意義.

3. 史料運用

本節課從多個角度融入數學史（見表1），旨在以數學史激發學生的探究興趣，追溯冪的符號的發展歷史，促使學生理解與運用乘方的意義；旨在提升學生的創新意識，加強學生數學抽象、數學運算等數學素養的培養.

“有理數的乘方”的教學設計

1. 故事引入

呈現棋盤擺米的故事.

問題1? 從數學的角度思考，如果你是國王你會不會答應西塔的要求？

問題2? 按照西塔的擺法，第4格、第5格應該放多少粒米？

教師引導學生呈現3個2相乘、4個2相乘的過程（如圖1所示）.

追問：第10格放的米粒數應該怎么表示？第64格呢？

教師引導學生將米粒數的運算過程表示出來，并指出這是多個相同的數相乘的運算，類比乘法運算的經驗，呈現乘方的概念：求n個相同因數的積的運算叫乘方.

設計意圖 數學史上的名人軼事是課堂教學的重要素材，這里選取“棋盤擺米”的故事既可以引出乘方運算，又可以激發學生的學習興趣，為課堂增添了人文色彩. 問題1的設計讓學生站在國王的角度用數學思維思考問題，從對米粒數的感性認識轉向理性思考；問題2及其追問讓學生在理性角度分析米粒數，揭示乘方運算的概念及其學習意義，同時為后續引出乘方符號埋下伏筆.

2. 新知探索

活動1? 設計冪的符號.

63個2相乘是一個相當大的數（二十位數），書寫起來也較為復雜，那么如何將63個2相乘用清晰、明確、簡潔的符號表示出來呢？請你發揮創造力，設計冪的符號，并與小組成員分享一下你的設計思路.

學生激烈討論，教師巡視. 在活動中，有學生根據小學平方、立方運算的經驗，將63個2相乘寫作263；有學生用三角形、圓形等基本圖形設計冪的符號……討論結束后，教師請學生代表上臺分享他們的設計思路.

問題3? 在設計冪的符號的過程中，需要注意哪些關鍵信息呢？

教師指出，設計的冪的符號要能揭示乘方運算的本質，即冪的符號要表示出多少個什么數相乘. 在符號設計過程中，教師引導學生聯系過去探索的經驗，類比平方、立方的書寫，將63個2相乘記作263，讀作“2的63次方”，并要求學生從形式上解釋符號中各個數的含義.

問題4? 若是64個2相乘，應該怎么表示？若是n個2相乘呢？若是n個a相乘呢？它們分別讀作什么？

學生類比263的書寫，依次寫出264，2n，an，讀作“2的64次方”“2的n次方”“a的n次方”. 教師指出：在乘方運算中，相同因數叫底數，相同因數的個數叫指數，乘方運算的結果叫冪（如圖2所示）.

設計意圖 由63個2相乘的復雜表示引發學生的認知沖突，揭示冪的符號的必要性. 同時以創造符號的活動激發學生“再創造”的熱情，并培養學生的創新意識，促使學生積累數學活動經驗. 教師加以提示與引導，讓符號的設計與乘方的本質建立聯系，提升學生的數學抽象素養，進一步加深學生對乘方概念的理解.

活動2? 歷史上冪的符號.

現在所學的冪的符號是一批批數學家在實踐中不斷革新、改良，最終呈現出的一份完美的“答卷”，這既源于他們對數學探索的“孜孜不倦”，又是他們智慧的結晶. 讓我們回顧冪符號的產生與發展歷史（如圖3所示）.

問題5 冪符號的發展歷史對你學習有理數的乘方有什么啟示？

教師鼓勵學生暢所欲言，并進一步深化對乘方的理解.

設計意圖 通過重構冪符號的歷史，一方面，讓學生在歷史中汲取前人的經驗，形成對冪符號的文化性理解；另一方面，讓學生在歷史中感悟數學家的科學精神，感受數學符號的簡潔美，進而實現數學史的“德育之效”.

3. 概念應用

例1 讀一讀，先列式再計算.

（1）25；（2）73；（3）（-3）4；（4）（-4）3.

例2 計算.

問題7? 從符號的角度出發，乘方運算結果的符號如何確定？

教師先啟發學生分類討論底數的符號，并追問：正數的冪的符號如何確定？負數呢？以此引導學生回顧例1與例2的結果，促使學生總結出：正數的任何次冪都是正數，負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數.

設計意圖 從兩個例題出發，引導學生表述各個算式的意義后進行計算，進一步加深學生對乘方概念的理解. 同時，指出乘方運算的優先性與運算結果的符號規律，培養學生分類、歸納、推理、總結的能力，發展學生的數學抽象素養.

4. 拓展提升

古希臘數學家阿基米德在《數沙者》一書中數清了“充滿宇宙”的沙子數. 他從最大數字單位“萬”開始，引入“萬萬（億）”作為一階單位，“億億”作為二階單位，“億億億”作為三階單位，以此類推.

問題8? 如何用冪的形式表示出“萬”“萬萬”等單位呢？觀察下列各式，并填空.

十：10 = 101；

百：100=10×10=102；

千：1000=10×10×10=103；

萬：10000=10×10×10×10=104；

十萬：100000=____=105；

百萬：1000000=____=____；

千萬：10000000=____=____；

萬萬（億）：100000000=______=______.

教師引導學生總結底數為10的冪的規律，并補充解釋：“億億”是1016，“億億億”是1024，阿基米德提出“充滿宇宙”的沙子數不會超過1000個七階數，也就是不超過1051，由此可見，冪能夠幫助我們把一個很大的數簡單地表示出來.

設計意圖 以順應式呈現阿基米德數沙粒的故事，引發學生討論以10為底數的冪的規律，為“科學記數法”的學習做鋪墊，也進一步揭示乘方的價值意義.

5. 總結升華

教師呈現本課的總結提綱：

（1）通過本課的學習，你對乘方有了哪些認識？

（2）本課中的歷史故事對你有什么啟發？

（3）對于今天的學習，你還有哪些感想或疑惑？

設計意圖 通過回顧課堂所學的概念，讓學生完善知識體系. 通過回顧課堂滲透的數學史，讓學生再次感受數學家的科學精神. 同時教師應關注學生求知欲的激發，通過讓學生提出感想或疑惑，形成課后的拓展性作業，從而將學習延伸至課堂外.

教學反思

隨著數學史的價值逐漸被教育工作者所重視，課堂教學中融入數學史是“大勢所趨”. 數學史的融入并非只是復制、呈現相關史料，更應重視對史料的精選、加工、運用，使之更好地服務于學生新知的學習、興趣的培養、文化的傳承、思想的感悟，真正彰顯數學史的教育價值，實現數學史從“史學形態”向“教育形態”的轉變.

1. 以目標為導向的史料選取

在HPM視角下進行教學設計，教師常常會對數學史的選取產生困惑. 那么如何選取數學史，可使其滿足可學性、有效性等原則呢？? ?［3］首先，教師在選定課題的基礎上查閱相關史料，初步篩選具有科學性與可學性的史料；其次，確定教學目標，在目標的導向下進一步精選史料. 例如，為達到“經歷符號‘再創造的過程，積累數學活動經驗”的目標，對于史料的選取就應偏向于冪符號的發展歷史. 另外，筆者發現，中國古代冪概念的發展也有著源遠歷史，但是該史料并不能促進學生理解冪的概念，更多是一種文化熏陶，故沒有將該史料融入教學設計.

2. 以活動為載體的史料加工

經歷數學史料的選取后，下一步工作就是將史料轉化為“教育形態”，即史料加工，如刪減、修改、問題化等，以數學活動為載體呈現到課堂教學中. 例如，在冪的符號的加工環節中，先設計數學活動——“歷史上冪的符號”，然后將史料精簡化，梳理符號發展的線索，突出關鍵符號，設置“談啟示”的問題，進一步深化學生對乘方的理解.

3. 以德育為基點的史料運用

立德樹人是當今教育的根本任務. 研究表明，數學史的德育價值主要圍繞“理性、情感、信念與品質”? ?［4］. 在數學德育的視角下，數學史也是滲透德育的有效途徑. 從情感的角度來看，棋盤擺米的故事不僅生動有趣，還能激發學生“幫助”國王解決問題的熱情；從理性的角度來看，冪的符號的設計環節，既能讓學生追求創新，大膽設計，又能讓學生回歸理性，探索冪符號與乘方意義之間的關系；從信念的角度來看，冪的符號的發展歷史告訴學生，數學的發展是曲折又光明的；從品質的角度來看，阿基米德的智慧能鼓勵學生勤思樂思、勇于開拓. 在教學實踐中，數學史并非教師的“作秀”工具，數學史的滲透有其深層次的價值與意義? ［5］. 教師應以學生的全面發展為價值導向，真正發揮數學史的“德育之效” .

參考文獻：

［1］王鑫，岳增成，汪曉勤. HPM研究的框架與進展［J］. 數學通報，2021，60（06）：7-12+19.

［2］汪曉勤. 同底數冪運算律的歷史［J］. 中學數學月刊，2015（01）：46-48.

［3］陳晏蓉，汪曉勤. 數學史料的選取原則與案例分析［J］. 教育研究與評論（中學教育教學），2017（12）：37-43.

［4］汪曉勤，鄒佳晨. 基于數學史的數學學科德育內涵課例分析［J］. 數學通報，2020，59（03）：7-12+19.

［5］黃賢明. 數學史滲透數學教學的微思考——以“有理數”單元為例［J］. 中學數學月刊，2022（06）：49-51.