滲透數學思想 發展核心素養

蘇國東

［摘? 要］ 文章以《義務教育數學課程標準（2022年版）》背景下的人教版初中數學起始章節“有理數”的教學為例，深入研究相反數等教學，并在教學中滲透數學思想方法，探索單元整體教學，對核心素養的發展進行實踐與思考.

［關鍵詞］ 新課程標準；有理數；數學思想；核心素養；單元教學

初中數學起始章節是小學數學向初中數學過渡的橋梁，起著承前啟后的重要作用. 在《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下稱“新課程標準”）背景下，初中數學起始章節教學應體現單元整體觀念，在落實數學知識生成和能力培養的同時，重視數學思想方法的有機滲透，應加深學生對數學知識的認識和理解，從整體上對數學知識進行抽象概括，將數學思想方法轉變為自身數學學習的能力，培養“四基”，發展“四能”，注重建立具體內容與核心素養的關聯，將核心素養體現在具體的教學要求中.

“有理數”是人教版初中數學教材的第一章，是整個初等代數的基礎. 本章主要包括兩方面的教學內容，一是有理數的相關概念，二是有理數的運算. 本章在小學數學的學習基礎上，先借助生活實例引入負數，使數的范圍得以擴充到有理數，再利用學生的日常生活經驗、數軸的幾何直觀等，將正、負數之間的運算歸結為正數之間的運算，進而定義有理數的運算，得出運算法則，并通過有理數的運算解決簡單問題.

本文對本章教學中如何滲透數學思想、發展核心素養做出幾點實踐與思考，與同行交流、研討.

深入教學問題，滲透數學思想

新課程標準指出，在有理數相關概念的教學中，學生要“能借助數軸體會相反數和絕對值的意義，初步體會數形結合的思想方法”. 數軸是數形結合思想的重要產物，數形轉化，能幫助學生理解相反數和絕對值的概念；而相反數和絕對值的引入，能讓學生加深對相反意義的量的理解，對數軸上兩點之間的距離、利用數軸分析物體運動情況等有更直觀的認識，能為有理數運算的學習做準備.

1. 相反數的教學

在相反數的相關教學中，教師可以向學生提出如下問題：-3和-（-3）是否互為相反數？

大多數學生能回答道：負負得正，所以-（-3）=3，-3和3互為相反數. 而當教師追問負負為何得正時，學生往往停留在機械記憶層面，鮮有學生能夠講清來龍去脈.

相反數的教學不能與前一節學習的數軸相關知識割裂開來. 如圖1所示，A，B兩點分別表示-3和3，因為在一個數前面加上負號即得到這個數的相反數，兩者在數軸上的位置關于原點對稱，所以-（-3）表示點A關于原點對稱的點，即點B，因此-（-3）=3. 這一知識生成的過程便滲透了數形結合思想方法.

事實上，可以不對-（-3）進行化簡，而從其形式上去考慮. 也就是把-3看作一個整體a，則-（-3）表示-a，a和-a確實互為相反數，這便是整體思想的初步體現. 當學生后續學習了有理數的加、減法，還可以利用（-3）+［-（-3）］=（-3）-（-3）=0，根據兩數之和為0，得出-3和-（-3）互為相反數.

在此基礎上，教師可以再提出如下兩個問題：（1）-（-3）的相反數是什么？（2）-（a+b）的相反數是什么？讓學生對數形結合思想與整體思想有進一步的體會.

2. 數軸上點的移動問題

教材第14頁習題3提出了數軸上點的移動問題，考查學生借助數軸體會點的相對位置關系. 教師可據此設計系列變式問題，助力數形結合思想方法和分類討論思想方法的滲透.

（1）0沿數軸移動3個單位長度后得到______；

（2）2沿數軸移動3個單位長度后得到______；

（3）a沿數軸移動3個單位長度后得到______；

（4）一個數沿數軸移動3個單位長度后得到2，則這個數是______.

在問題（1）中，學生能再次體會到數軸、相反數、絕對值之間的密切聯系. 在問題（2）中，學生可利用數軸上左減右加的關系分別計算2-3=-1和2+3=5，得到結果. 在問題（3）中，學生通過類比可得到結果為a-3和a+3，初步體會到用字母表示數，用含有字母的式子表示結果的優越性，這也是整體思想的體現.

問題（4）給出了移動后的數為2，求移動前的數. 學生大多會采用逆向思維，也就是將2往回移動3個單位長度，得2-3=-1，2+3=5；也有學生想到設原來的數為a，列出方程a+3=2或a-3=2，解得a=-1或a=5，這種解法體現了方程的思想.

教師可進一步引導學生聯系絕對值的相關知識，將問題（4）轉化為距離問題，即“a與2的距離為3個單位長度，求a的值”，由此列出方程a-2=3，分類討論求解.

通過對上述問題的思考，學生對之前常見的形如a-2=3的問題有了新的感悟. 代數角度的解法是將a-2看作一個整體，求解a-2=3和a-2=-3，而從幾何角度來看，則是將其轉化為求到2的距離為3個單位長度的數a，也是求把2沿數軸移動3個單位長度后得到的數a的值，這一過程再次體現了轉化的思想方法.

初探單元教學，發展核心素養

基于上述思考，本章可改變過去注重以課時為單位的教學，推進單元整體教學設計，體現本章知識之間的內在邏輯關系.

1. 初探有理數單元教學

（1）在正、負數的教學中，教師應讓學生理解正數和負數表示具有相反意義的量，為后續點的移動和相反數的學習奠定基礎.

（2）在數軸的教學中，教師應讓學生體會數軸的重要作用；用數軸上的點表示有理數，找出點沿數軸移動后的位置，初步掌握用字母表示數的方法.

（3）在相反數和絕對值的教學中，教師應讓學生借助數軸這一數形結合的重要工具加深對新概念的認識，從數與形的角度體會a與-a的關聯，初步學會求數軸上兩點之間的距離.

（4）在去括號的教學中，學生已掌握“在一個數前面加正號仍得這個數，在一個數前面加負號會得到這個數的相反數”，所以有+（-3）=-3，-（+3）=-3，-（-3）=+3，-［-（-3）］=-3等，從而總結出“奇負偶正”的規律.

（5）在有理數加法的教學中，教師可嘗試引導學生用去括號的方式來求解，也就是把每個數前面的符號看作正、負號，省略加號. 例如3+（-9）=3-9，讀作3加-9，3-（-9）=3+9等.

（6）在有理數減法的教學中，教師引導學生把減法理解為加法. 例如，對于小數減大數，如3-9，讀作3加-9，利用加法法則得到結果-6；而對于大數減小數，如9-3，直接得到結果6.

（7）在有理數乘法的教學中，教師同樣可以利用數軸讓學生理解數的位置變化，并可通過乘法再次理解-（-3）的含義，即-（-3）=-1×（-3）=3，進而學習后續的除法和乘方運算.

2. 核心素養如何落地

本章內容以學生的已有經驗為基礎，學生能通過刻畫“事物的相反意義”的相關生活經驗和小學對“數及其運算”的認識經驗，從現實情境中抽象出數量的變化規律及相互關系，并能夠用數學符號予以表達；能夠根據題意畫出數軸，將代數語言轉化為圖形語言，利用數軸建立起數與形的聯系，表達點與點之間的相互位置關系，并能想象和描述點的運動變化規律；學會用數學的眼光觀察現實世界，形成數學的方法和策略，培養抽象能力、幾何直觀和空間觀念素養.

本章內容注重具體性和形象性，又具有適當的抽象性和概括性，既適應初中起始階段學生的能力發展水平，又能促進學生從具體形象思維向抽象邏輯思維發展. 學生能通過實際情境和數學活動經驗明晰有理數運算的對象和意義，解析運算邏輯，形成運算法則，理解算法與算理之間的關系；能運用數學思想方法對含有數字、字母、代數式的一些簡單問題進行探索、推理和表達，形成數學的一般性結論；學會用數學的思維思考現實世界，用數學的思想和方法來思考與處理問題，提升運算能力和推理能力素養.

本章教學注重引導學生從具體生活情境中抽象出數學問題，用數軸、相反數、絕對值、運算法則等數學語言和數學符號來建立代數式和方程，解釋現實世界中的現象與規律，表示問題中的數量和變化關系，并有意識地利用數學的概念、原理和方法解決有理數運算、距離問題、動點問題等大量與數量和圖形相關的重難點問題，初步感知數學建模的基本過程. 學生能學會用數學的語言表達現實世界，構建普適性的數學模型表達和解決現實問題，發展模型觀念和增強應用意識.