滲透數(shù)學(xué)思想 發(fā)展核心素養(yǎng)

蘇國(guó)東

［摘? 要］ 文章以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》背景下的人教版初中數(shù)學(xué)起始章節(jié)“有理數(shù)”的教學(xué)為例，深入研究相反數(shù)等教學(xué)，并在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，探索單元整體教學(xué)，對(duì)核心素養(yǎng)的發(fā)展進(jìn)行實(shí)踐與思考.

［關(guān)鍵詞］ 新課程標(biāo)準(zhǔn)；有理數(shù)；數(shù)學(xué)思想；核心素養(yǎng)；單元教學(xué)

初中數(shù)學(xué)起始章節(jié)是小學(xué)數(shù)學(xué)向初中數(shù)學(xué)過(guò)渡的橋梁，起著承前啟后的重要作用. 在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下稱(chēng)“新課程標(biāo)準(zhǔn)”）背景下，初中數(shù)學(xué)起始章節(jié)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)單元整體觀(guān)念，在落實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)生成和能力培養(yǎng)的同時(shí)，重視數(shù)學(xué)思想方法的有機(jī)滲透，應(yīng)加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，從整體上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行抽象概括，將數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)變?yōu)樽陨頂?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)“四基”，發(fā)展“四能”，注重建立具體內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)，將核心素養(yǎng)體現(xiàn)在具體的教學(xué)要求中.

“有理數(shù)”是人教版初中數(shù)學(xué)教材的第一章，是整個(gè)初等代數(shù)的基礎(chǔ). 本章主要包括兩方面的教學(xué)內(nèi)容，一是有理數(shù)的相關(guān)概念，二是有理數(shù)的運(yùn)算. 本章在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，先借助生活實(shí)例引入負(fù)數(shù)，使數(shù)的范圍得以擴(kuò)充到有理數(shù)，再利用學(xué)生的日常生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)軸的幾何直觀(guān)等，將正、負(fù)數(shù)之間的運(yùn)算歸結(jié)為正數(shù)之間的運(yùn)算，進(jìn)而定義有理數(shù)的運(yùn)算，得出運(yùn)算法則，并通過(guò)有理數(shù)的運(yùn)算解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.

本文對(duì)本章教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想、發(fā)展核心素養(yǎng)做出幾點(diǎn)實(shí)踐與思考，與同行交流、研討.

深入教學(xué)問(wèn)題，滲透數(shù)學(xué)思想

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，在有理數(shù)相關(guān)概念的教學(xué)中，學(xué)生要“能借助數(shù)軸體會(huì)相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，初步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法”. 數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的重要產(chǎn)物，數(shù)形轉(zhuǎn)化，能幫助學(xué)生理解相反數(shù)和絕對(duì)值的概念；而相反數(shù)和絕對(duì)值的引入，能讓學(xué)生加深對(duì)相反意義的量的理解，對(duì)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、利用數(shù)軸分析物體運(yùn)動(dòng)情況等有更直觀(guān)的認(rèn)識(shí)，能為有理數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.

1. 相反數(shù)的教學(xué)

在相反數(shù)的相關(guān)教學(xué)中，教師可以向?qū)W生提出如下問(wèn)題：-3和-（-3）是否互為相反數(shù)？

大多數(shù)學(xué)生能回答道：負(fù)負(fù)得正，所以-（-3）=3，-3和3互為相反數(shù). 而當(dāng)教師追問(wèn)負(fù)負(fù)為何得正時(shí)，學(xué)生往往停留在機(jī)械記憶層面，鮮有學(xué)生能夠講清來(lái)龍去脈.

相反數(shù)的教學(xué)不能與前一節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)軸相關(guān)知識(shí)割裂開(kāi)來(lái). 如圖1所示，A，B兩點(diǎn)分別表示-3和3，因?yàn)樵谝粋€(gè)數(shù)前面加上負(fù)號(hào)即得到這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，兩者在數(shù)軸上的位置關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以-（-3）表示點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，即點(diǎn)B，因此-（-3）=3. 這一知識(shí)生成的過(guò)程便滲透了數(shù)形結(jié)合思想方法.

事實(shí)上，可以不對(duì)-（-3）進(jìn)行化簡(jiǎn)，而從其形式上去考慮. 也就是把-3看作一個(gè)整體a，則-（-3）表示-a，a和-a確實(shí)互為相反數(shù)，這便是整體思想的初步體現(xiàn). 當(dāng)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加、減法，還可以利用（-3）+［-（-3）］=（-3）-（-3）=0，根據(jù)兩數(shù)之和為0，得出-3和-（-3）互為相反數(shù).

在此基礎(chǔ)上，教師可以再提出如下兩個(gè)問(wèn)題：（1）-（-3）的相反數(shù)是什么？（2）-（a+b）的相反數(shù)是什么？讓學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想與整體思想有進(jìn)一步的體會(huì).

2. 數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)問(wèn)題

教材第14頁(yè)習(xí)題3提出了數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)問(wèn)題，考查學(xué)生借助數(shù)軸體會(huì)點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系. 教師可據(jù)此設(shè)計(jì)系列變式問(wèn)題，助力數(shù)形結(jié)合思想方法和分類(lèi)討論思想方法的滲透.

（1）0沿?cái)?shù)軸移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到______；

（2）2沿?cái)?shù)軸移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到______；

（3）a沿?cái)?shù)軸移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到______；

（4）一個(gè)數(shù)沿?cái)?shù)軸移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到2，則這個(gè)數(shù)是______.

在問(wèn)題（1）中，學(xué)生能再次體會(huì)到數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值之間的密切聯(lián)系. 在問(wèn)題（2）中，學(xué)生可利用數(shù)軸上左減右加的關(guān)系分別計(jì)算2-3=-1和2+3=5，得到結(jié)果. 在問(wèn)題（3）中，學(xué)生通過(guò)類(lèi)比可得到結(jié)果為a-3和a+3，初步體會(huì)到用字母表示數(shù)，用含有字母的式子表示結(jié)果的優(yōu)越性，這也是整體思想的體現(xiàn).

問(wèn)題（4）給出了移動(dòng)后的數(shù)為2，求移動(dòng)前的數(shù). 學(xué)生大多會(huì)采用逆向思維，也就是將2往回移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，得2-3=-1，2+3=5；也有學(xué)生想到設(shè)原來(lái)的數(shù)為a，列出方程a+3=2或a-3=2，解得a=-1或a=5，這種解法體現(xiàn)了方程的思想.

教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系絕對(duì)值的相關(guān)知識(shí)，將問(wèn)題（4）轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題，即“a與2的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度，求a的值”，由此列出方程a-2=3，分類(lèi)討論求解.

通過(guò)對(duì)上述問(wèn)題的思考，學(xué)生對(duì)之前常見(jiàn)的形如a-2=3的問(wèn)題有了新的感悟. 代數(shù)角度的解法是將a-2看作一個(gè)整體，求解a-2=3和a-2=-3，而從幾何角度來(lái)看，則是將其轉(zhuǎn)化為求到2的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度的數(shù)a，也是求把2沿?cái)?shù)軸移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的數(shù)a的值，這一過(guò)程再次體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法.

初探單元教學(xué)，發(fā)展核心素養(yǎng)

基于上述思考，本章可改變過(guò)去注重以課時(shí)為單位的教學(xué)，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)本章知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系.

1. 初探有理數(shù)單元教學(xué)

（1）在正、負(fù)數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生理解正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，為后續(xù)點(diǎn)的移動(dòng)和相反數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

（2）在數(shù)軸的教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生體會(huì)數(shù)軸的重要作用；用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，找出點(diǎn)沿?cái)?shù)軸移動(dòng)后的位置，初步掌握用字母表示數(shù)的方法.

（3）在相反數(shù)和絕對(duì)值的教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生借助數(shù)軸這一數(shù)形結(jié)合的重要工具加深對(duì)新概念的認(rèn)識(shí)，從數(shù)與形的角度體會(huì)a與-a的關(guān)聯(lián)，初步學(xué)會(huì)求數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離.

（4）在去括號(hào)的教學(xué)中，學(xué)生已掌握“在一個(gè)數(shù)前面加正號(hào)仍得這個(gè)數(shù)，在一個(gè)數(shù)前面加負(fù)號(hào)會(huì)得到這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”，所以有+（-3）=-3，-（+3）=-3，-（-3）=+3，-［-（-3）］=-3等，從而總結(jié)出“奇負(fù)偶正”的規(guī)律.

（5）在有理數(shù)加法的教學(xué)中，教師可嘗試引導(dǎo)學(xué)生用去括號(hào)的方式來(lái)求解，也就是把每個(gè)數(shù)前面的符號(hào)看作正、負(fù)號(hào)，省略加號(hào). 例如3+（-9）=3-9，讀作3加-9，3-（-9）=3+9等.

（6）在有理數(shù)減法的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生把減法理解為加法. 例如，對(duì)于小數(shù)減大數(shù)，如3-9，讀作3加-9，利用加法法則得到結(jié)果-6；而對(duì)于大數(shù)減小數(shù)，如9-3，直接得到結(jié)果6.

（7）在有理數(shù)乘法的教學(xué)中，教師同樣可以利用數(shù)軸讓學(xué)生理解數(shù)的位置變化，并可通過(guò)乘法再次理解-（-3）的含義，即-（-3）=-1×（-3）=3，進(jìn)而學(xué)習(xí)后續(xù)的除法和乘方運(yùn)算.

2. 核心素養(yǎng)如何落地

本章內(nèi)容以學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，學(xué)生能通過(guò)刻畫(huà)“事物的相反意義”的相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)和小學(xué)對(duì)“數(shù)及其運(yùn)算”的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)量的變化規(guī)律及相互關(guān)系，并能夠用數(shù)學(xué)符號(hào)予以表達(dá)；能夠根據(jù)題意畫(huà)出數(shù)軸，將代數(shù)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，利用數(shù)軸建立起數(shù)與形的聯(lián)系，表達(dá)點(diǎn)與點(diǎn)之間的相互位置關(guān)系，并能想象和描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察現(xiàn)實(shí)世界，形成數(shù)學(xué)的方法和策略，培養(yǎng)抽象能力、幾何直觀(guān)和空間觀(guān)念素養(yǎng).

本章內(nèi)容注重具體性和形象性，又具有適當(dāng)?shù)某橄笮院透爬ㄐ裕冗m應(yīng)初中起始階段學(xué)生的能力發(fā)展水平，又能促進(jìn)學(xué)生從具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展. 學(xué)生能通過(guò)實(shí)際情境和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)明晰有理數(shù)運(yùn)算的對(duì)象和意義，解析運(yùn)算邏輯，形成運(yùn)算法則，理解算法與算理之間的關(guān)系；能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法對(duì)含有數(shù)字、字母、代數(shù)式的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行探索、推理和表達(dá)，形成數(shù)學(xué)的一般性結(jié)論；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思想和方法來(lái)思考與處理問(wèn)題，提升運(yùn)算能力和推理能力素養(yǎng).

本章教學(xué)注重引導(dǎo)學(xué)生從具體生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、運(yùn)算法則等數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)建立代數(shù)式和方程，解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，表示問(wèn)題中的數(shù)量和變化關(guān)系，并有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解決有理數(shù)運(yùn)算、距離問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等大量與數(shù)量和圖形相關(guān)的重難點(diǎn)問(wèn)題，初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程. 學(xué)生能學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，構(gòu)建普適性的數(shù)學(xué)模型表達(dá)和解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，發(fā)展模型觀(guān)念和增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).