解題教學要引導學生“尋找好的方法”

蔡維

［摘? 要］ 解題教學在當前數學課堂中占了相當大的比例，如何組織好解題教學，提升解題教學的效率是值得一線教師深入研討的課題. 對于基礎題的解題教學，教師可以在解題過程的規范與簡化上引導學生進行對比學習；對于較難題的解題教學，教師要在審題和思路分析上進行研究，一般來說可先給出直觀分析，然后給出“以數馭形”的抽象方法，讓學生在解法對比中學會“尋找好的方法”．

［關鍵詞］ 解題教學；圖形直觀；以數馭形

在最近一次的階段復習檢測中，筆者所在學校的數學備課組選用了一道2022年河北省中考數學卷的一次函數綜合題，從批閱情況來看，該題的答題得分率不高. 對于該題的解答，筆者訪談了一些學生，部分學生給出的做錯原因是“沒看懂題意”“感覺要分很多種情況進行討論，時間來不及就放棄了”. 為此，筆者對這道習題進行深入分析，并圍繞該題進行了解題教學的“微設計”，現整理成文，供各位讀者研討．

函數綜合題的教學微設計

習題 （2022年河北中考，有刪減）如圖1所示，在平面直角坐標系中，線段AB的端點為A（-8，19），B（6，5）. 某同學設計了一個動畫：在函數y=mx+n（m≠0，y≥0）中，分別輸入m和n的值，使得到射線CD，其中C（c，0）. 當c=2時，會從C處彈出一個光點P，并沿CD飛行；當c≠2時，只發出射線而無光點彈出. 當有光點P彈出，并擊中線段AB上的整點（橫、縱坐標都是整數）時，線段AB就會發光. 求此時整數m的個數．

1. 教學環節一：理解題意

解題前，教師可以先預設以下“問題”，引導學生學會審題，充分理解題意．

問題1：線段AB對應的函數解析式是什么？（線段AB的函數解析式為y=-x+11，其中自變量x的取值范圍為-8≤x≤6）

問題2：線段AB上有多少個整點？（15個）

問題3：當有光點彈出時，m，n之間有怎樣的數量關系？（2m+n=0）

教學組織：對于這些問題，教師可在PPT上漸次呈現，然后組織學生討論、交流，確認解答完畢之后再研究下一個問題，目的是讓學生充分理解題意．

2. 教學環節二：直觀感知

問題5：是否需要將線段AB上的15個整點逐一代入射線y＝mx-2m進行驗證？能否借助圖形想到更快一點的方法？

預設：如圖2、圖3所示，設點G在線段AB上，過點G作GH⊥x軸，垂足為H．

教學組織：在教學過程中，圖2、圖3不宜直接呈現. 對于圖2，教師可以先進行必要的啟發引導，等學生理解之后，安排學生自主分析出圖3，并挑選學生上臺結合圖形進行演示與講解．

3. 教學環節三：以數馭形

問題6：上面的解法結合圖形直觀分析，逐個驗算最終確定了5個符合要求的整數m. 那如果不借助圖形，能否直接求解呢？

教學組織：在教學進程中，學生有可能會“丟三落四”，此時教師不宜“即時干預”，可以在學生完成整個答題過程之后，再組織學生進行辨析、糾錯、完善．

4. 教學環節四：解后回顧

小結問題1：這道題的關鍵步驟有哪些？你是如何理解的？可結合解題步驟具體說說．

小結問題3：若整數t和整數m滿足tm-2m＝-t+11，分析整數m的值有哪些.

教學組織：“小結問題1”是開放式問題，目的是引導學生解題后回顧并提煉關鍵步驟；“小結問題2”和“小結問題3”則是將原問題的關鍵步驟提取出來，讓學生再次鞏固練習，進一步看清這道綜合題的解題關鍵．

解題教學要引導學生“尋找好的方法”

單墫先生提倡要“努力尋找好的解法”［1］，并指出：“一道問題可能有多種解法，有的解法很優雅，很好，值得學習，值得提倡；有的解法丑陋，不好，應當改進，不值得提倡.”下面筆者結合解題教學的一些實踐談談體會．

1. 實施解題教學之前教師需要深度研題

實施解題教學之前教師深度研題，是一種服務于教學的解題研究．具體來說，教師的深度研究，肯定不能只滿足于答案的獲取、思路的貫通，還應從不同角度思考不同的解法，并在一題多解的基礎上進行解法對比與解法優化，找到“簡明好懂”的解法，并將“丑陋解法”“大量思維回路”的解法作為“待優化的解法素材”收集起來，以便解題教學時和學生一起對比分析．特別地，對于有些經過改編、“包裝”的習題，教師要善于“簡化”或“去情境化”，將其轉化為學生熟悉的“基本問題”（如上面的“小結問題2”和“小結問題3”）. 此外，教師進行深度解題，還應包括一題多變、多題歸一、同類鏈接等，比如圍繞某個基本圖形進行深入探究——把與之相關的典型問題鏈接、集中在一起，作為解題教學的備用素材．

2. 實施解題教學時，教師要讓學生在比較中學習

實施解題教學時，教師要根據習題的難易程度進行不同的教學預設. 如果是比較基礎的例題、習題教學，教師教學時要側重于鞏固、訓練新知識. 對于此類題，學生在思路獲取上不會有太多的障礙，所以教師教學時可引導學生對比不同的解題語句與過程表達，訓練學生更嚴謹、規范、簡捷的解題過程. 如果是比較復雜的習題教學，教師教學時要突出審題教學、“思路是如何發生、發展的”，接著引導學生從不同的角度貫通解題思路，并對比不同的解法，讓學生在解法比較中提升能力并成長. 特別地，教師要優先考慮直觀圖形的分析策略，比如函數類問題，教師可以讓學生在構圖分析中加深對問題的直觀理解，在此基礎上結合數學概念、公式進行推理或運算，采用“以數馭形”的解題過程來簡化過程表達或語句組織. 實施解題教學的最后環節，還要重視解后回顧反思，教師要精心預設小結問題，引導學生學會反思、提煉關鍵，通過學習解一道題走向“學會解題”（涂榮豹？搖語）．

3. 解題教學不宜直接“精致示范”

解題教學需要“指示正規”（傅種孫 語），但不宜一上來就是教師示范，而且是非常嚴謹、簡捷的解法呈現，或者是神奇的輔助線直接“冒出來”，然后解釋這條輔助線是多么重要、有效. 邵光華先生曾指出，教師不能“片面理解‘暴露思維過程”，即“教師從正確思路出發沿正確途徑去解題，中間顯現不出如思維的定向、選擇這種重要的思維關鍵，這樣不利于培養學生獨立思維的能力”．［2］以上文習題為例，我們先組織學生討論繁雜的數形結合方法，這種方法需要對15個整點進行逐個分析、計算. 這種“拙”的方法或思路顯然不是最優（最簡）的，但是符合不少學生的認知規律，于是教師就從這種看上去笨一點的思路出發，先組織學生對這種方法進行簡化，結合直線斜率為整數可“看出”（或心算出）答案，然后給出“以數馭形”的“盲解”（不借助圖形）. 學生經歷這個“曲折”的解題過程之后，往往能感悟出“思維的定向與選擇”是解題關鍵. 想來，史寧中教授曾說的“希望教師的講課要‘拙一點”，大概表達的就是這個意思吧．

參考文獻：

［1］單墫. 單墫數學與教育文選［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021．

［2］邵光華. 論數學解題教學的誤區及教學策略［J］. 課程·教材·教法，1999（05）：23-25.