基于Geogebra的中職數學核心素養培養的實踐與思考

潘桂英

摘? ?要：Geogebra是一款數字工具，可應用于繪圖計算、幾何繪圖、白板協作等， Geogebra輔助數學教學在數學運算、數學直觀想象、數學邏輯推理、數學抽象等四個維度的素養培養上發揮著其他數學軟件不可替代的作用.

關鍵詞：Geogebra；核心素養；數學教學

2020年2月，教育部發布了《中等職業學校數學課程標準》[ 1 ]，這是貫徹落實《國家職業教育改革實施方案》，進一步完善我國職業教育國家教學標準體系的重要舉措.同時，也是指導中職學校教學改革，提高人才培養質量的重要依據[ 2 ].《標準》指出，數學課程不但是學生專業課程學習的基礎，它還具有促進專業發展、應用等特點，是我國職業教育國家教學標準體系的組成部分[ 3 ].

隨著現代教育技術的不斷發展，Geogebra的運用也在課堂教學中不斷增加，可以動態演示不能反映生成性的畫圖過程，比傳統的教具更能培養和提高學生的數學學科核心素養.下面根據具體的教學項目，談談如何用Geogebra來輔助培養和提高學生數學核心素養的中職數學課堂教學.

1? 認識Geogebra 軟件

Geogebra數學軟件在代數的各種運算、圖形的動態呈現、數據的隨機模擬等方面有著突出的優勢，將幾何、代數、表格、圖形、統計、微積分等多種功能進行了深度融合.Geogebra不僅有電腦版也有平板版，還有在線版和安卓手機版，可不用下載軟件不用安裝軟件直接在線使用，其中電腦版有經典5和經典6兩個版本，普通的電腦適合于用經典5，觸屏電腦適合于用經典6，其界面大體相似.軟件運行后，其基本工作界面包括標題欄、菜單欄、工具欄、指令攔、側邊欄，編輯區主要包括代數區、繪圖區、3D繪圖區和表格區等.操作與幾何畫板大體相似，但功能更強大，動態效果更好.Geogebra可以將幾何、代數、表格、數據、統計、微積分等結合起來，共同詮釋奇妙的世界.

Geogebra是一個基于解析幾何，基于Java編程語言，極具動態和精準的作圖程序，它在Java虛擬機環境下執行命令.多種操作系統如Windows，Mac和FreeBSD等等，都可以完美地執行基于Geogebra的動態課件.Geogebra可以在不同的執行平臺上自由、無障礙的執行，如微軟、MozillaFirefox等不同的網絡瀏覽器.

概括起來Geogebra主要有以下幾個特點：（1）代數、幾何和表格等動態結合；（2）操作界面更加的簡單，操作上來說也更容易上手，而且其功能強大；（3）可以使用多語言開展跨平臺運用，是一項較為自由的開源軟件.如圖1.

2? Geogebra在數學教學中培育核心素養方面的應用

2.1? 培育數學運算素養方面

數學運算是根據數學運算公式和法則，在明確運算對象的前提下，對特定對象進行變形的推演過程.運算是一切行為的基礎，是保證行為準確性的重要依據.數學運算主要包含以下幾個方面，一是對運算對象的識別；二是對運算規律的理解；三是對運算程序掌握；四是對運算思路的探究；五是對運算方法的選擇；六是對運算程序的設計；七是對運算結果的求得等多方面[ 4 ].

Geogebra的計算方法簡單，能提供對應的計算結果，如代數式、方程、不等式、向量、概率統計等，只需在計算區域輸入對象即可，軟件能主動提示是否建立滑動條、設定取值范圍、精確小數尾數等有關屬性設置.默認情況下，運算區會放在繪圖區的旁邊，它允許使用Geogebra's CAS進行數學符號運算，運算區有許多儲存格組成.充分發揮GeoGebra的便捷性和強大的運算功能，為學生提供自主探究的平臺.培養學生認真細致的態度和勤于反思的品質.

《課程標準》中對數學運算素養的要求包含兩個層次：分別為單個不同情境中的質量描述和熟悉的相關情景中的質量描述，為我們透徹理解教材內容，合理應用教學設計，準確理解學生層次提供了有力支撐.

中職教材中的四個“二次”問題，中職學生特別容易搞混，特別是二次三項式、一元二次方程、一元二次不等式、二次函數等等概念，他們更是難以清晰地理解.至于這幾者之間有怎樣的聯系和區別，怎樣去解決這些問題等等，學生都一臉懵逼.不但無解題思路且幾乎無計算能力，利用Geogebra的運算功能可以快速地解決這些問題，且對四個“二次”的關系呈現得一目了然.

例如：對于二次三項式x2+3x-4，二次方程x2+3x-4=0，一元二次不等式x2+3x-4＞0，二次函數y=x2+3x-4的四個“二次”問題.

在Geogebra運算區輸入“x2+3x-4”，單擊“因式分解”工具圖標時可得“（x+4）（x-1）”，單擊“精確解”工具圖標時精確解x=-4，x=1，在輸入框中輸入“解集（x2+3x-4=0）”再按回車鍵，可得呈現形式不同的解集.

在Geogebra運算區輸入“x2+3x-4>0”，點擊“精確解”工具圖標，即可彈出我們所要求的一元二次不等式x2+3x-4>0的解集x│x＜-4，x＞1.

在輸入框中輸入“x2+3x-4”，按回車鍵后，在代數區可得二次函數的解析式f（x）=x2+3x-4，同時在繪圖區可得相應的函數圖像.如圖2.

2.2? 培育數學直觀想象素養方面

直觀想象是借助數形結合思想，發揮空間想象能力，通過具有代表性的幾何圖形及其位置變化關系，來感知事物的形態和變化，從而使一些復雜的、難于理解的問題得到解決的過程.其主要內容有：理解并掌握事物位置上的關系、形態上的變化、空間上的運動規律等.直觀想象是探究問題的主要依據，是進行一切高階思維的基礎和保證.它不但能夠進行數學推理，形成數學問題的解題思路，還能夠開展抽象的數學模型構建.這樣，通過直觀感知和想象以及對事物特性、關系的分析，初步建立起以圖像為基礎，分析和解決事物形狀、位置的空間問題的想象能力.

《課程標準》將直觀想象素養分為熟悉單一情境和熟悉關聯情境兩個方面各5個層次進行學業質量描述，為我們備考教材和備考學生提供了良好的依據.通過技術優勢突出的Geogebra軟件，可以很容易的達到這些要求.從直觀上降低了學習的困難，增強了學生學習的信心，培養了直觀想象素養.

如在教學中職數學基礎模塊下冊第七章“簡單幾何體”第三節“簡單幾何體的三視圖”中，可以很好地利用Geogebra軟件動態地呈現圖像變化過程的特點，制作精美的3 D Geogebra課件，從而降低理解難度，促進消化吸收.在Geogebra主界面的視圖菜單下打開3 D繪圖區，就可以進行3 D課件的制作了，如下圖是一個通過3 D繪圖制作的有關簡單幾何體三視圖的課件，把需要呈現的信息通過按鈕來實現，只需拖動視圖區域就能觀察不同角度的立體圖形.如下圖，正三棱柱的主視圖、左視圖、俯視、復位等畫面通過點擊“主視圖”、“左視圖”、“俯視”、“復位”等按鈕進行動態呈現，很好地提高了學生的直觀想象素養.如圖3所示.

2.3? 培育數學邏輯推理素養方面

邏輯推理是指從推理規律中得到其它觀點的過程.它從特定的事實入手，從命題出發，以得到數學結論為歸宿.它有兩種類型：一種是由特定到普通的推理，以歸納、類比為主要體現；另一種是由普通到特殊的推理，以推演為主要體現.作為建立數學體系核心的邏輯推理，能夠有效保證數學活動的實現，促進學生理性思維的發展.通過較為系統的中職數學課程學習和訓練，能夠使學生掌握基本的邏輯推理方法，進而感受到事務與事務之間的根本聯系，形成高階的思維能力.做到條理清晰、表達流暢、行云流水、一氣呵成.在邏輯推理中養成敢于質疑、嚴謹求實、善于思考的品格.

中職數學教材中所涉及的邏輯推理內容較為常見，其中以函數的應用最為廣泛，其廣泛應用于冪函數、指數函數、三角函數等基本初等函數中.在三角函數一章節的教學中，學生對三角函數圖像的形成過程認識不充分，對性質的探索過程理解不深刻，會出現以假亂真、以偏概全的現象.在教學中，使學生了解三角函數的形成過程的內在關聯與邏輯關系，從而更好地掌握三角函數的知識顯得尤為重要.利用Geogebra軟件可以使學生體驗到邏輯推理的過程，從而為學生提供可靠的猜想、推理、檢驗方法，從而有效地了解三角函數的有關問題.

如在教學中職數學基礎模塊上冊第四章“三角函數”的圖像變換時，運用Geogebra軟件動態地呈現三角函數的可視化作圖過程.通過拉動滑動條改變A、ω、φ和b的值，從而控制函數圖像變化，其中A的值決定函數的振幅，ω的值決定函數的周期，φ的值決定函數的左右平移，b的值決定函數的上下平移等.從而總結出函數y=sin（ωx+φ）+b的伸縮和平移變換特征，如圖4.

2.4? 培育數學抽象素養方面

數學抽象是一種思維過程，它拋棄事物的物理特性，將事物的特征、規律、性質等抽象出來，提取出事物研究對象的本質特征，從而形成新的數學概念和新的數學結論，并用規范而精確的數學語言加以表述的過程.數學抽象具有高度概括、表達準確、分層遞進的基本特點，在形成和發展理性思維中的作用不可替代，更不可超越.它貫穿于數學的產生階段、發展階段和應用階段，是數學基本思想和基本方法的科學體系的重要組成部分.

《課程標準》認為，數學抽象融入到數學的產生、發展與應用中，是數學的基礎，是學生樹立理性思維的重要依據[ 5 ].函數是培育學生數學抽象核心素養的一個重要載體，是刻畫變量與變量間關系和規律的基礎工具.中職的函數概念相比初中的函數概念高大上了許多，也復雜了許多，包含了定義域、值域、對應法則、非空數集等全新的概念，后期講到函數的性質又加了單調性、奇偶性、最值等.學生理解普遍有困難.大部分學生只能機械地記憶.為了讓學生學懂弄通，老師也只能加強概念的辨析和題型的訓練.這樣完全忽略了學生認知的思維抽象過程，忽略了核心素養的培養.

利用Geogebra軟件，可以彌補這一缺點，如在教學中職數學基礎模塊下冊第五章“指標函數與對數函數”第二節“指數函數”中動態地呈現指數函數.通過拉動滑動條a和b改變函數f（x）=ax和g（x）=bx的底數，從而得到不同底數的指數函數圖像，其中a的取值范圍是（1，5），b的取值范圍是（0，1），通過觀察函數f（x）=ax的圖像變化，得到當a＞1時，函數圖像位于x軸上方，且單調遞增；通過觀察函數g（x）=bx的圖像變化，得到當0＜b＜1時，函數圖像位于x軸上方，且單調遞減.如圖5.

Geogebra廣泛應用于中職數學及其他學科教學，不僅降低了學習難度，而且增強了學生學習興趣，提升了學習效率.借助軟件的動態演示及其他強大的功能，教師可以直觀地呈現知識的生成過程，扭轉傳統教學中僅注重結果不注重過程的局面.通過軟件的動態生成和即時操作功能，為學生對教學活動的深入參與提供了一種實驗探索的平臺，很好地提升了學生的數學核心素養.

Geogebra功能之強大，使得如何在中職數學教學中應用Geogebra，值得老師們去深度挖掘.這一任務任重道遠.

參考文獻：

［1］ 李燕華.培育數學核心素養的方法與途徑[J].初中生世界：初中教學研究，2016（40）：44-45.

［2］ 賀瑜.中職數學趣味教學研究.[D].重慶：西南大學，2020.

［3］ 秦靜，畢漁民.引領中職數學學科發展的課程標準研究--《中等職業學校數學課程》解讀[J]，中國職業技術教育，2020（20）：6-9.

［4］ 張嵐.基于數學核心素養的解析幾何教學——談數學運算能力的提升[J].中學教研：數學版，2017（5）：4.

［5］ 褚焌雅.中職學生數學抽象素養的現狀調查及培養策略研究[D].重慶：西南大學，2020.