淺析小學生幾何直觀能力的培養措施

［摘? 要］ 幾何直觀能力對學生的數學學習具有重要意義，它是認識與理解數學的基礎。實踐證明，在概念教學、算理教學以及解題教學等環節中滲透數形結合思想，能有效地提高學生的幾何直觀能力，為學生核心素養的形成奠定基礎。

［關鍵詞］ 幾何直觀；能力；培養；措施

幾何直觀是指借助幾何的直觀性描述與分析問題，將復雜的數學問題簡單化、形象化，有助于學生獲得解決問題的思路，從而提前預測出結果。小學數學教材中并沒有直接涉及“幾何直觀”的具體內容，但《義務教育數學課程標準（2022年版）》對培養學生的幾何直觀能力有明確要求。為此，筆者做了大量研究，現整理成文，與讀者共勉。

一、理論基礎

荷蘭學者范希爾夫婦和艾倫·霍弗提出的幾何思維水平體系，是對幾何直觀理論體系較早且較權威的說明。范希爾夫婦將幾何思維水平分為五級（見表1）。實踐證明，小學二年級學生一般對應表格中的二級水平，但初中學生卻難以達到四級水平。因此，他們在原有的理論基礎上，把幾何思維合并為直觀、描述與理論水平三方面。

艾倫·霍弗從直觀方面出發，針對直觀化能力總結出五級理論（見表2）。

該理論已成為研究幾何直觀的重要理論基礎，對培養學生的幾何直觀能力具有明顯的導向作用。

二、培養措施

（一）注重概念教學，滲透幾何直觀

概念猶如打開知識大門的鑰匙，既是同類事物的共同本質，又是同類事物的一般特征。數學概念是學生構成數學知識的基礎，數學概念的建立是學生解決數學問題的前提。學生學習數學概念的情況好與不好，不但直接關系到學生數學知識的鞏固，而且直接關系到學生數學理解能力的發展。

數學概念中的一些關鍵詞，通常體現數學概念的基本含義。在數學概念的教學中，教師要把一個個關鍵詞看作一個個點，認真地分析和講解，并加以串聯。如果把基本含義丟失了，學生對數學概念就難以完整識記、理解和把握。因此，在分析、講解和串聯關鍵詞時，教師應根據教學內容、教學要求、教學任務的不同，仔細分析、精心講解、巧妙串聯，特別是概念的講解，應講得通俗、講得透徹、講得有趣，盡量避免過于抽象化。

有些教師不重視數學概念的教學，往往是先直接給出數學概念，再給學生講解例題，然后讓學生做習題，最后讓學生背數學概念。像這樣的數學概念教學，學生缺少認識、分析、理解概念本質特征的機會，使數學概念教學嚴重偏離正確的軌道。因此，對于數學概念的教學，教師應做到“三利用”：

一是利用已學概念學習新的概念。隨著學生數學學習的逐步深入，數學知識的逐步積累，數學智力的逐步發展，教師應指導學生利用已學概念學習新的概念。

二是利用直觀手段講解概念。在數學概念教學中，教師應根據不同的數學概念，利用教具、模型、多媒體等直觀形象的教學手段，把抽象的數學概念形象化，把深奧的數學概念通俗化。

三是利用概念本質講透概念。利用數學概念的本質，把數學概念講透，通常需要教師充分揭示數學概念的本質，充分講清數學概念的聯系，充分比較數學概念的異同。

數學概念具備“數”與“形”的雙重特征。在概念教學中，教師應引導學生從這兩個方面著手分析，有意識地在概念教學中滲透幾何直觀的思維。尤其是一些文字表達過于冗長的概念，教師可借助直觀的圖形輔助教學，讓學生對概念產生直觀形象的認識。這種教學方式，符合小學生的思維特征，對提高學生的理解能力具有直接的幫助。更重要的是能讓學生在數形結合的概念教學中，感知幾何直觀的魅力。

案例1? “分數”的概念教學

在課堂導入環節引用諸如分生日蛋糕、切西瓜等生活情境，吸引學生的注意力，激發學生的探究欲。在學生對分數產生了探究興趣時，教師結合數形結合思想，進行幾何直觀的滲透。

比如對1/2概念的認識，學生從生活情境中獲得一定感悟后，教師可帶領學生動手、動腦，進行實際操作。給每個學生分發一張A4紙，要求學生通過折紙的方式表達自己對1/2的理解。在學生能準確表達出1/2后，再鼓勵學生嘗試1/4、1/8、1/3等的折疊方法。

隨著實踐探索的深入，學生能準確表達出1/2的概念。在探索其他分數的折紙過程中，學生能積極開動腦筋，并主動合作交流，形成各種折疊方法。為了激發學生的幾何直觀能力，筆者要求學生緊扣分數的“數”與“形”兩方面的特征，進行書寫與表征，從根本上理解分數所表達的意義。

事實上，分數概念的教學，用幾何圖形的陰影部分面積表示分數與用分數表達幾何陰影部分的面積，這兩種訓練方式能讓學生在腦海中形成更為明確的直觀圖，幫助學生更好地理解分數的概念。本節課的教學任務在學生的操作、思考與探索中順利完成。同時，學生的思維能力與幾何直觀能力，也隨著實踐活動的展開而得到有效提升。

（二）借助算理教學，培養幾何直觀能力

幾何直觀不但在圖形和幾何學習中會用到，而且在數與代數、統計與概率、綜合與實踐中也會用到。“數與代數”可分為數的認識、數的運算、常見的量和探索規律等知識板塊，在這些知識板塊上，每一個知識板塊都可以培養學生的幾何直觀能力。

在教學“數的運算”時，很多教師只重視算法的教學，追求熟練計算，卻忽視算理。其實，想讓學生掌握算法，提高計算能力，既要引導學生熟練計算，又要引導學生理解算理。因為算理是算法的理論依據，算法是算理提煉和概括后形成的，算法和算理相輔相成，在加、減、乘、除四則運算教學中，教師都可以借助算理教學，培養學生的幾何直觀能力。

關于計算的算理教學，其幾何直觀的表現形式通常有三種：一種實物直觀，二是簡約符號直觀，三是圖形直觀。

實物直觀是借助實際的存在物，進行簡捷的思考和形象的判斷。既可以用實際的存在物演示，又可以用小棒和小畫片等替代物演示，讓學生邊演示實物邊理解算理。

簡約符號直觀是在頭腦里建立圖式表象。小學生的知覺和觀察一般是從情緒性、無意性、不確定性向目標性、有意性、確定性的方向發展。對此，教師可借助算理教學，發揮簡約符號直觀的作用。

圖形直觀是借助幾何圖形對數學問題進行描述和分析。圖形直觀一般有“形形”和“數形”兩種表示。在算理教學中，常采用“數形”表示，特別是分數四則運算的算理比較抽象，用“數形”表示，能使抽象的數學問題直觀化。

對小學生而言，有些計算法則比較抽象，他們在理解上存在一定的難度。如果教師運用傳統的教學方式進行授課，難以讓學生知其然且知其所以然。而教師借助幾何模型引導學生在直觀的觀察中洞察算理的本質，能讓學生深刻理解算理，靈活應用算理。因此，教師將算理與幾何直觀相結合進行教學，會有意想不到的教學效果。

案例2? “一個數除以分數”的教學

問題：麗麗花了2/3小時，走了2km的路程；花花用了5/12小時，走了5/6km的路程，她們兩人，誰走路的速度更快些？

對于這個問題，學生列式基本都不成問題，問題在于列式后的計算。為了讓學生從根本上掌握算理，筆者鼓勵學生先畫圖，再計算。學生經思考后，繪制出圖1，并根據此圖進行算理的推導。

觀察圖1，將麗麗1小時所行走的路程分成了3份，麗麗花了2/3小時走完了2份路程的量，換個思維考慮，就是用2÷2來求出1/3小時行走的路程，再與3相乘即可，得到1小時所完成的路程為2÷2×3，也就是說被除數為分數時，先除以分子，再乘以分母。

畫圖的目的就在于引導學生明白為什么要這樣計算，這樣計算的過程是怎樣的。如果教師直接將運算律灌輸給學生，學生就只能機械地記憶，而不能形成深刻的認識。這種非理解性的記憶短暫且不牢固，會導致學生學了后面忘了前面。而利用幾何直觀，幫助學生理解算理的教學方式，會讓學生弄明白為什么2÷（2/3）最后轉化成了2×3/2，這種從根本上的理解性記憶是牢固的、永久的、可靠的。

通過以上教學可知，借助幾何直觀進行算理的教學，不僅是一種高效的教學方法，還是發展學生理解能力，提高學生思維水平的良好手段。學生通過這種教學方式，能從源頭上理解算理的形成與發展過程，從而掌握其本質，這為后期更多、更復雜的數學學習奠定了堅實的基礎。

（三）立足解題教學，培養幾何直觀能力

解題教學是數學教學的重要環節，教師應想方設法抓好解題教學這一環節，引導學生做到“三個應該”：

一是應該重視解題教學，解題教學的效果好與差，不但會直接影響學生對數學知識的運用，而且會直接影響學生解題能力的提升。因此，教師應引導學生重視解題教學，把解決問題作為數學學習的頭等大事。

二是應該認真理解題意，解題教學得從理解題意入手，引領學生讀懂題意，對于一些文字敘述多、綜合性強、難度大的題目，要引導學生反復閱讀、反復玩味、反復欣賞，認真理解題意。

三是應該尋找解題思路，引導學生挖掘數學題目中已知條件和所求問題的橫向、縱向聯系，從諸多思緒中梳理出一條條思想的紐帶，再用這些紐帶，把已學過的相關概念、公式、定理等數學知識連接起來，使問題得到解決。

立足解題教學培養學生幾何直觀能力，通常應在三個方面下功夫：

一是在直觀教學方面下功夫，小學生的數學思維以形象思維為主，計算、證明和推理，都需要形象思維這個基礎。通過直觀教學，利用直觀圖形將抽象的數學問題形象化，將復雜的數學問題簡單化，能幫助學生更好地理解數學題意，從而培養學生的幾何直觀能力。

二是在數形結合方面下功夫，數學的語言和符號較為抽象，不利于學生理解和掌握。利用數形結合的方式直觀展現數學問題，能實現數與形的互相轉化，闡明數學問題之間的內在聯系，從而培養學生的幾何直觀能力；

三是在實踐操作方面下功夫，基于小學生的思維特點，小學數學教學應重視學生的動手操作，它是培養學生幾何直觀能力的有效途徑之一。教學中，教師要幫助學生建立“手和腦”之間的聯系，通過開展有趣的、有效的動手操作實踐活動，充分調動學生的直觀想象。

為了加強學生對數學知識的應用，教師可通過一些解題訓練強化學生對基本圖形的認識。小學階段，學生所接觸到的基本圖形主要有線段、數軸、長方形、正方形或圓等，通過對這些圖形問題的發現與描述，能增強學生對知識的理解程度，強化記憶效果，這也是培養學生幾何直觀能力的關鍵措施。

案例3? “雞兔同籠”的解題教學

長方形是學生熟悉的一類基本圖形，它的面積=長×寬。對于長方形的面積，教師可引導學生用“積=因素×因數”的形式來表達，這種表達常見的還有“總數=每份數×份數”。換個思維，生活中有很多實際問題的數量關系，可以轉化成長方形的圖形來進行表達。當繁雜的文字與數量關系轉化為直觀形象的長方形時，其中的關系則能讓人一目了然，解題思路一旦明晰，問題也就迎刃而解了。教學中教師應盡可能地給學生創造思考與轉化的機會，鼓勵學生掌握數形轉化的能力，為解題而服務。

“雞兔同籠”是經典的數學問題，小學生不容易厘清其數量關系。筆者受到長方形面積的啟發，將一道“雞兔同籠”問題“8只雞兔同籠，共26只腳，雞兔各是幾只”轉化成了“長方形面積”問題。

第一步：如圖2，引導學生先在草稿紙上畫兩個長方形，分別代表雞腳和兔腳的數量，再將這兩個長方形拼接在一塊兒。

第二步，根據圖中直觀的數量關系，學生很快就能找到解決問題的辦法。觀察圖2，可以看出兔腳數量的一半為26-2×8=10（只），兔腳總數為2×10＝20（只），因此兔子的數量為2×10÷4=5（只）；再觀察雞腳的數量為4×8-26=6（只），那么雞的數量為6÷2=3（只）。簡簡單單的一張圖，就將學生感到頭疼的雞兔同籠問題給解決了。

由此可以看出，解決數學問題應從多角度、多層次進行思考與分析，尤其是利用“形”的直觀性來解決“數”的抽象性。將抽象的代數問題轉化為直觀的幾何問題，能給學生一種主觀的沖擊，使他們又快又準地解題。

學生的解題能力，往往反映出學生的數學綜合水平，將抽象的代數問題轉化為直觀的幾何問題，不僅能實現快速解題的目的，還能活躍學生的思維，讓學生在數形轉化中形成創新能力。

總之，學生的幾何直觀能力的培養并非一朝一夕就能完成，它需要教師長期不懈地堅持、滲透。教師要從思想上高度重視學生幾何直觀能力的培養，并付諸實際教學，讓幾何直觀在學生學習數學的各個階段發揮其獨有的價值，為學生形成良好的數學核心素養奠定基礎。

作者簡介：顧瑋瑋（1982—），本科學歷，中小學一級教師，從事小學數學教學工作。