打造高中數學教學的“五重境界”

［摘? 要］ 對于高中數學教學，不同的教師對其有著不同的認識，于是自覺與不自覺將自身的教育理念置于某種教學境界中. 在教學中，教師除了講授現成知識和方法外，還應關注學生綜合能力和綜合素養的培養，關注學生情感和價值觀的培養，在和諧教育、愉快教育、充滿愛的教育理念的指導下，開展有意義的教學，建構有價值的課堂.

［關鍵詞］ 教學境界；綜合素養；教育理念

在素質教育的影響下，教師的教育理念和教學思想獲得了較大發展. 但不同的教師具有不同的學識和能力，對課堂教學也有著不同的理解，因此在課堂上有著不同的表現. 有的教師認為課堂教學應以知識的講授為主，有的教師認為課堂教學的關鍵在于學習方法的指導和解決問題能力的培養，有的教師認為課堂教學應該注重學生自主學習能力的提升和學習興趣的培養……因為教師的不同認識，使得教學中出現了不同的教學境界. 筆者結合案例，淺談自己對不同教學境界的認識，僅供參考.

教知識

教知識是課堂教學的基本要求，是教師開展課堂教學的首要任務. 為了“教好”，讓學生學得輕松、學得愉悅，首先教師要有海量的知識、寬廣的胸懷和開闊的視野，其次教師要有傳授知識的必要技能，能讓學生在最短的時間內學習更多的內容，最后教師要足夠了解學生，能結合具體學情開展有效教學. 如果教學中教師不重視指導學生學習方法，不重視學生的具體學情，只是中規中矩地按照課前預設開展教學活動，那么這樣的“教”會顯得格外單調、乏味，不利于激發學生的學習欲望.

例1 已知雙曲線C：x2-y2=1及直線l：y=kx-1.

（1）若直線l與雙曲線C有交點，求實數k的取值范圍；

（2）已知直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，O是坐標原點，若△AOB的面積為，求實數k的值.

師：對于問題（1）中的“有交點”，你是如何理解的？

生1：直線與雙曲線“有交點”，分兩種情況：一是有兩個交點；二是有一個交點.

師：很好，現在我們一起研究一下，當有兩個交點時，應該如何求解？（教師預留時間讓學生計算，并簡述解題過程）

生2：由題意聯立方程并化簡得（1-k2）x2+2kx-2=0，則有1-k2≠0，

Δ>0，得-

師：很好，有一個交點會是什么情況呢？

生齊聲答：相切.

師：很好，對于直線與雙曲線有一個交點，只有相切這一種情況嗎？（教師引導學生繼續探討）

生3：還有與雙曲線的漸近線平行這種情況.

師：說說你們的答案.

生4：當直線l與雙曲線C相切時，解得k=±且k≠±1.

生5：當直線l與雙曲線C的漸近線平行時，解得k=±1.

師：很好，綜上可得，當直線l與雙曲線C有交點時，-≤k≤.

（對于問題（2）的教學過程，筆者在這里不再展開闡述）

從上述教學過程來看，表面上是師生通過探究共同完成的，但求解思路是在教師的引導下形成的. 教師只是教會了學生解題的方法，并沒有真正激發學生的求知欲，教學僅停留于知識的傳授，屬于“授之以魚”的教學境界. 想讓學生更好地融于課堂，其實教師應多聽聽學生的聲音，不同的學生有著不同的認知，有著不同的思維方式，解題時也會呈現出多樣化的方法，教師應多留一些空間讓學生來展示他們的思維過程，從而在不同思維的碰撞下，激發學生的求知欲.

教方法

在教學中，若教師只關注書本上現成的知識和現成的解法，不帶領學生經歷知識生成和發展的過程，則很難發散學生的數學思維，提升學生的分析能力. 要知道，任何事物都是在發展變化的，教學中教師過于墨守成規，如何讓學生去體會創新的價值？如何讓學生擁有創新的能力？與其直接“灌輸”知識，不如教給學生獲取知識的方法，這樣學生才能根據自己“之所需”去發現、去探究，從而在主動的認知建構中獲得新知識、新技能.

例2 已知集合｛（x，y）

x∈［0，2］ ，y∈［-1，1］ ｝.

（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；

（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率.

求解本題時，教師堅持“以生為本”，學生先根據幾個常見的基本概型間的區別和聯系，知曉問題（1）為古典概型，問題（2）為幾何概型；接下來分析出了基本事件，并結合概型公式順利地求解了問題. 課后交流時發現，學生之所以能夠順利求解，是因為他們熟練掌握了解題的方法，牢牢抓住了問題的本質特征，能夠靈活套用已有知識和解題方法順利解決問題.

在教學中，教給學生求解方法本無可厚非，但是若學生解題時僅局限于機械套用，這樣學生的思維能力和創新意識并不能獲得較大發展，而且機械套用容易造成思維定式和思維疲勞. 在教學中，教師要將學生看成知識的創造者，而非被動接受者. 不過在教方法的活動中，部分教師并沒有真正擺脫“任務式”教學的束縛，依然停留于應試教育的范疇. 在教方法的過程中，這些教師不管學生是否喜歡、是否接受，對學生是否有益，只是單純地從自我認知出發，將自己認為好用的、方便的、易于理解的知識和方法強行地灌輸給學生，并通過專項訓練加以強化，迫使學生應用同樣的方法去解決問題. 雖然在一定程度上能夠提升學生的解題技能，但是“強灌”也容易使學生產生厭學情緒. 教師切勿將現成的知識、方法、能力當成教學的全部，如果那樣做也許能訓練出“高分”的學生，但并不能培養出具有獨創精神的人才.

激情趣

想要真正提高教學效率，教學中教師應重視激發學生的求知欲，讓學生感覺數學學習是一件輕松的、有價值的事情，從而激發其學習動機. 當學生對學習產生強烈欲望時，他們會積極思考、主動交流，從而借助已有知識和已有經驗去發現新知識、解鎖新技能，切身感受數學學習之美. 其實教學的價值并不是指它能教給學生多少本領，而是指它能否喚醒學生的求知欲，能否激發學生的探究動機，能否鼓舞學生的學習斗志.

例3 設雙曲線C：x2-=1，是否存在這樣的直線l，過點P（1，1），與雙曲線相交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點？

問題給出后，教師先讓學生獨立思考，然后組織學生進行小組交流，最終學生給出了如下答案.

生6：設A（x，x），B（x，y），代入雙曲線方程有x-=1，x-=1，兩式相減得（x-x）-

-

=0，即（x+x）（x-x）=（y+y）（y-y）. 又已知點P（1，1），直線l的斜率k=2，故直線l的方程為y=2x-1. （對生6的解法，學生紛紛點頭，表示贊同）

師：運用點差法來求解，確實是一個好思路. 實際上，點A（x，2x-1）代入雙曲線方程并整理得2x2-4x+3=0，這個方程是否有解呢？

生齊聲答：無解.

師：既然無解，這樣的點A是否存在呢？

生齊聲答：不存在.

師：課下思考一下，直線l的斜率在什么范圍內才能與雙曲線有兩個交點.

在教師的引導下，學生進行解后驗證，發現滿足題目條件的直線l并不存在. 通過恰當的引導讓學生體驗了“驗證”在解題中的價值，有利于培養學生解后驗證的良好習慣. 求解問題后，教師又繼續追問，讓學生通過更改條件來尋找滿足條件的直線，繼而通過點撥和啟發激發學生的好奇心和求知欲.

在解題過程中，單一的“就題論題”式的講解往往難以激發學生的好奇心，教師應以發展學生為教學的出發點，借助一些可以激發學生探究熱情的問題誘發學生深度思考，從而在解題的基礎上抓住問題的本質，使知識得以融會貫通.

重情感

數學教學既是知識教學，也是情感教學，教學中教師既要應用好學生的好奇心、自尊心、好勝心等內部誘因，也要利用好獎勵、激勵、競賽等外部誘因，從而誘發學生主動學習、主動探究、主動創造，讓學生帶著快樂的情緒、積極的心態去體驗數學學習所帶來的體驗感和成就感. 不過，在現實教學中，學生常感覺數學教學是乏味的、冰冷的，因為在應試教育的束縛下，為了提高成績，教學大多“以師為中心”，導致學生的積極情感得不到釋放，學生的表現自然變得消極，教學效果也不夠理想. 為了讓課堂更具人情味，教學中教師應“以生為本”，注入情感，做到真正愛學生、愛教學，將數學教學看成一項偉大的事業，而非簡單的工作. 學生在這樣一個充滿愛的課堂上學習，他們一定是積極的，教學一定是高效的.

變式：如圖2所示，DP⊥x軸，點M在DP的延長線上，且=，當點P在圓x2+y2=4上運動時，求點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀. 與原題相比，你有什么發現？

當完成以上兩個問題的探究后，教師又將例4中的“點M為線段PD的中點”變成“MD=PD”，將圓方程由“x2+y2=4”變成“x2+y2=25”，繼而通過變式幫助學生熟練掌握圓錐曲線的簡單應用.

例4只要求學生得到軌跡方程，沒要求學生說明是什么圖形（變式才有這樣的要求），這樣的梯度變化能激發學生的數學學習信心. 為了深化學生對直線與圓錐曲線位置關系的理解，讓學生熟練掌握圓錐曲線的簡單應用，教師巧借變式加以強化.

在教學中，教師要充分認識到個體差異，并尊重這種差異，針對不同個體設計不同梯度的問題，對不同學生進行不同比較，從而激發他們學習數學的興趣，讓每個學生都能獲得成功的體驗，培養其張揚的個性. 以上教學過程充分展現了教師對學生的人文關懷，最大限度地激發了他們的數學潛質，有助于學生的健康成長.

助育人

在唯分論的影響下，部分教師將教學重心都放在學生成績的提升上，忽視了學生德育的培養，存在“重教書、輕育人”的現象. 在教學中，部分教師普遍認為教好學科知識是重中之重，至于思想教育可以留給班主任、德育老師、家長來完成，在他們的課堂上還是以“教知識”和“教方法”為主，重視“智育”的發展，忽視“德育”的提升，這樣使得教學的價值并未真正體現出來，教育的任務也未真正完成.

眾所周知，課堂教學是學校教育的重要組成部分，其不僅要服務于“教書”，而且應服務于“育人”，要將學科教學上升至學科教育，關注德育、美學、人文等綜合素養的提升，讓學生成為既有知識又懂文化的人才.

例5 已知橢圓C的中心在原點，左焦點F的坐標為（-，0），右頂點A（2，0）.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若斜率為的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求弦長AB的最大值及此時直線l的方程.

問題（1）較為簡單，結合已知由a，b，c的關系及焦點的位置，易得橢圓C的方程為+y2=1. 教師先引導學生獨立解決問題（1），接下來由基礎相對薄弱的學生板演解題過程，借助簡單的問題讓這部分學生獲得成功的體驗，激發他們學習數學的積極性. 對于問題（2），教師先預留一定的時間讓學生獨立思考，接下來與學生一同探究解題思路.

師：由已知可知，直線l的斜率為，根據這個條件你想到了什么？

生7：可設直線l的方程為y=x+b.

師：接下來該如何求解呢？（獨立思考后，教師讓學優生陳述解題過程）

在教學中，教師先讓學生獨立解決簡單的問題，以此激發學生的解題信心，接下來與學生共同分析，將弦長問題轉化為一元二次方程問題，即向熟悉的方向轉化，繼而利用韋達定理和弦長公式輕松地解決問題. 整個教學過程既有獨立思考，又有合作交流，促進學生在最近發展區內不同程度地發展. 整個教學過程自然流暢，連貫有序，不僅讓學生找到了解題的方法，而且充分展示了學生的思維過程，促進學生全面和諧地發展.

以上教學過程從“教書”的層面出發，取得了較好的成果，既給了學困生展示的機會，又兼顧了學優生的發展，注重學生學習欲望的激發和學習主動性的培養. 不過，在教學過程中缺少探索和發現的過程，教師應多鼓勵學生從不同角度尋找解決問題的方法，進而通過探索使學生的“學”超越知識、超越課堂，讓學生的綜合素養獲得質的提升.

總之，在數學教學中，教師既要關注現成知識和方法的講授，又要關注學生求知欲的激發，讓“學”變成一件快樂的事情. 同時，教師要注入真情實感，打造有“愛”的課堂，讓“學”變成一件幸福的事情.

作者簡介：趙旭東（1983—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作，曾獲海門市數學基本功比賽一等獎、海門市優秀教育工作者等榮譽.