高中數學圓錐曲線的教學現狀分析及思考

王鵬

［摘? 要］ 圓錐曲線是高中數學的重要組成部分，也是數學高考的熱門考點，對于這部分知識的教學，應當在幫助學生積累數學知識、培養學生必要的考試能力的基礎上，進一步通過數學思想方法的領悟，來實現學生數學學科核心素養的培養. 但當前圓錐曲線的教學現狀表現為教師的教學取向相對單一，學生的學習思路比較狹隘. 圓錐曲線知識的教學，關鍵要考慮教學目標、學生的認知基礎、學生的學習過程、學生的學習結果及評價等要素：數學學科知識方面的教學目標可以參考相關的教材以及高考原題；數學學科核心素養方面的教學目標，則可以體現在數學抽象、邏輯推理以及數學建模等素養上；學生的認知基礎體現在空間想象能力、邏輯推理能力以及數學建模能力上. 這些為達成目標的努力能夠幫助學生習得知識、獲得素養.

［關鍵詞］ 高中數學；圓錐曲線；教學現狀；核心素養

圓錐曲線是高中數學的重要組成部分，也是數學高考的熱門考點，對于這部分知識的教學，傳統思路往往是基于應試需要而展開的. 這一點無可厚非，因為在當前的評價體制下，作為重要考點的圓錐曲線，必須有明確的高考指向. 與此同時教師應當注意到，圓錐曲線在教學中的地位之所以如此重要，并不只是因為它是熱門考點，還因為它充分體現著數學學科的特點，體現著數學家探究的智慧. 對于這部分知識的教學，應當在幫助學生積累數學知識、培養學生必要的考試能力的基礎上，進一步通過數學思想方法的領悟，來實現學生數學學科核心素養的培養. 確定這樣的教學目標，有著重要的現實意義和長遠的歷史意義，尤其是對于后者而言，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》進一步明確了高中數學課程的內涵，以及數學學科核心素養的組成要素，核心素養已經成為當前高中數學教學的重要目標，這一目標的實現必然依賴于日常教學過程，所以教師培養學生數學能力的同時，一定要開拓一條學生數學學科核心素養發展的道路. 在這樣的視角下再去看圓錐曲線這部分知識的教學，就會發現當前的教學研究思路，一方面要對圓錐曲線的教學現狀進行分析與梳理，從中找出應當繼承的地方和應當優化的地方；另一方面要結合數學學科核心素養的發展，思考在圓錐曲線這部分知識的教學中，存在著怎樣的核心素養培育契機. 事實證明，只有將兩者結合起來，圓錐曲線這部分知識的教學，才能夠同時承擔起幫助學生通過高考、實現可持續發展雙重任務.

筆者教學用的是蘇教版高中數學教材，該教材在圓錐曲線這部分知識的編排中，體現出了其獨有的特點. 研究圓錐曲線知識的教學，離不開對教材的分析，離不開對教材編寫者編寫思路的揣摩，當然也離不開對圓錐曲線在高考中所表現出來的趨勢的研究. 將這些要素綜合起來進行分析，可以進一步夯實核心素養培育的基礎，也可以為學生的知識學習與運用提供實實在在的幫助.

圓錐曲線的教學現狀分析

對當前圓錐曲線的教學現狀的分析，可以選擇幾個有效的研究點，同時也可以采用比較研究的思路，即借鑒他人的研究成果，與自己的教學實踐及研究進行對比，這樣就可以兼顧全面，從而做出更準確的判斷. 有研究者指出，目前在高中數學圓錐曲線的教學中，普遍存在學生不能牢固掌握圓錐曲線知識的問題，具體體現在學生雖然能聽懂教師課堂上講的內容，卻無法應用于實際做題［1］. 這種情形實際上非常常見，只不過歸因時，會出現仁者見仁、智者見智的情形. 筆者綜合多方面的因素，對當前圓錐曲線的教學現狀進行了如下兩點分析（限于篇幅，這里不再舉實例進行說明，只進行理論上的總結與闡釋）：

首先，教師的教學取向相對單一.

上面已經提到，圓錐曲線是高考熱點，也是數學內涵比較豐富的知識點. 可能也正是這個原因，使得這部分知識在高考中出現的頻率非常高，盡管有時候與該知識點相關的題目難度不高，但是教師教學時往往不會掉以輕心，還是會從題型分析與綜合、題目海量收集等角度，去尋找教學靈感. 原始教學就具有明顯的應試特征，具體表現在知識教學的時間與空間被壓縮，圓錐曲線所擁有的數學內涵不能充分體現出來.

其次，學生的學習思路比較狹隘.

應當說當前高中生面對學習現實的判斷能力還是比較強的，但強大的應試壓力使得絕大多數學生在數學學習中，都表現出了明顯的功利傾向. 從此前經常批判的“教師考什么才教什么”，變成了當下的“學生考什么就學什么”，體現在圓錐曲線這部分知識的學習，就是學生也只想著這部分知識能夠出怎樣的高考題、如何求解此類題目……站在數學學科課程價值的角度來看，這樣的學習思路顯然比較狹隘. 在學生缺乏主動研究動機的情形下，圓錐曲線所蘊含的數學內涵即使再豐富，也不容易被學生吸收.

以上兩種情形，在實際教學中同時發生，互相糾纏且互相影響，造成學生的學習空間相對狹隘，圓錐曲線知識的教學功能不能充分發揮. 當這樣的現狀引起筆者重視后，基于最常見的教學邏輯，筆者開始思考如何優化圓錐曲線這部分知識的教學.

圓錐曲線的有效教學途徑

對于一個重要的知識點，教師要設計一個有效的教學過程，關鍵要考慮教學目標、學生的認知基礎、學生的學習過程、學生的學習結果及評價等要素. 就圓錐曲線這部分知識而言，數學學科知識方面的教學目標可以參考相關教材以及高考原題，這里不再贅述. 數學學科核心素養方面的教學目標，則可以體現在數學抽象、邏輯推理以及數學建模等素養上，比如圓錐曲線概念的引出，涉及“平面截圓錐”這樣一個動態過程，關系到數學抽象；同時這個過程又依賴于學生的空間想象能力，因此也與數學學科核心素養中的直觀想象相關；至于對“截”的產物的判斷與結果的描述，當然涉及邏輯推理以及數學建模.從學生認知基礎的角度來看，高中生具有較強的空間想象能力、邏輯推理能力，以及在平常數學概念與規律學習過程中形成的數學建模能力等，都能夠在圓錐曲線知識的學習中得以體現，能夠幫助學生經歷與數學學科核心素養相關的過程，從而習得知識、獲得素養. 至于對學習過程與學習結果的反思，這是平常教學中容易被忽視的，也是教師不太愿意花費時間的環節. 但是在筆者看來，真正能抓好學習反思這樣一個環節，無論是從知識理解的角度來看，還是從數學學科核心素養發展的角度來看，都有著重要的意義.

基于上述理解，對于圓錐曲線這部分知識的教學設計，筆者重點關注這樣幾個環節：

環節一：學生體驗. 這一環節主要為學生理解圓錐曲線的來龍去脈、形成相對完善的認知結構服務，同時也為數學學科核心素養中的數學抽象服務.

“用一個垂直于圓錐軸的平面截圓錐，截面與圓錐面的交線是一個圓”，這是學生已有的認知基礎. 此處要讓學生體驗的是：改變平面與圓錐軸的夾角，然后觀察可以得到幾種不同的截面. 學生的體驗，可以基于數學實驗的材料進行（需要提前做好準備，不贅述），也可以借助課件進行，強調的不一定是學生親自動手，但必須是高效用腦. 當學生通過加工實際操作獲得的結果或課件上的內容，并在大腦中形成表象后，學生就會發現，夾角不同得到的圓錐曲線不同（具體如圖1所示）

環節二：學生推理. 這一環節主要為學生認識幾種典型圓錐曲線的類型及性質服務，同時為幾何直觀和邏輯推理服務.

完成數學抽象后，學生大腦中的研究對象應當成為抽象的圖形，這里就需要建立對應關系——這實際上是進一步抽象，同時也需要學生有一定的直觀想象能力作為支撐. 圖2展現的對應關系，就是深度抽象與幾何直觀的結果. 有了這一結果后，學生自然就會借助此前學習過程中形成的邏輯認識，來對這些元件的出現進行區分，并且完成下定義以及探究性質的過程（這在傳統的知識教學中比較受重視，這里不再一一贅述）. 重點想強調的是，必須讓學生經歷一個豐富的幾何直觀與邏輯推理的過程，確保學生形成體驗感.

環節三：學生建模. 這一環節主要為學生理解幾種典型圓錐曲線的概念及性質服務，同時為數學建模服務.

圓錐曲線知識的學習是一個重要的數學建模機會，其所追求的教學效果應當是：當學生看到橢圓、雙曲線、拋物線的概念后，就能夠立即在大腦中出現相關的圓錐曲線圖形——這里強調的“立即出現”，不只是指學生在知識掌握層面的熟練，更指學生完善自身認知體系后表現出來的對圓錐曲線類型及來龍去脈的熟悉，同時能夠清晰闡述它們的性質，能夠明晰自己在這部分知識學習過程中所運用到的數學思想方法，知道自己經歷了數學抽象、邏輯推理以及數學建模等過程（不是說學生能夠說出這些概念，而是指學生能夠知道自己體驗過這些過程）. 如果說學生能夠達到這些水平的話，那么就可以認為本節課的教學是有效的.

很顯然，相對于傳統教學來說，這是一個數學知識建構與核心素養發展雙豐收的教學過程，是圓錐曲線這部分知識教學新的突破. 進一步分析：跟上面分析的圓錐曲線教學的現狀相比，這樣一個擁有上述教學環節的教學過程，不僅說明了知識教學與核心素養培育可以同時進行，而且也證實了數學學科核心素養的發展有助于促進學生對數學知識的理解，從而提升學生的應試能力.

圓錐曲線的教學實踐反思

作為教師，需要對自己的教學實踐進行反思，因為只有反思才能發現教學中的不足，才能發現教學新的突破點. 上面的總結，既是筆者對已有教學反思的結果，又是未來教學反思的對象. 如此理解高中數學圓錐曲線知識的教學，筆者認為從方法論的角度來看，是科學的也是合適的. 畢竟，在高中數學教學中，圓錐曲線相關知識既是重點又是難點. 面對這一難點與重點，教師自然必須思考難點應當如何突破，重點應當如何體現.

值得一提的是，對圓錐曲線知識難點的確定，除了常規意義上的知識難點以及容易出現的難題外，還要從數學學科核心素養培育的角度去觀察. 必要時還應當增設一些學習環節，以便于學生能夠經歷更為豐富的知識學習過程，同時讓學生在學習過程中充分體驗數學學科核心素養落地. 這是筆者在教學研究中獲得的一個重要經驗.而且這樣的學習環節的增設，通常不會影響學生對數學知識的掌握與運用，也就是說不會影響學生應試能力的培養. 比如生成三種典型圓錐曲線的體驗過程，就不應當被忽略. 看起來學生的體驗會占用一部分學習時間，但是這部分時間的花費是完全值得的，就是因為當學生經歷這樣的體驗過程，大腦中關于橢圓、雙曲線以及拋物線的表象會變得十分清晰，這不僅有助于學生理解圓錐曲線的性質，而且有助于學生產生新的有價值的問題. 比如有學生發現三種典型圓錐曲線的性質描述，基本上遵循著同一種模式，因此可以用同一張表格來梳理——當學生有了這一自主發現后，就可以挖掘出類似于表格這樣的工具，比如人們常說的思維導圖，這有助于學生思維的發展.同樣還有學生提出：“為什么一個平面去截圓錐，就可以得到這些元件呢？這不可能是偶然的結果，其中必然存在著一定的規律.”“圓錐曲線在自然界中有著那么大的實際應用價值，這說明數學與現實世界之間的聯系非常緊密.”……

這些觀點在傳統教學中是很難出現的，但在當下課堂中卻頻頻出現，恰恰說明了上述教學思路是有效的，這樣的教學思路是應當堅持的.

參考文獻：

［1］ 姜文新. 高中數學圓錐曲線教學現狀分析及其研究［J］. 語數外學習（高中數學教學），2014（10）：70.

［2］劉志有. 高中數學圓錐曲線教學的有效性策略分析［J］. 數學教學通訊，2014（15）：36-37.