淺析高中數學運算素養的培養措施

龐翠

［摘? 要］ 縱觀當前高中數學教學，學生做的練習不少，但運算素養一直有待提高. 究其主要原因，在于不少學生沒有足夠重視運算的作用，缺乏良好的運算習慣與思維. 文章從“調整運算思路，簡化運算過程”“滲透求簡意識，找準運算方法”“觀察運算拐點，指點運算方法”“鎖定運算癥結，探尋矯正措施”四個方面，具體談談如何培養學生的運算素養.

［關鍵詞］ 運算素養；培養措施；思路

運算素養是數學核心素養的六大要素之一，也是傳統的數學三大能力之一. 運算是指在明確運算對象與法則的基礎上，解決數學問題的過程，主要包括明確運算對象、理解運算法則、探索運算思路、設計運算程序、擇取運算方法、獲得運算結論六個環節. 運算既是解決問題的一種基本手段，又是一種基本的數學能力，運算能力的發展可促進運算素養的提升.

調整運算思路，簡化運算過程

筆者曾在所授班級做過一個小調查：“解析幾何的學習，什么讓你覺得最難？”一石激起千層浪，學生反饋的結果有：解題方法和解題思路的選擇最難，運算過程過于煩瑣，等等. 其中，對于運算煩瑣的反饋最多. 結合多年的教學實踐，筆者對運算的感悟頗多，特別是運算思路不同，導致運算過程千差萬別. 因此，擇優運算思路是解決運算煩瑣問題的關鍵.

案例1 “直線與圓”的復習教學.

這部分內容是高中階段的重點與難點，學生在基礎知識的掌握上表現得還比較好，但在運算環節出現的問題著實不少. 同一問題，有的學生會產生異常煩瑣的運算過程，而有的學生簡簡單單就能獲得結論.

解析 （1）該問的解題思路比較簡單，純屬基本運算，故略.

師：大家對于這種解法有什么體會？

生1：這種解法，在計算點M坐標的過程中出現了較大的運算量.

師：有沒有什么辦法可以避免這個煩瑣的運算過程呢？

生3：根據題意，點A，M，N三點共線，如果從向量的角度來解題，或許能減少運算量.

師：你們說得都有道理，現在請大家以小組合作交流的方式來討論如何簡化運算量這個問題.

學生經過合作交流，呈現出以下解答方案：

師：非常好！觀察以上兩種解法，第一種分別求出兩點的坐標，第二種只求出其中一點的坐標. 有沒有什么辦法可使兩點的坐標都不求，也能獲得結論呢？

（學生沉默）

師：大家從平面幾何的性質著手試一試.

生4：或許可以用相似三角形的性質來破解這個問題.

師：這是個不錯的主意，現在請大家獨立思考后相互交流.

縱觀以上三種解法，一次比一次簡潔、優化. 后面兩種解法之所以簡單，是因為從題設條件中發現并利用了重要的特殊關系——垂直. 由此也能看出，特殊的關系在一般性問題中具有重要意義. 后面兩種解法，雖然運算量比第一種小，但對學生的思維要求較高，對于認知水平較弱的學生，確實存在一定的困難. 基于此，解法1也不能完全放棄.

滲透求簡意識，找準運算方法

在高中數學的解析幾何中，用來簡化運算的方法主要有向量法、幾何性質的應用、回歸定義、設參等，但不論應用哪種方法，目的只有一個——簡化運算過程，準確獲得結論. 因此，在日常教學中，教師應不斷滲透“求簡”意識，使學生學會從不同的思路思考問題，尤其遇到特別煩瑣的運算時，一定要找準簡化運算的方法.

很多時候，運算方法的差異，會導致運算正確率千差萬別. 值得注意的是，不能為了簡化運算就一味地探尋最簡的方法，而忽略了問題中存在的隱含條件.

案例2 “三角與向量”的專題復習教學（高三一輪復習）.

（2）b+c的取值范圍是什么？

生5：（1）借助三角形面積公式與余弦定理，不難獲得b+c=4的結論.

師：是否存在其他解法？

兩種解法呈現出了不同的結論，究竟哪里出了問題呢？教師要求學生自主思考，探明原因. 過了約3分鐘，有學生提出：生5在解題過程中遺漏了“三角形中，兩邊之和必大于第三邊”這個隱含條件.

師：雖然用余弦定理解決本題更加便捷，但對于“范圍類”的問題來說特別容易出現遺漏. 正弦定理將待求問題轉化為一個角的三角函數形式去解，縱然運算復雜了一些，但正確率更高. 值得注意的是，我們應精致化“角”的取值范圍才行. 本道題讓你們有什么收獲？

生7：解決三角形問題時，要時刻關注“取值范圍”“定義域”這些隱性條件. 同時，利用基本不等式進行運算，要注意符號“≤”與“≥”能否取到等號.

綜上分析不難發現，運算思路決定著運算過程的難易，也決定著運算結論的對錯. 因此，教師應加強學生對不同運算思路的應用，讓學生在類比、分析中，不斷完善認知體系，形成嚴謹的思維習慣.

觀察運算拐點，指點運算方法

縱觀學生的練習與考試，大多數學生的運算思路并沒有多少問題，但對一些較復雜的知識結構缺乏處理能力，鮮有學生能站到宏觀的角度去微觀處理細節問題. 正因為如此，學生在運算過程中就出現了不少問題. 若教師能發現學生的問題，并在“拐點”處適當給予指導，常能取到意想不到的效果.

案例3 “三角”的專題復習教學.

（學生沉默）

師（提示2）：展開cos（A+C）看看？

教師順應學生的思維，在學生思維的障礙點及時給予點撥與提示，有效激發學生思維，讓學生適時調整運算方法，順利獲得答案. 在教學中，教師可以根據學生的實際情況，結合教學內容的特點及時分析問題的“拐點”，通過精準點撥，常能促進學生及時反思并調整運算方法，最終提高運算能力.

鎖定運算癥結，探尋矯正措施

每個學生受社會、家庭與教育等因素的影響，思維模式與思維習慣存在較大的差異，在數學運算上表現得尤為明顯. 有的學生存在的問題是運算習慣差，有的學生則是運算思維不好，還有的學生表現在運算合理性差等方面. 教師只有在充分了解學情的情況下，找出學生解決問題的“癥結”，才能做到“對癥下藥”，讓矯正措施更有效.

案例4 “數列”的教學.

此題為一道典型的等差乘等比數列問題，解決這類問題的關鍵在于“兩式錯位相減”，對于大部分學生來說難度并不大，但筆者所授班級在本題的實際得分率僅有35%. 大部分學生的問題出在運算上——應用錯位相減法解題，最后一項本該為－（2n－1）3n，卻寫成了（2n－1）3n；也有少數學生弄錯了項數.

筆者講評時，與學生一起分析了錯誤原因，做了相關提醒，同時要求學生在原題旁邊用紅筆訂正，并上交批閱. 但在一周后的測試中，又出現了一道與本題類似的問題：

從本題來看，不少學生雖然明確運算方法，但遇到實際問題時，卻屢屢出錯，究竟是何原因？筆者為此對學生進行了訪談并統計，原因總結為以下幾點：第一，學生第一次接觸錯位相減法是在學習求等比數列前n項和之前，這種方法出現時快下課，不少學生產生了“分神”的情況，課后又沒有及時鞏固、吸收，導致“消化不良”的現象出現；第二，部分學生在訂正問題4時，沒有獨立思考并再做一遍，而是直接將點評訂正在原題旁邊，缺乏深入思考與實踐體驗的過程，當再次遇到類似問題時，便無法準確解題；第三，部分學生日常不重視計算，依賴計算器，導致計算能力薄弱.

一旦找出“癥結”，便可制定相應的對策. 針對這些問題，筆者認為可作如下改進：

（1）讓學生明確運算的重要性.運算貫穿整個學習生涯，不僅體現在數學學科的教學中，在物理、化學等學科中同樣重要. 教師應不斷強化學生的運算意識，讓學生從理念上充分認識到運算的重要性，為付諸行動奠定基礎.

（2）培養學生良好的運算習慣.運算講究方式方法，更講究習慣. 當面臨實際運算時，首先要分清運算步驟與得分點，只有規范運算過程，才能保證不丟分；其次對每一步的運算應做到腳踏實地，穩扎穩打，形成良好的運算習慣，保證在“實戰”中穩中求勝.

（3）掌握課堂運算教學的節奏. 在運算教學中，應給學生留足時間與空間去探索，否則學生會掌握不牢固，如筆者在下課前匆忙講授錯位相減法，學生就因為缺乏探索的時間和空間而出現了各種問題. 因此，教師應注重把握運算教學的節奏，只有做到張弛有序，才能讓學生從根本上掌握運算技巧，達到“以不變應萬變”的運算能力.

總之，教師應在明確運算對象與類型的基礎上，設計運算流程后再實施教學. 學生只有經歷過“知（掌握理論）—信（形成信念）—行（付諸行動）”等階段，才能從真正意義上提升運算素養.