基于用方程解決問題 畫圖幫助構建模型

周雪梅

數學源于對現實世界的抽象，能在熟悉的具體情境抽象數量關系，經歷探索規律的過程，形成模型意識，提升解決問題的能力。五年級學生第一次正式學習用字母表示數，感知含有字母的式子既能表示一個數量也能表示兩個量之間的數量關系，并通過對具體情境分析、抽象出數量關系，從而解決實際問題，實現從算術思維向代數思維的轉變。但是學生受算術思維定式的影響、找不到數量關系和書寫格式要求煩瑣等諸多原因，學生不喜歡用方程來解決問題，不管從學生小學與初中銜接還是從學生思維發展的需要，教師都應該引導學生體會列方程解決問題具有變逆向思考為順向思考的優勢，豐富解題策略，發展思維的靈活性。以下是筆者在教學用方程解決問題時的幾點思考：

一、利用畫圖來找題中的等量關系

畫圖是學生對現實世界在頭腦中的最直觀的反映，所以教科書充分利用主題圖、插畫等吸引學生，喚起學生已有生活經驗，慢慢過渡到文字。當教學五年級用方程解決問題時，找等量關系式是關鍵，有些數學問題數量關系復雜，學生一時不易找出隱含的等量關系，導致列不出方程。這時，學生不妨從熟悉的情境出發，簡單的數量關系入手，由淺入深，循序漸進。教師引導學生邊讀題邊回到“畫”里面去，在文字語言所提供的材料基礎上，運用感知覺和表象，將學生讀到的信息“畫”出來，從而有效地幫助學生分析數量關系。

片段一：

師：希望小學五年級有兩個班，五（1）班有30人，五（2）班人數是五（1）班人數的2倍少10人，求五（2）班有多少人？

首先，教師牢牢抓住兩個問題“是在以誰的數量為標準，五（1）班和五（2）班存在什么樣的數量關系”，引導學生把這兩個問題“畫”出來，并進一步規范畫圖時，先畫“標準量”或者“1倍數”。

分析題中“標準量”即“1倍數”是五（1）班的人數，用一小段線段表示，五（2）班人數是這樣的兩小段少10人（線段長度選取合適，用虛線表示），看圖找出題中的數量關系，五（2）班人數是五（1）人數的2倍少10人，列式：30×2-10=50（人），解決問題。

教師再次更改為題2：希望小學五年級有兩個班，五（1）班有30人，五（1）班人數是五（2）班人數的2倍少10人，求五（2）班有多少人？

學生畫圖，此時題中“標準量”或者“1倍數”變成了五（2）班，畫圖時先畫標準量五（2）班（1倍數），再畫標準量的2倍，最后在線段圖上標注出少的10人（線段長度合適，用虛線），此處需要給學生足夠時間去辨析哪一段是表示五（1）班人數30人，通過線段圖很容易找到其中隱藏的數量關系，五（1）班人數是五（2）班人數的2倍減10人。此時，學生發現“標準量”即“1倍數”不知道是多少，自然而然想到用字母x來表示，列出方程解決問題。

最后，再次對比題2和題3的異同。不同點：“標準量”不同；相同點：要求的量都是“標準量”的2倍少10人。通過畫圖，學生難以理解的數量關系一下子浮出水面，在圖中對比加深數量關系的理解，克服找不到數量關系的困難。

二、利用畫圖對比優化解題策略

當我們通過畫圖把數量關系找出來后，不少同學覺得用算術法也能解決，何必去寫格式要求煩瑣的方程呢？那就讓我們的同學試試用算術法解決題3，再談談想法。其實，算術解法與方程解法既有聯系，又有區別。兩者最明顯的區別在于：方程解法中未知數可以參加列式與運算，而算術解法中則不能。正因為如此，算術法需要用到倒推，逆向思考，思維難度比較大，學生容易與相應的順向思考問題（求比一個數的幾倍多或者少幾的數是多少）相混淆，前測錯誤率高達68%。請學生看圖說說什么樣的題適合用算術法，什么樣的題用方程更好？通過小組交流討論后發現，標準量知道的情況下，適合用算術解；標準量不知道的情況下就設標準量為x，帶著x按照數量關系列出方程解出來就行，有明顯的優越性。

回顧反思環節，也可以讓學生看著自己畫的圖來描述已知信息和問題，檢驗一下自己對題目的理解是否有偏差，從而培養學生認真嚴謹的科學態度。

三、利用畫圖感悟數學之間的聯系

隨著我們對知識的不斷積累，生活經驗的增加，學生思維水平也開始從具體慢慢轉向抽象，現實生活中一些稍微復雜的數量關系也可以通過畫圖和舊知溝通聯系，讓學生感悟數學之間的密切聯系。下面以六年級利用分數解決問題為例。

片段二：

師出示題1：希望小學五年級有兩個班，五（1）班有22人，五（2）班人數比五（1）多。五（2）班有多少人？

學生開始畫圖，標準量是五（1）班人數（已知），標準量看作單位“1”，平均分成2份，五（2）班比五（1）多五（1）的，即有3份，相當于知2份求3份。

接著，教師更改題2：希望小學五年級有兩個班，五（1）班有33人，五（1）班人數比五（2）多。五（2）班有多少人？

學生畫圖，標準量是五（2）班人數（未知），標準量看作單位“1”，平均分成2份，五（1）班比五（2）多五（2）的，即有3份，相當于知3份求2份。

甚至到后面用比、百分數解決問題時，只要學生學會畫圖，很容易發現兩個量之間的數量關系，無論哪種表達方式，只要找準“標準量”和數量關系，知標準量用算術法，不知標準量，優先用方程快速列出式子或方程。通過畫圖，新舊知識之間構架一座橋梁，正所謂一通百通，學生對倍、比、分數、百分數、正（反）比例等數量關系有了更深刻的認識，體會數量關系之間的緊密聯系，對于用方程解決問題，學生通過畫圖，思維由“混沌”走向“清晰”，體驗到了“模型”思想的無限魅力。

在教學中，筆者經常把題目的類型、結構進行對比，讓學生從一個題上升到一類題再到不同類型的題，通過畫圖，厘清數量關系，發現一種模型多種解法，再進行優化后，留下適合自己的解法。學生今后不一定記得很多知識點，唯有刻在他們頭腦中的解題方法和策略、數學思想和嚴謹的科學態度能在他們身上留下深深的印記，最終達到立德樹人的教育目的。