類比艽俳小學生數學概念的理解

楊燦 邱成建

數學概念學習是個抽象的過程。學好數學知識，必須對數學概念做到透徹理解。對此，教師應基于類比思想，充分利用數學知識之間存在的緊密聯系，引導學生進行比較、分析和歸納，在改造或納入原有認知結構的基礎上形成新的認識，促進學生理解所學概念，幫助學生鞏固所學知識。下面以“認識面積單位”為例，談談類比促進小學生概念的理解。

一、在類比中感知統一

有些數學概念之間具有共同點或相似點，即在本質上具有較高的一致性。作為教師，教學中要善于發掘和利用這些共同點或相似點，引導學生把新舊概念放在一起進行比較，讓學生在新舊概念的類比中實現正向遷移，促進新概念的快速感知。

“面積單位”是人教版數學三年級下冊第五單元的教學內容，是在認識長度單位和面積的基礎上學習的。與長度單位相比較，是從定性描述走向定量描述的必要，也是從一維測量到二維測量的突破。為此，重點思考如何用類比的方法讓學生經歷定性、定量、統一的學習過程。教師呈現一本數學課本的封面，提出這本數學課本封面的面積有多大？當學生感受到無論用哪一個字或詞都不能精準地描述時，引導學生從關聯的角度，聯想到已經學習過的長度單位，類比想到為了精確度量圖形或物體表面的大小，確實需要一個新的單位，數學課本的封面的面積有多大呢，組織學生用不同形狀的圖片作為新的單位進行測量，在觀察、比較、調整的過程中，思維自然從定性描述轉換為定量描述。有了定量的描述方法，為什么還要統一呢？統一長度單位的思維過程再一次類比到統一面積單位的學習中，在操作、交流中感知統一的必要性。

二、在類比中抽象概括

抽象概括是學生學習數學知識、理解數學本質的基本方式。教學中教師要深入挖掘數學知識之間的聯系，利用類比溝通知識之間的聯系，引導學生發現知識的共同特征，從而抽象概括，理解概念的本質。

認識1平方厘米時，教師出示1厘米長的一條線段，通過垂直平移得到一個正方形，然后設計問題鏈引導學生思考：

問題1：邊長是1厘米的正方形，面積可以用什么單位度量？

問題2：邊長是1厘米的正方形，面積與什么有關聯？推理說明。

問題3：邊長是1厘米的正方形，面積有多大？

以問題點燃學生的思考，首先用類比的方法得出長度可以用長度單位來度量，面積就用面積單位來度量。其次引導學生在操作與語言表征的轉換中，推理出這個正方形的面積與邊長1厘米有關聯。最后讓學生看課本自主習得邊長是1厘米的正方形面積就是1平方厘米。學生在順應中建立1平方厘米的表象，再通過比1平方厘米、畫1平方厘米、找身邊的1平方厘米、用1平方厘米的學具測量橡皮擦各面的面積等活動，幫助學生形成1平方厘米的量感。接著，利用1平方厘米的正方形測量課桌面的面積，發現不方便很麻煩，引發認知沖突，感受平方分米產生的必要，然后用學習平方厘米的方法類比學習平方分米，在同化中建立1平方分米的表象，形成1平方分米的量感。最后，引導學生用1平方分米的正方形學具測量教室黑板的面積，在經驗的類比中，產生比1平方分米更大一點面積單位的需要，并用學習平方厘米、平方分米的經驗，類比學習平方米，在同化中建立1平方米的表象，形成1平方米的量感。整個學習過程在順應、同化中認識三個面積單位，在操作表征、圖形表征、語言表征、符號表征的轉換中建立形與數的聯系。對比這三個面積單位的學習方法，通過回顧發現面積與長度有關聯，用學習長度單位的方法學習面積單位，構建知識間的聯系，加深學生類比的學習經驗。再對比這三個面積單位的學習結果，比較它們的相同點和不同點，并引導學生用“邊長是1（ ?）的正方形，面積是1（ ?）”進行抽象概括，有效促進對面積單位本質的深度理解。

三、在類比中鞏固完善

新的概念建立后，需要通過必要的練習從不同的層次進行評價，并引導學生進一步利用類比推理溝通知識之間的聯系，完善知識結構，使學生實現結構化認識，促進概念的鞏固。

面積單位的理解，通過三個不同的練習，鞏固平方厘米、平方分米、平方米，同時發展學生的量感、空間觀念及推理能力。

練習1：制作與思考。

（1）怎樣制作一個面積是1平方厘米、1平方分米、1平方米的正方形？

（2）邊長是5厘米的正方形，怎樣推出這個正方形的面積是幾平方厘米？

（3）怎樣比較這三個正方形的大?。?/p>

練習2：選擇與思考。

一張課桌，桌面的長邊約是7（ ?），面積約是28（ ?）。

設計練習評價學生素養的培育過程。練習1的設計，構建了正方形面積與邊長的關聯，用逆向思維推出，要制作面積是1平方厘米、1平方分米、1平方米的正方形，就要測量出邊長是1厘米、1分米、1米的正方形，在制作的過程中，增強學生的量感，幫助學生建立了幾何直觀，體現以數解形的思想方法。接下來，讓學生在操作中，應用“因為……，又因為……，所以……”的結構表達，培養學生推理的能力。即：因為邊長是1厘米的正方形，面積是1平方厘米，又因為正方形的邊長是5厘米，就要擺出25個邊長是1厘米的正方形，所以這個正方形的面積是25平方厘米。最后完成第3小題，怎樣比較這三個正方形的大??？通過交流，選擇用疊加的方法比較這三個正方形的大小，整體上直觀感知相鄰面積單位間相差的面積，促進學生空間觀念的培養，為后續學習相鄰面積單位間的進率積累了活動經驗。練習2的設計，避免長度和長度單位的負遷移，加強長度單位與面積單位的比較，通過比較，體會兩種計量單位在測量時的共性，深化理解面積單位，同時注重學生邏輯思考的培養。即：選擇長度單位還是面積單位？為什么？如果選擇長度單位，應該選擇哪一個長度單位？為什么？如果選擇面積單位，應該選擇哪一個面積單位？為什么？通過判斷與選擇，建立了清晰的長度單位和面積單位的概念。

總之，類比不僅使數學學習變得自然和簡潔，更能激發學生的創造力。在小學數學教學中，有效地引領學生運用類比去發現、去創造，會使學生的數學學習充滿創新與活力，實現知識的遷移，溝通知識之間的聯系，從而促進概念的理解。同時，長度單位和面積單位的學習積累了豐富的類比學習經驗，為后續體積單位的學習奠定了堅實的基礎。

【注：本文系“2021年度云南省教育科學規劃基礎教育專項項目《基于新課程標準的小學數學教學改進實踐研究》（項目批準號BFJC21023）”“2022年度普洱市教育科學規劃重點課題《多元表征下小學數學概念理解過程的實證研究》（課題立項編號22Z007）”的階段性研究成果。】