數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的應用

黃昌獻

［摘 要］數(shù)學教師將數(shù)形結(jié)合思想融入教學之中，可以將抽象的數(shù)學概念轉(zhuǎn)換為直觀的圖形，增強學生對數(shù)學知識的認知，降低數(shù)學學習難度，激發(fā)學生的學習興趣，提升課堂教學效率。文章對數(shù)形結(jié)合思想在實數(shù)運算、整式運算、全等三角形、一次函數(shù)、二元一次方程中的應用進行分析探討。

［關鍵詞］數(shù)形結(jié)合思想；初中數(shù)學；應用

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）05-0017-03

數(shù)學學科具有很強的抽象性，致使學生對一些數(shù)學知識認識不到位，對基本的數(shù)學概念理解不深入，從而對數(shù)學學習缺乏興趣，甚至產(chǎn)生厭學的情緒，導致數(shù)學學習成績不理想，這十分不利于學生的長遠發(fā)展。數(shù)學教師將數(shù)形結(jié)合思想融入初中數(shù)學教學中，可以讓抽象的數(shù)學概念轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，從而增強學生對數(shù)學知識的認知，降低數(shù)學學習難度，激發(fā)學生的學習興趣，提升課堂教學效率。

數(shù)形結(jié)合思想將幾何與代數(shù)進行結(jié)合，將抽象思維與形象思維相結(jié)合，以此來增強學生對數(shù)學知識的認知。將數(shù)形結(jié)合思想融入初中數(shù)學教學中，可以引導學生從不同角度去看待數(shù)學問題，尋找數(shù)學問題的多種解決方法，從中選擇最佳解決辦法，從而更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提高學生的解題能力。

然而在初中數(shù)學教學中，教師對數(shù)形結(jié)合思想的認識不到位，在基本概念知識的講解過程中未能很好地將數(shù)形結(jié)合思想融入，致使概念教學的啟發(fā)性不強，學生很難將基礎知識運用到實際解題中，為學生后續(xù)的學習帶來了困難。除此之外，教師未能將數(shù)形結(jié)合思想與實際教學相結(jié)合，對學生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)不到位，學生未能深入理解數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵及其應用價值。

在初中數(shù)學教學中，教材中的典型例題主要是引導學生將基礎知識運用到實際解題當中，例題的形式是豐富且多樣的，但其考查的根本知識點及其方法是沒有變化的。但是，有的教師在教學中對于例題的講解并不深入，未能將數(shù)形結(jié)合思想運用到例題講解中，最大限度地發(fā)揮例題的價值，幫助學生形成良好的解題思路。那么如何在初中數(shù)學教學中有效應用數(shù)形結(jié)合思想呢？

一、數(shù)形結(jié)合思想的應用案例分析

在初中數(shù)學教學中，數(shù)形結(jié)合思想的應用十分廣泛，本文主要介紹數(shù)形結(jié)合思想在實數(shù)運算、整式運算、全等三角形、一次函數(shù)、二元一次方程中的應用。

（一）數(shù)形結(jié)合思想在實數(shù)運算中的應用

［例1］如圖1所示，在數(shù)軸上有A、B、C、D、E五個點，其中哪個點的位置最接近[34-4]？

通過圖形觀察比較直觀，但是需要以“數(shù)”解“形”。對于多個圖形，教師應引導學生從多個維度進行分析，進而找到其中隱含的等量關系。對于例2，利用數(shù)形結(jié)合思想的解題過程如下：

對于第一個圖形，其空白部分面積可以表示為大正方形的面積減去小正方形的面積，大正方形的面積為[x2]，小正方形的面積為[y2]，所以第一個圖形空白部分的面積為[x2-y2] 。第二梯形的面積可利用梯形面積公式進行求解，由于梯形的上底是[2y]，下底是[2x]，高為（[x-y]），因此梯形的面積為[S=（2y+2x）×（x-y）÷2=（x+y）（x-y）]。由于兩個圖形的空白部分面積相等，因此可以得到[x2-y2=（x+y）（x-y）]。上述關系式的推導過程為平方差公式的推導過程。

（三）數(shù)形結(jié)合思想在全等三角形中的應用

［例3］如圖3所示，在三角形ABC中，[AB=AC]，點[E]、[F]在邊[BC]上，連接[AE]、[AF]，[∠BAF=∠CAE]，延長[AF]到點[D]，使[AD=AC]，連接[CD]。若[∠ACF=30°]，[∠AEB=130°]，求[∠ADC]的度數(shù)。

在解答本題的過程中，需將數(shù)形結(jié)合思想與全等三角形進行有機結(jié)合，進而求得[∠ADC]的度數(shù)。具體解題過程如下：

∵[∠BAF=∠CAE]，

∴[∠CAF=∠BAE]，

∵[AB=AC] ，

∴[∠ACF=∠ABE]，

∴[△ABE ]≌[△ACF]，

∴[∠AFC=∠AEB=130°]，

∵[∠ACF=30°]，

∴[∠CAF=180°-130°-30°=20°]，

又∵[AC=AD]，

∴[∠ADC=∠ACD=80°]，

故[∠ADC]的度數(shù)為80°。

（四）數(shù)形結(jié)合思想在一次函數(shù)中的應用

（五）數(shù)形結(jié)合思想在一元二次方程中的應用

［例5］如圖5所示，在某小區(qū)內(nèi)部有一塊長方形空地，其長為18 m，寬為6 m。規(guī)劃在其內(nèi)部修建兩塊相同的長方形綠地，且它們的面積之和為[60 m2]，在兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道，問人行通道的寬度是多少？

根據(jù)題干可知，本題考查的是一元二次方程，通過列方程的形式來解決此幾何問題，具體解題過程如下：

假設人行通道的寬度為[x]米，將長方形內(nèi)部的兩塊綠地進行平移得到一個新的長方形，則該長方形的長為（[18-3x]）米，寬為（[6-2x]）米，則可列方程[（18-3x）（6-2x）=60]，化簡得[x2-9x+8=0]，解得[x1=8]，[x2=1]。當[x1=8]時，人行通道的寬度大于長方形空地的寬度，不符合題意，舍去，最終可得到人行通道的寬度為1米。

二、數(shù)形結(jié)合思想的應用反思

（一）以形助數(shù)

初中數(shù)學教材融合了幾何與代數(shù)基本知識，教材中的一些概念、定義會涉及大量的數(shù)學語言，學生理解起來有很大難度，致使學生未能透徹理解，進而導致學生在后期學習應用中錯誤頻出，從而打擊學生學習的積極性。因此，教師在初中數(shù)學教學中應加強數(shù)形結(jié)合思想的應用，將抽象的數(shù)學概念轉(zhuǎn)化為直觀的數(shù)學圖象，以加強學生對數(shù)學概念知識的認識與理解。

例如，在講解“函數(shù)”概念時，教材上有關函數(shù)的定義為：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量[x]與[y]，并且對于[x]的每一個確定的值，[y]都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說[x]是自變量，[y]是[x]的函數(shù)。此定義學生理解起來會很吃力，教師可以將其中的函數(shù)關系用圖象來表示，以便學生深入地了解其中的對應關系。

在初中數(shù)學教學中，教師應注重培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想，教師應引導學生自主探索利用數(shù)學結(jié)合思想解決數(shù)學問題的方法，將題干中的代數(shù)信息轉(zhuǎn)化為圖形，結(jié)合圖形特點進行求解。通過不斷地訓練，提升學生解決數(shù)學問題的能力。例如，在講解二次函數(shù)時，教師可利用多媒體將二次函數(shù)的圖象呈現(xiàn)出來。對于二次函數(shù)增減性的變化、圖象變換等知識點，教師可通過幾何畫板制成動態(tài)圖象，以加深學生對相關知識的理解。總之，在初中數(shù)學教學中，教師應以形助數(shù)，增強學生對抽象知識的理解。

（二）以數(shù)解形

在題目涉及較多幾何圖形時，學生在解題過程中往往束手無策。對此，教師應引導學生利用代數(shù)思維來理解圖形內(nèi)容，以解決問題。例如，在求解幾何動點問題中某圖形的最大面積時，由于其動點變化情況多樣，教師在講解時可以結(jié)合代數(shù)思維將其進行分類，分別求解各種情況下圖形的面積并加以比較。將以數(shù)解形的思想運用到幾何動點問題中，可以幫助學生更好地理解題目，找到合適的解題方法，求出正確的答案。在幾何探究中，教師可以引導學生將圖形放置到平面直角坐標系中，將相關問題的求解轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，使得求解過程更加簡便，以此增強學生對相關知識的認知。在初中數(shù)學教學中，教師應培養(yǎng)學生以數(shù)解形的思維，引導學生將復雜圖形簡單化，降低學生的解題難度，更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提高學生的數(shù)學學習水平。

（三）數(shù)形結(jié)合

在初中數(shù)學教學中，教師應將數(shù)形結(jié)合思想貫穿整個數(shù)學教學中，加大對學生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)。在課前預習環(huán)節(jié)中，教師可引導學生利用數(shù)形結(jié)合思想去預習相關知識，記錄預習中遇到的問題，以便上課時帶著問題聽講，加深學生對數(shù)學知識的理解。在課上，教師在講解數(shù)學概念、經(jīng)典例題時，可將代數(shù)思維與幾何思維進行有機結(jié)合。對于同一道題，教師可向?qū)W生講解多種解題方法，如只采用幾何方法、只采用代數(shù)方法、代數(shù)方法與幾何方法相結(jié)合等。通過多種解題方法的對比學習，可以強化學生對數(shù)形結(jié)合思想的掌握。學生在掌握數(shù)形結(jié)合思想之后，還需不斷地加強訓練，真正地將其理論知識應用于實踐當中。在課下，教師可以給學生布置適當?shù)臄?shù)學練習題，要求學生采用數(shù)形結(jié)合思想來解答。在反復練習中，加強學生對數(shù)形結(jié)合思想的運用，進而更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。

綜上所述，在初中數(shù)學教學中教師應引導學生充分利用數(shù)形結(jié)合思想來解題，提高學生的學習效率，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。教師還應充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想中以形助數(shù)、以數(shù)解形的作用，將數(shù)形結(jié)合思想應用到教學全過程，以提高學生的數(shù)學學習水平。

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（責任編輯 黃桂堅）