創設情境探究 深化思維教學

顧言

摘 要：向量是近代數學中重要和基本的概念之一，具有物理背景和幾何背景.本文以人教A版必修二平面向量的概念教學為例，基于數學核心素養，通過創設情境，引導學生進行自主探究、知識遷移，以達到更高的思維教學目標.

關鍵詞：平面向量；概念教學；自主探究；數學思維

1 問題提出

對于“平面向量的概念”這一課時，教師往往會以梳理教材中的概念為主線，著重對相關題目的反復練習，而對概念的講解一帶而過.這樣的教學設計忽視了學生對概念的理解，忽視了學生實踐能力的培養，忽視了學生數學思維的提升.因此，筆者在本節評優課的設計中，著重

創設探究情境，

積累學生的基本活動經驗，從生活實例中抽象出平面向量，通過學生的動手操作逐步引出平面向量的相關概念并引發進一步思考，旨在培養學生動手操作的能力以及思考問題的能力，整體提升學生的數學核心素養.

2 教學實錄（片段）

師：有沒有哪位同學了解中國象棋，知道中國象棋的規則是什么？

生：象棋口訣：馬走日字象飛田，車走直路炮翻山.士走斜路護將邊，小卒一去不復返.

師：今天老師帶來了一副棋局，下一步這些棋子可以怎么走呢？請一位同學上來演示一下.

師：這個口訣實際上描述了棋子每走一步的位移.大家能說說其他類似位移的量嗎？

生：力，速度……

師：（位移、速度、力……）這些量有什么共同的特點？

生：既有大小又有方向.

師：像距離、質量、面積這樣只有大小的量在物理中叫作標量，數學中叫作數量.像位移、速度、力這樣既有大小又有方向的量是什么量呢？

生：矢量.

師：在物理中這樣的量稱為矢量，在數學中它被稱為向量.

師：既有大小又有方向的量叫做向量.這就是向量的概念，今天我們來一起學習平面向量的概念.

設計意圖：這里以學生比較熟悉的棋盤為背景，抽象出棋子的位移，讓學生通過理解位移包含方向和大小兩個元素，舉例出類似的量——力和速度.教師通過歸納位移、力和速度這些量的共性引入向量的概念，即既有大小又有方向的量.

師：我們知道數量可以用實數來表示，實數可以與實數軸上的點一一對應，實際上是用幾何圖形也就是數軸上的一個點表示了這個實數.那么我們能不能也找到一種幾何圖形來表示向量？同學們可以試著表示棋盤上棋子的位移嗎？

師：為什么選擇用這樣一個帶箭頭的線段表示位移呢？

生：物理中是這樣表示的.

師：你知道物理中為什么要這樣表示嗎？

生：線段長度表示大小，箭頭表示方向.

師：是的，像這樣具有方向的線段叫做有向線段，它和線段一樣可以表示長度，再加上箭頭來表示方向.

師：在線段AB的兩個端點中，規定一個順序，假設A為起點，B為終點，那么線段AB具有方向，通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.這樣具有方向的線段叫做有向線段.

師：以A為起點、B為終點的有向線段記作AB，起點在左終點在右，字母上加上指向右側的箭頭.知道了有向線段的起點、方向、長度，它的終點就唯一確定了.

師：向量可以用有向線段AB來表示，我們把這個向量記作向量AB.向量也可以類似線段用小寫字母a，b，c……表示，為了以示區分，這些小寫字母要加粗，書寫時需要在小寫字母上加上向右的箭頭.

師：用有向線段表示向量，可以讓向量更加形象更加直觀.

師：向量AB表示向量的方向是由A指向B，向量的大小如何用符號表示呢？

師：線段AB的長度是如何用符號表示的？

生：用|AB|表示.

師：類似地，我們在向量AB兩側加上相同的符號表示向量AB的大小，也就是向量AB的長度（或特殊的向量）.

師：在實數軸上，哪幾個實數比較特殊？

生：0，它是數軸正負的分界點.1，它到0的距離定義了數軸的單位長度.

師：我們將這種特殊性遷移到平面向量中，在向量中也有兩個特殊的向量：模長為0的向量叫做零向量，記作0（書寫時在必須0上加上向右的箭頭）.模長為1的向量叫做單位向量.

設計意圖：引導學生利用遷移的思想方法，根據數量和數軸上的點的對應關系，尋找一種集方向和大小于一身的幾何圖形表示向量，即有向線段.有向線段的長度和方向可以分別表示向量的長度和方向.在用數學符號描述向量時，類比線段的描述方法，對線段AB加上箭頭得到向量AB，用線段的長度符號|AB|也可以描述向量AB的模長|AB|.最后，引導學生將0和1在數軸上的這種特殊性遷移到向量中，定義零向量和單位向量，同時強調零向量的寫法以免與數量0混淆.

師：剛才同學們在棋盤上畫出的實際就是一個個向量，根據這些向量請同學們回答以下問題：

設計意圖：這里根據學生在棋盤上作出的向量，定義共線向量和相等向量、相反向量，重點在于概念辨析，理解共線向量關注的是兩個向量的方向，相等向量、相反向量則同時關注兩個向量的方向和大小.其中，特別強調零向量對判斷向量共線的干擾性以及向量平行和直線平行的聯系和區別.

師：剛才這位同學提到，單位向量的模長都為1，但方向不確定，那么如果將所有單位向量的起點移到同一點O，這些向量的終點軌跡是什么呢？

思考（1）：將所有單位向量起點移到同一點O，則它們終點的集合（軌跡）是什么圖形？

生：以O為圓心，1為半徑的圓.

思考（2）：當OM與ON是相等向量時，判斷終點M與N的位置關系.

生：兩點重合.

師：是的，當兩個向量起點相同，模長相同，方向相同時，它們的終點就被唯一確定了.

思考（3）：當OM與ON是平行向量，且|OM|=2|ON|時，判斷向量MN的方向與ON的方向之間的關系.

生：（學生板演）分兩種情況考慮，當OM與ON方向相同時，MN與ON方向相反；當OM與ON方向相反時，MN與ON方向相同.

設計意圖：思考1和思考2結合單位向量、相等向量、相反向量的定義，培養學生對于抽象的研究對象的邏輯推理能力；思考3由平行向量的方向相同或相反兩種情況，培養學生分類討論的能力.這一思考題需要整合新學的概念和定義解決問題，培養學生應對新定義的臨場思考能力.

師：請同學們回憶一下本節課學習了哪些內容？向量是既有大小又有方向的量，相比數量，向量增加了方向這一重要的元素.今天這節課我們將數量和數軸上的點的對應關系遷移到向量中，用有向線段來表示向量.有向線段可以具象刻畫向量的方向和大小，通過幾何方法直觀展現向量這一抽象的概念.在解決問題時，同學們利用幾何直觀想象、分析、構思，建立數學模型，對復雜的問題我們還進行了分類討論.

師：結合本節課的內容，下面我們來做一個接龍游戲，參與有獎.

問題1：以方格紙的格點為向量的起點和終點，你能畫出與給出的這個向量相等/相反/共線……的（單位）向量嗎？你來畫一畫.畫好以后請你再叫一位同學上來完成你的要求.

問題2：令小正方形的邊長為1，以上這些向量的長度分別是多少？

問題3：以1×3的方格的格點為起點和終點的所有非零向量中，有多少種大小不同的模？有多少種不同的方向？

生：6種模，16種方向.

問題4：以方格紙的格點為向量的起點和終點，是否能畫出任意模長的向量？

生：必須滿足勾股定理，即模長的平方等于兩個正整數的平方之和.

設計意圖：這一部分作為開放性問題，由學生自由發揮提出和本節課內容有關的作圖要求，并由同伴來完成作圖，實際是對新授課內容的靈活運用，讓學生積累基本活動經驗，從活動中引導學生總結計數的思路和方法.最后，讓學生思考是否可以提出任意模長的作圖要求，從特殊到一般，培養學生學會思考并主動思考的能力.

師：向量是一門新的數學語言，是描述幾何圖形的基本工具，是數與形的橋梁.我們的身邊有很多向量，我們的身邊也處處都有數學.今天我們用數學的思想從大家非常熟悉的棋盤中抽象出平面向量的概念，接下來我們還要用向量這個工具去解決實際問題.學習語言最好的方法是用語言去表達，學習數學最好的方法就是用數學的眼光看世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界.

3 教學反思

本節課從學生熟悉的生活情境入手，從棋盤中抽象出平面向量的概念，通過知識的類比、遷移引入平面向量的概念、表示及性質，基于學生的基本活動經驗，以直觀想象的核心素養貫穿始終，旨在培養學生學會觀察、學會思考、學會反思的能力.

3.1 學會觀察

課堂開始時筆者請學生1描述中國象棋的規則，并在課件中展示這一規則的口訣，再請學生2到黑板上演示各種棋子的走法.盡管學生2不會下象棋，但通過同學的描述以及閱讀老師給出的口訣，理解并作出了正確的演示.在生活中有很多需要學習的新知識，復雜情境也是高考的大勢所趨，能夠對新的材料觀察、閱讀、理解并實踐是學生未來發展的基本技能.

在引入零向量及單位向量的定義時，筆者提問數軸上有哪些特殊的實數，試圖將這種特殊性遷移到向量中.在回答這個問題時，學生3能夠感受到0和1這兩個數字是特殊的，但在回答其特殊之處時描述的是0和1作為實數的特殊性，沒有準確理解問題的本質是0和1在數軸上的作用.能夠理解題意并作出對應的解答，是解決問題的基本要求.

在回答思考2當OM與ON是相等向量時判斷終點M與N的位置關系時，學生4回答兩點都在以O為圓心、1位半徑的圓上，這一回答暴露了學生沒有準確理解相等向量的定義，即向量大小相等同時方向相同，實際上兩點應是重合的.對于給出的新定義，將題目條件和定義中的條件一一對應，才能準確地使用這個定義.

3.2 學會思考

在學習相等向量與共線向量的這一部分，筆者提問學生PQ，OZ，MN在大小和方向上的關系、JK，XY在大小和方向上的關系，并提問學生是否還有其他向量具有類似的關系.這里學生首先需要理解老師提出的兩組向量存在的關系，再在所有的向量中篩選找出對應關系的其他向量.這需要學生具備歸納共性的能力和轉化應用的能力.

對向量進行概念辨析時，需要學生思考概念和定義中的充分性和必要性，從多個角度思考問題，發現命題的漏洞.例如零向量對向量共線的干擾性，以及向量平行和直線平行的聯系和區別.

在最后一個學生活動后的問題3中，學生需要對不同的模和方向進行計數.在回答模有多少種這個問題時，學生回答“1，2，5，10，2，3共6種”，筆者追問學生這樣數是否有什么規律，學生回答是先固定向量的起點，再調整向量的終點以得到不同的模長，這是一種不錯的思考角度，筆者引導學生也可以把向量分為沿著格邊和對角線兩類再進行計數.在回答第二個問題時，該生一時無法數清有多少種方向，這時候說明學生的分類方法并不適用方向的討論，進而筆者建議用老師的分類方法試一試，學生很快就算出了結果.在這個問題中，學生需要思考如何不重復、不遺漏地計數，根據不同的情境選擇合適的分類依據，先思考再行動才能高效準確地解決問題.同時，此處提到的先分類再計數是計數原理中一種重要的思想方法，在此為計數原理一節作鋪墊，體現了數學中大單元整體設計的思想.

3.3 學會反思

在本節課的最后，筆者設計了一個開放性活動，筆者作出一個向量后，要求學生畫出和這個向量共線的一個向量，再由學生提出新的作圖要求后由另一位學生來完成作圖.學生們分別提出了這樣幾種要求：與之模長相等的向量、與之方向相反的向量、模長為13的向量、這張方格紙內可以作出的模長最長的向量……活動結束后筆者提問學生，當以格點作為向量的起點和終點時，是否可以要求下一位同學作出任意模長的向量？這是對活動內容的反思，也是對問題本質的拷問.學生回答13是由22+32得到的，但沒有在課堂上總結出一般化的結論，這樣站在出題者角度進行思考的高階思維能力需要得到不斷培養和提升.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 喻平.數學學科核心素養要素析取的實證研究［J］.數學教育學報，2016，25（6）：16.

［3］ 劉祖希.圖說數學核心素養［J］.中小學課堂教學研究，2020（10）：5962.

［4］ 劉祖希.圖說數學單元教學［J］.中學數學雜志，2022（7）：1317.

［5］ 章建躍.核心素養立意的高中數學課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2021.

［6］ 羅玲連.情境認知理論對中學數學教學的啟示［J］.數學之友：2023，37（14）：25.

［7］ 劉子僑.中學數學教學問題情境創設實驗研究［D］.遼寧師范大學，2022.

［8］ 張瑞杰.生活情境在中學數學教學中的應用［J］.數學大世界（上旬），2020（6）：85.