回歸教材 探尋方法

孫培培 朱會芳

摘 要：高考評價體系將“引導教學”納入核心功能，有利于理順教考關系，增強“以考促教的主動意識”.這里的“考”指高考，“教”就是課堂教學.高考試題所涉及的思想方法大都在教材中有所體現，甚至重復出現，這就為我們的教學提供了思路——以考促教.

關鍵詞：以考促教；課堂教學；高考試題

新高考背景下，大家開始重新審視人教版教材，回歸教材成了大家的口頭禪，書上的內容很多，如何回歸是大家的疑惑，本文就2021年新高考Ⅰ卷的第19題展開探討.

1 例題解析

例1 （2021年新高考Ⅰ卷第19題）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b²=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1） 證明：BD=b；

（2） 若AD=2DC，求cos∠ABC.

高考考查學生高質量地整合數學相關知識，并運用數學知識解決問題的能力，考查學生在面對情境時獨立思考和探索創新的內在的認知品質，即思維品質、方式和能力的綜合［1］.

課程標準［2］：① 會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題，體會向量在解決數學和實際問題中的作用.

② 借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理.

③ 利用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.

2 聯系教材

必修第二冊6.4平面向量的應用中利用向量的方法探究了平行四邊形的兩條對角線與兩條鄰邊的關系（三角形的中線也類似），蘊含了向量算兩次的思想，體現了向量的應用性：

例2 （必修第二冊39頁）如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發現對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關系嗎？

分析：平行四邊形的對角線可以用兩邊（即基底）來表示；遷移到三角形中，即三角形的中線問題（三等分點等）可以選擇基底表示.

其實這個結論和方法都可以進行推廣：如三角形的中位線，三角形的三等分點等，考查學生分析問題、發現問題的能力，以及學生運用數學知識解決問題的能力.

涉及兩個向量的和或差的模的問題，大多只需對向量的和或差的模平方，便能夠快速解決.在解決問題的過程中，我們應有意識地引導學生使用書中給出的向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”：（1） 建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；（2） 通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；（3） 把運算結果“翻譯”成幾何關系.

教材：人教版教材把正、余弦定理放在了向量的應用中，我們在教學中要充分挖掘向量的應用價值.向量本身是一種工具，工具就是為我們服務的，我們要充分利用這一工具解決平面幾何、立體幾何問題.

解法1 余弦定理算兩次.

解：（1） 以∠BCD為背景構造余弦定理聯立方程即可得解.

（2） 本題也可以選擇以∠BAD或者∠ADB和∠BDC這一補角來解決.

教材：教科書利用向量的數量積進行探究，快速地獲得了余弦定理，充分體現了向量的優勢.事實上，當我們把三角形的兩邊用向量表示后，問題轉化為了關于兩個向量及其夾角的問題，于是，自然而然地想到利用向量的數量積進行探究.

解法2 坐標法：利用坐標解決問題的關鍵是建立平面直角坐標系，怎樣表示點坐標是學生解題的難點.

坐標法學生運用非常少，這與我們的教學不重視坐標法在三角形中的運用也有很大的關系.

（必修第二冊43頁）在余弦定理的證明中，教科書中留有一個思考：你能用其他方法證明余弦定理嗎？這是一個很好的滲透坐標法的時機.

無獨有偶，在選擇性必修第一冊中也有一些滲透坐標法的機會，如例3所示.

例3 用坐標法證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍.

分析：首先要建立恰當的平面直角坐標系，用坐標表示有關的量，然后進行代數運算，最后把代數運算的結果“翻譯”成幾何關系.

證明：如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，以頂點A為原點，邊AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.

在ABCD中，點A的坐標是（0，0），設點B的坐標為（a，0），點D的坐標為（b，c），由平行四邊形的性質，得點C的坐標為（a+b，c）.

由兩點間的距離公式，得

即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍.

坐標法的運用不僅僅局限于解析幾何與立體幾何中，在平面幾何中也有非常廣泛的運用.用坐標法解決平面幾何問題的步驟如下：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系，根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化為代數問題，根據對幾何問題的分析，探索解決問題的思路，運用代數方法得到結論，解決幾何問題.

分析：以解三角形為背景考查三角恒等變換、誘導公式.這題讓考生叫苦不迭，究其原因為不知如何處理sinB=-cosC這一條件.該題體現了新高考的課程理念：在新問題情境中分析問題、發現問題、解決問題.綜合運用數學學科的知識和素養解決問題.

解：因為sinB=-cosC，所以C為鈍角，建立如圖所示的平面直角坐標系.

因為知道角B和角C的弦值之間的關系，可以選擇用邊b，c以及角B，C來表示點A坐標，進而達到消元的作用.

鏈接高考：（2017年新課標Ⅰ卷第9題）y=Asin（ωx+φ）的圖象變換涉及到誘導公式的考查，以三角函數的圖象變換為背景考查誘導公式在高考試題中比比皆是.

教學啟示：

高考評價將“引導教學”納入核心功能，有利于理順教考關系，增強“以考促教”的主動意識，實現“以考促教、以考促學”的目的.

3 啟示

3.1 加強高考試題的研究

高考試題是專家們依據課程標準、教材命制的，具有很高的研究價值.它們體現了新課改的理念、高考評價體系的要求，根據教材精準打擊.隨著新高考改革的不斷深入，為了越來越好地理順教考關系，研究高考試題是每個教師的必修課.我們不應只關注解題的技巧，一題多解等，還應該注重知識體系和思想方法的考查，通過研究高考試題，我們發現有些知識點重復的考查，每一種解題方法在教材中都有對應的體現，如向量法在教材中以例題的形式呈現，余弦定理求中線長在教材中以課后習題的形式體現，坐標法有例題、習題和思考等.高考試題對每一方法的考查都是有其教材背景的.

老師都習慣于依賴當年的最新模擬試題，而不注重對高考試題的研究，模擬試題有些題目是知識點的重現，沒有新意；有些題目很難，背離了高考考查的意圖.而高考試題雖然知識重復考查，但都出其不意，體現創新性的要求，我們要從創新性的角度出發理解知識的內涵和外延，進而指導我們的教學.

3.2 重視教材的回歸

以一道高考試題說起：（2022年全國乙卷文科）若f（x）=ln|a+1/1-x|+b是奇函數，則a=_______，b=_______.在函數奇偶性教學的過程中，談及是否可以利用定義域求參數的值時，我就談到了本道高考試題，無論是根據定義還是選取特殊值都非常煩瑣，而本道高考試題就是從定義域的角度出發解決問題的.回顧教材奇偶函數的定義，我們會發現新教材的改變之處：顯現了定義域關于原點對稱（即x∈D，都有-x∈D），而舊教材是隱含在定義中的.研究高考，回歸教材不是一句空話，讓我們對教材的理解更加的通透，我們在教學的過程中才能更加游刃有余，這就是“以考促教”.

3.3 重視知識、方法的交叉

本例中的向量、余弦定理、坐標法，都具有一定的聯系，我們用向量的方法證明了余弦定理，用坐標法研究了向量，其實也用坐標法證明了余弦定理，這三種方法是相通的.而學生的選擇往往是狹隘的，如用坐標法證明余弦定理便較為少見.因為坐標法沒有得到老師應有的重視.如解決復雜的向量問題時，往往可以選擇坐標法，我們老師同樣說：也可以用坐標法解決.久而久之，坐標法成為了學生耳邊的過客，導致學生不知道用坐標法還可以解決平面幾何問題，只知道解決立體幾何與解析幾何.究其原因是教師沒有理順教考關系，沒有銜接好教考關系.

3.4 重視公式的推導過程

如sinB=-cosC，誘導公式五和六對學生來講本就是難點，學生不能很好地從對稱的角度發現其對稱關系，理解起來就比較困難，光憑死記硬背不是長久之計.教材中用一課時介紹這兩個誘導公式，有些老師一節課介紹了六組誘導公式.教材中用了探究、留白證明的方式想讓學生明白其來龍去脈，而我們卻背道而馳.在處理這些公式時，兩角和與差的正余弦公式，通過例題和習題的方式讓學生證明，其目的應該是從不同的角度理解誘導公式，有些老師為了節省時間，又留給學生一句話：誘導公式是兩角和與差的正余弦公式的特例.學生沒有基本活動經驗，怎能體會其特殊性？

教材、高考相互影響，相互滲透，研究高考試題，讓我們更加理解教材的編寫意圖，更加清晰地理清教考關系，從而讓我們的課堂更高效.高效的課堂會促進學生對知識的理解與掌握，從而促進“考”，這就是高考評價體系中所說的教考合一.

參考文獻：

［1］ 教育部考試中心制定.中國高考評價體系［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］ 中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準［M］.北京：人民教育出版社，2020.