巧用輔助線，解決幾何問題

蔡美蓮

摘 要：添加輔助線在解答初中數(shù)學幾何問題中尤為常見，可構建新的解題條件，更好地揭示線段、圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，旨在幫助學生順利解題.因此，掌握輔助線添加技巧，提升幾何問題解題能力，已成為初中幾何教學的重難點.本論文就以此切入，結合常見輔助線添加技巧，對其在解題中的具體應用進行了詳細的探究，為課堂教學提出了相關的建議.

關鍵詞：初中數(shù)學；幾何；輔助線；課堂教學

幾何作為初中數(shù)學知識體系中的重要組成部分，貫穿于整個教學的過程中.同時，鑒于幾何知識的特點，承擔著培養(yǎng)學生空間想象能力、邏輯思維能力的重任，是落實數(shù)學學科素養(yǎng)的重要途徑.但在實際解題中，幾何問題常常是學生“最難啃的骨頭”，多數(shù)學生都會遇到條件不夠等困難，解題陷入到困境中.鑒于此，唯有掌握輔助線的添加技巧，在題目原有條件的基礎上，構建新的條件，才能順利完成題目的解答；另一方面，在最新的課程標準中，也肯定了輔助線在幾何學習中的價值，認為通過必要的輔助線，有助于揭示圖形的本質，幫助學生形成清晰的解題思路，并促進學科素養(yǎng)的落實.鑒于此，基于不同類型的幾何題目，培養(yǎng)學生添加輔助線解題的能力，已經(jīng)成為教學的重中之重.

1 輔助線與初中幾何解題

輔助線是一種常見的幾何解題方法，主要是在原有的圖形中，通過作直線、作線段等方式，構建新的條件，以便于解答問題.經(jīng)課堂教學實踐證明，通過作輔助線，可將原本分散的元素集中化，將原本不規(guī)則的圖形變成規(guī)則的圖形，將原本復雜的圖形簡單化.

鑒于輔助線的內(nèi)涵特點，將其應用到幾何問題中，彰顯出其顯著的應用價值.一方面，有助于提升學生的幾何解題能力.在幾何問題中，常常存在一定的隱含條件和信息，且對學生的邏輯思維能力、推理能力要求比較高.鑒于此，通過作輔助線即可將其挖掘出來，為學生解題奠定了堅實的基礎；還有部分幾何題目，信息非常分散，單純從表面上來說，很難將其聯(lián)系在一起.鑒于此，即可借助輔助線將其整合起來，由此梳理一套完整的信息體系，進而完成題目的解答；另外，還有部分幾何題目條件非常多，圖形信息復雜，常常導致學生不知所措.鑒于此，可借助作輔助線的方法將其簡單化，以便于學生精準收集有效信息并進行解題；另一方面，契合了數(shù)學新課程標準的要求.幾何作為初中數(shù)學知識體系的重要組成部分，鑒于幾何知識的特點，承擔著培養(yǎng)學生直觀想象、邏輯推理能力的重任.鑒于此，在幾何教學中培養(yǎng)學生的輔助線解題能力，不僅僅是解題的需求，也是強化學生幾何直觀意識、幾何推理素養(yǎng)的關鍵所在［1］.

2 科學添加輔助線，提升幾何問題解答能力

2.1 結合對稱點添加輔助線

在解答平面幾何問題時，當遇到“線段長度最小值”問題時，可借鑒“將軍飲馬”的模型思想，結合對稱點添加輔助線，將最小值點的具體位置確定出來之后，方可實現(xiàn)原問題的順利解答.

例1 如圖1所示，已知Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，D為BC邊上一動點，連接AD，若AC=1，S△ABC=32，則AD+12BD的最小值是多少？

解析：在本題目中，根據(jù)所求問題AD+12BD，即可聯(lián)想到“將軍飲馬”模型，尋求對稱點構建輔助線.但結合本題目中已知條件，無法直接使用這一模型，需要先進行轉化.

解：因為Rt△ABC，∠C=90°，S△ABC=32，

所以S△ABC=32=12AC·BC，所以BC=3，

過D點作DE⊥AB于點E.因為∠B=30°，所以DE=12BD，

如此，求AD+12BD最小值即可轉化為求AD+DE最小值問題.

作點A關于BC的對稱點A′，并過點A′作A′E′⊥AB，并與BC相交于點D′，則A′E′就是AD+12BD的最小值.

根據(jù)題目中已知條件，即可得出∠A′=∠A=30°，

因此D′C=ACtan30°=33，

所以BD′=BC-D′C=3-33=233，

因為AD′=BD′=A′D′=233，D′E′=12BD′=33，

所以A′E′=A′D′+D′E′=233+33=3.

2.2 基于平行線構建輔助線

在幾何題目解答中，平行線法尤為常見.顧名思義，平行線法就是通過添加平行線的方式，構建新的條件關系，進而完成題目的解答.通常，這一方式常常被應用到證明邊、角相等中.

例2 如圖2所示，在梯形ABCD中 ，AD∥BC，對角線AC⊥BD，且相交于點O，MN是梯形ABCD的中位線，∠DBC=30°，求證AC=MN.

解析：在本題目中，根據(jù)已知條件可得出：MN=12（AD+BC），因此要想證明AC=MN，則需要證明AC=12（AD+BC）.此時，即可通過圖形分析，結合圖形的性質，過點D作DE∥AC，與BC的延長線相交于點E，將AD+BC轉變?yōu)锽C+CE=BE，之后利用30°角所對直角邊等于斜邊的一半可證得AC＝DE=12BE，從而得證.

解：過點D作DE∥AC，與BC的延長線相交于點E，

因為AD∥BC，所以四邊形ACED為平行四邊形，所以AD=CE，DE=AC，

又因為MN是梯形ABCD的中位線，所以MN=12（AD+BC）=12（BC+CE）=12BE.

因為AC⊥BD，所以∠BOC=90°，因為DE∥AC，

所以∠BDE=∠BOC=90°.

在Rt△BED中，因為∠DBC=30°，

所以DE=12BE，

因為AC=DE=12BE，

所以AC=MN［2］.

2.3 基于圖形性質添加輔助線

在運用輔助線解答不同類型的幾何問題時，必須要認真分析相關的圖形，結合不同圖形的性質，選擇不同的輔助線，以便于完成題目解答.

例3 如圖3所示，AB是圓O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點P，且AP=2，BP=6，∠APC=30°，求CD的長度.

解析：在初中幾何問題中，與圓相關的平面圖形尤為常見，且這一類型題目難度系數(shù)比較高，學生單純結合已知條件很難完成解答，唯有兼顧圓的基本性質，并結合圖形的性質作出必要的輔助線，才能完成題目的解答.在本題目中，由于出現(xiàn)了關于“弦”的問題，即可聯(lián)想到構建弦心距、半徑、直徑等關系進行求解.

解：如圖4所示，過點O作OH⊥CD，垂足為H，連接OC，

因為AP=2，BP=6，因此圓O的半徑r=（6+2）÷2=4，且OP=r-AP=2，

因為∠APC=30°，所以∠HPO=30°，

在Rt△HPO中，HO=12OP=1，

在Rt△HCO中，因為HO=1，OC=4，所以CH=OC2-OH2=42-12=15，

所以CD=2CH=215［3］.

2.4 基于中點添加輔助線

在幾何題目中，當出現(xiàn)了“中點”等條件，在作輔助線時以此切入，圍繞中點、中線添加輔助線，進而將各個線段之間的關系明確出來，挖掘出更多的已知條件，最終形成明確的解題思路.

例4 如圖5所示，已知E、F分別是線段BC、AD的中點，且AB=CD，射線BA和射線EF相交于點G，射線CD和射線EF相交于點H，求證∠BGE=∠CHE.

解析：在本題目中，由于已知條件中給出了“中點”這一關鍵詞，且題目中原有的條件無法滿足求解.鑒于此，即可考慮根據(jù)“中點”作輔助線，連接AC，并取其中點P，分別連接PE、PF，借助三角形中位線的相關知識進行證明.

解：連接AC，并取其中點P，分別連接PE、PF，

因為E是線段BC的中點，所以PE∥AB，PE=12AB，

因為F是線段AD的中點，所以PF∥CD，PF=12CD.

又AB=CD，所以PE=PF，所以∠PEF=∠PFE，

因為PE∥AB，所以∠PEF=∠BGE，

因為PF∥CD，所以∠PFE=∠CHE，

所以∠BGE=∠CHE.

2.5 基于對角線法構建輔助線

在解答四邊形的幾何問題中，基于對角線構造輔助線尤為常見.尤其是針對一些特殊的四邊形問題，通過對角線輔助線構造法，可將四邊形問題轉化為三角形問題，并運用三角形的相關性質進行求解.

例5 如圖6所示，四邊形ABCD為一梯形紙片，AB∥CD，AD=BC，將其翻折，使得A、C兩點重合，折痕為EF，已知CE⊥AB，求證EF∥BD.

解析：在本題目中，要想證明出EF∥BD，根據(jù)題目中的已知條件分析，唯有從角相等這一途徑切入，以此獲得兩條線段平行.鑒于此，即可根據(jù)對角線法構建輔助線，連接AC，利用三角形中角和角之間的關系進行證明.

解：連接AC.

因為AD=BC，所以四邊形ABCD為等腰梯形，即∠DAB=∠CBA，

根據(jù)邊角邊定理，即可得出△DAB≌△CBA，

所以∠1=∠2.

因為CE⊥AB，所以∠3+∠4=90°，

由折疊得∠3=∠4，AC⊥EF，

所以∠1+∠4=90°，所以∠1=∠3，

所以∠2=∠4=45°，

所以EF∥BD［4］.

2.6 基于倍長中線法構建輔助線

在解答三角形問題時，中線尤為重要，常常是解題的關鍵，也是構建輔助線的重要途徑.在多數(shù)三角形題目中，就常常需要借助倍長中線的方式構建輔助線.顧名思義，倍長中線就是將圖中的中線延長一倍，進而構造出全等三角形，以此打開解題思路.

例6 如圖7所示，在△ABC中，AD是BC的中線，E為AC上一點，BE與AD相交于點F，且AE=EF，判斷AC與BF之間的大小關系.

解析：在本題目中，要想對AC與BF之間的大小關系進行判定，可依托三角形的關系進行，但由于AC與BF所在的三角形不能直接證明全等，無法直接進行判斷，唯有基于“AD是BC的中線”這一條件，通過倍長中線法構建輔助線進行解答.

解：如圖，延長AD至點G，使得DG=AD，連接BG，

因為DG=AD，所以∠ADC=∠BDG，CD=BD，

所以△ADC≌△GDB，所以AC=BG，∠CAD=∠G.

如圖，因為AE=EF，所以∠CAD=∠AFE=∠BFG=∠G，

所以BF=BG，即BF=AC.

2.7 基于三線合一構建輔助線

在幾何問題中，等腰三角形是最為重要的類型之一，且等腰三角形“三線合一”的性質，也是其他圖形所不具備的.在具體解答等腰三角形問題時，可根據(jù)“三線合一”性質，構建輔助線，構建新的條件關系，并將復雜的幾何問題簡單化.

例7 如圖8所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，與AC相交于點D，CE⊥BD的延長線于點E，求證：BD=2CE.

解析：根據(jù)題目中已知條件，很難構造出BD、CE之間的聯(lián)系.鑒于此，即可分析題目中的已知條件，根據(jù)“BD平分∠ABC，CE⊥BE”這兩個條件，聯(lián)想到“三線合一”的定理，據(jù)此構造相應的輔助線.

解：如圖9，延長CE，并與BA的延長線相交于點F.

因為BD平分∠ABC，CE⊥BE，即可得出BC=BF，EC=EF，

所以CF=2EC.

由題習知∠BAD=∠CAF=90°，∠BDA=∠CDE=∠F，AB=AC，

所以△ABD≌△ACF，所以BD=CF，

所以BD=2CE［5］.

3 強化課堂教學，提升添加輔助線能力

經(jīng)過解題實踐證明，當學生在解題時，一旦面臨條件不夠、解題陷入困境的局面，就必須要借助輔助線的方式，找解題的“突破口”.鑒于此，初中數(shù)學教師在日常教學中，應樹立針對性的教學觀念，有目的、有計劃地開展課堂教學，循序漸進地提高學生添加輔助線的能力，強化學生的解題素養(yǎng).

首先，強化輔助線認知，提升學生學習效果.在初中幾何教學中，由于學生的思維能力有限，單憑學生的直觀思維，很難提升學生的輔助線認知能力和應用能力.鑒于此，在日常幾何教學中，應強化學生對輔助線的認識，使其認識到輔助線在解題中的重要性，逐漸形成強烈的輔助線添加意識.

其次，基于輔助線和數(shù)學教學之間的關系，強化學生的輔助線添加能力.以往，在幾何教學中，教師在添加輔助線的時候，基本上都是教師直接添加，沒有給學生留有思考的時間，學生基本上都是在死記硬背中完成.而為了強化學生的輔助線添加能力，應徹底轉變傳統(tǒng)“教師直接添加、學生被動接受”的教學模式，而是結合教學內(nèi)容，帶領學生歸納、總結輔助線的不同添加方法，并圍繞輔助線與數(shù)學之間的關系開展教學，使得學生在日常學習中逐漸形成一定的推理與論證能力，以便于其在日后的解題中，能夠結合題目中的已知條件，通過推理與論證，正確添加輔助線.

再次，合理安排教學內(nèi)容，對輔助線添加方法進行分類.在幾何教學中，由于添加輔助線對學生的邏輯推理、數(shù)學思維水平要求比較高，而初中階段學生的思維能力有限，致使其在添加輔助線時常常面臨諸多困難.鑒于此，教師應科學合理地安排教學內(nèi)容，堅持循序漸進的原則，以簡單、基本圖形中輔助線添加作為起點，循序漸進地增加難度，以更好地滿足學生的學習需求；同時，在強化輔助線添加能力時，還應帶領學生對不同類型的輔助線添加方式進行歸類、總結，使其在分析中逐漸掌握這一技能.

最后，強化針對性訓練，提升實踐應用能力.在初中幾何教學中，為了真正提升學生的輔助線添加能力，必須要借助必要的練習題目，使得學生在針對性的訓練中，掌握輔助線添加的基本技巧和能力.為此，應結合具體的內(nèi)容，結合初中生的實際情況，為其科學選擇、安排針對性的練習題目，使得學生在“少而精”的練習中，逐漸掌握輔助線的添加技巧［6］.

4 結束語

綜上所述，在初中幾何解題中，添加必要的輔助線是最為重要的解題手段，是突破思維困境、找到解題“突破口”的關鍵.但輔助線添加并非毫無章法可循，而是存在一定的規(guī)律性，學生可結合不同的題目類型，選擇不同構建方式.鑒于此，教師在日常教學中，應有目的、有計劃地強化學生的輔助線構建意識，并結合針對性的訓練，使得學生真正掌握輔助線構建技巧，能夠在具體解題時結合不同類型的題目，構建出不同的輔助線，使其為解題所服務.

參考文獻：

［1］ 欒長偉.初中幾何輔助線專題——平移變換［J］.初中生學習指導，2022（23）：38.

［2］ 張燕.合理使用輔助線，巧解初中數(shù)學幾何問題［J］.現(xiàn)代中學生（初中版），2021（20）：29-30.

［3］ 肖世斌.芻議輔助線在初中幾何解題中的合理應用［J］.新課程研究，2021（1）：128-130.

［4］ 任紅娟.題以類聚，方法在其中——初中幾何中點輔助線問題探討［J］.數(shù)理天地（初中版），2022（10）：2-4.

［5］ 李芳.輔助線在初中幾何解題中的應用［J］.數(shù)理天地（初中版），2022（8）：2-3.

［6］ 劉亞萍.輔助線在初中幾何解題中的應用與技巧［J］.考試周刊，2020（39）：80-81.