基于思維視角的高考數學復習備考

摘? 要：在新高考評價體系下，2022年高考數學全國卷與往年相比難度有明顯提升. 究其原因，主要是試題對學生的思維能力提出了較高的要求. 文章從深刻性、批判性、靈活性、敏捷性、系統性、創新性和邏輯性等思維品質出發，對2022年全國新高考數學試卷進行歸類分析，并給出高考數學復習備考的六個方面的教學建議.

關鍵詞：思維品質；高考數學；復習備考；教學建議

文獻［1］中指出：命題依托高考評價體系，聚焦關鍵能力考查，突出思維品質和過程，加強情境化設計，增強題目的開放性，提高人才選拔質量；高考注重考查思維過程，突出邏輯思維和推理能力，使內在思考過程外顯，讓理解能力可顯可見、機械刷題失速失效. 由此可見，在新高考評價體系下，高考數學試題對學生的思維能力提出了更高的要求. 從2022年全國新高考數學試卷的試題分析及學生的得分情況來看，涉及思維能力和計算能力的試題較多，而學生在這兩個方面的能力又相對較弱，從而導致學生整體得分偏低.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）把數學抽象和邏輯推理這兩個思維過程放在首要位置.《標準》在學業質量內容中明確了體現數學核心素養的四個方面：情境與問題；知識與技能；思維與表達；交流與反思. 其中也對思維給出了明確要求.

一、思維能力概述

人對外界的認識分為兩個階段. 第一個階段是感性認識階段，人們通過感覺、直覺和表象認識事物的表面現象和外部聯系；第二個階段是理性認識階段，人們通過概念、判斷和推理認識事物的本質屬性和內部聯系. 第二個階段的認知過程稱為思維，這個過程常借助語言、表象或動作，實現對客觀事物的概括和間接認識，是大腦一種復雜而高級的認知活動.

《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）將邏輯思維能力作為高中數學五項關鍵能力之一，主要考查學生對問題或資料進行觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括的能力，用演繹、歸納和類比進行推理的能力，以及準確、清晰、有條理地進行表述的能力.

章建躍博士在《數學教育隨想錄·下卷》中指出：數學思維主要通過一個結構、兩個方向、三類語言、四種形式體現出來. 具體而言，即數學地認識事物的基本結構為“定義概念—推導性質—建立聯系—實踐應用”；思維的兩個方向為歸納和演繹；三類語言為文字語言、符號語言、圖形語言，在思維活動中體現為三類語言的相互轉化；四種形式為：邏輯推理、代數運算、幾何直觀、數形結合.

二、思維品質的七個屬性

思維品質的實質是思維活動的個性特征，是人們在思維活動過程中智力或思維在不同方向上的特點及差異的集中反映，主要包括七個方面，分別為：深刻性、批判性、靈活性、敏捷性、系統性、創新性和邏輯性.

思維的深刻性，是指思維活動的廣度、深度和難度. 它是一種透過現象看本質，抓住事物實質的思維品質，表現為事物縱向發展的關聯性和延續性. 善于厘清事物的本質，能揭示表面現象體現的原理方法和一般規律，善于分析抽象、概括歸納、預見事物的發展方向.

思維的批判性，是指思維活動過程能獨立閱讀、分析及思考，獨立做出判斷與選擇，獨立發表觀點和見解，不輕信、不盲從、不人云亦云，做到思想開放、辯駁有理，又尊重他人，能做到在別人評價或自我評價中反思并做出有效修正.

思維的靈活性，是指能從多角度、多方面、多層次思考問題，且能用多種方法解決問題. 善于歸納、類比、聯想，能因地制宜、舉一反三，善于根據變化調整方案. 思維的靈活性也受制于個體思維已經形成的思維定式. 例如，某一個體在日常生活中總是反復使用某種固定不變的方式處理問題，思維就會形成某種僵化與定型，這種經驗定型有助于解決較為膚淺的表面遷移問題，但當問題的條件發生變化時，這種定型將阻礙思維靈活性的發揮.

思維的敏捷性，是指思維活動過程的快速性和簡潔性，能果斷且迅速地做出正確的判斷. 其核心為“快”“準”“狠”. 思維過程在理解數學問題的過程中，既有直覺的成分，又善于迅速抓住問題的實質，巧妙地進行恒等變換；在運用公式、定理的過程中，善于對數學結構進行壓縮；在解決問題的過程中，思路清晰、化繁為簡、直擊要害. 在問題解決的效果上，善于減少不必要的中間環節，精簡數學推理過程和相關的運算系統.

思維的系統性，是指關聯地、整體地、系統地思考問題. 能清晰認知、找出脈絡、歸納重點、細致關聯、整合信息，形成結構系統. 既能掌握零散內容的各自功能，又能抽象、概括出內容之間共同的組成要素，分析出這些要素之間的有效聯結，從而在鄰近的知識領域中推廣發散，形成知識網絡體系，拓展思維和認知的空間.

思維的創新性，是指思維活動能突破原有具體內容的細節和固有模式的限制，能根據原有的表達產生新理解和新意圖，能按優化后的與眾不同的新思路、新設計、新方法，產生獨特的新思想、新觀念，從而實現思維認識過程的飛躍，達到或完成新的創造. 創造性思維具有突破性、獨創性、針對性、超前性、綜合性等特點. 簡而言之，即獨辟蹊徑.

思維的邏輯性，是思維品質的中心環節，是所有思維品質的集中展示. 思維的邏輯性是指思維活動過程能根據基本的邏輯形式，遵循嚴謹的邏輯規則，按照正確的邏輯順序進行. 無論是思維過程、形式和方法，還是解決問題的最終表達和交流，總能條理清晰、層次分明、一針見血，有根據地抓關鍵，前后連貫不跳躍，不自相矛盾，也不含糊不清.

三、2022年全國新高考數學試卷的分類及典型例題分析

根據思維品質的七方面劃分，筆者對2022年全國新高考數學試卷進行整理分類，具體情況如表1所示.

例1 （全國新高考Ⅱ卷·4）已知向量[a=3，4，][b=1，0，c=a+tb，] 若[a，c=b，c，] 則[t]的值為（? ? ）.

（A）-6 （B）-5 （C）5 （D）6

試題及解法分析：此題是平面向量問題，屬于基礎性試題，考查向量的基本概念、基本公式、向量的坐標運算和向量運算的幾何意義. 若學生能根據向量加法的幾何意義，結合向量夾角相等的條件，得到加法滿足的平行四邊形為菱形這個結論，可大幅度縮減解題用時，提高解題效率.

【解題反思及教學啟示】此題是開放題，學生只需要在多個正確答案中選擇一個正確答案填入即可. 解答時需要學生獨立地分析、思考和判斷，然后做出最為快捷、高效的回答. 開放題的思維指向是批判性，要求學生能獨立分析、思考，獨立發表見解. 在教學中，應該設計增加師生互動的活動環節，努力營造民主開放的討論氛圍，通過師生、生生之間的相互交流，促進學生思維的橫向擴散或水平流動.

四、學生思維中存在的問題

從日常學習和考試的答題情況來看，學生的思維能力主要存在以下五個方面的問題.

第一，學習無目標，思維無韌性. 高中學校的調查統計結果顯示，把學習目標設在班級前茅的初中生約占80%，而這一目標在高中生中所占比例為45%；把學習目標設在班級中等的初中生約占17%，而這一目標在高中生中所占比例為47%. 由此顯示，高中生在學習中降低了學習目標值，也顯示出面對高中課程內容和難度均增加的情況，很多學生失去了思維的韌性.

第二，學習缺乏思想方法，理解不深刻. 高中學校的調查統計結果顯示，善于運用實驗和觀察方法的學生占比約為28%，善于運用類比聯想的學生占比約為30%，這意味著還有相當大一部分學生對知識概念的理解不夠深刻，仍未掌握突破思維限制、尋求有效解題途徑的思維方式.

第三，思維收斂、線性. 約50%的高中生在解題中經常出現思路中斷的情況. 面對思路中斷，學生沒有攻堅克難的毅力，又常基于規定做題時間的考量翻閱參考答案然后摘抄思維受阻的那部分解答，以近乎“飲鴆止渴”的方式解決思路中斷的問題. 長此以往，形成收斂的、線性的思維.

第四，思維消極、惰性. 對于學習內容，部分學生的態度是不考的內容不學，上課只聽不想，練習只重結果不重過程. 尤其是面對難題時，約16%的學生選擇繼續獨立思考；約52%的學生選擇主動向教師或其他學生尋求幫助；約12%的學生選擇被動等待教師的課堂解答；約20%的學生選擇置之不理.

第五，思維定式、僵化. 從2022年全國新高考Ⅰ卷第17題的學生得分分布比例看，約22%的學生存在因思維定式而導致的審題出錯的問題.

五、影響學生思維的因素分析

影響學生思維的因素是多方面的，以下六點尤為突出.

第一，核心概念的形成缺乏過程，例題的講解缺乏深度和廣度. 教師缺乏對教材內容的本質理解，課堂教學中匆忙趕進度，缺少對重要內容的深入挖掘，缺少對已知條件細致、全面的分析，缺少對典型例題的廣度發散.

第二，不強調思想方法. 習題課就題論題，不變式、不提升、不拓展、不歸納.

第三，課堂設計無互動，學生不深度參與課堂.? “我講你記”的情況依然存在.

第四，重結論、輕過程. 由于部分題目運用二級結論可迅速得出答案，學生就以偏概全地認為只要多記二級結論就可以輕松拿分，從而導致生搬硬套、漏洞百出.

第五，大量布置低效作業. 學生只顧奮筆疾書教師布置的各種作業，幾乎沒有獨立自主的思考空間，也沒有解題以后反思、歸納、總結的時間，導致學生只進行了知識方法的重復訓練，而沒有掌握解題技能.

第六，不構建知識體系. 復習備考只重知識要素，而忽視了要素之間的有效連接.

六、高考數學復習備考建議

文獻［5］中把高考數學學科的功能定位為：發揮數學學科特點，以測試數學綜合能力、發展數學核心素養為目標，通過創新試卷結構與試題形式更好地實現高考立德樹人、服務選才、引導教學的核心功能. 面對高考改革對高考命題的諸多調整，在高考數學的復習備考中，筆者建議做到以下六個方面.

1. 以目標為導向，做到知己知彼

高考數學復習備考應該以目標為導向，沒有目標就失去了前進的動力和方向. 根據對象的不同，高考目標也不同. 在國家層面，選拔人才是高考的重要目標；在學校層面，根據學校實際情況，讓更多學生考上一所較好的大學是首要目標；對學生個體來說，大部分學生的目標是爭取考上一個自己理想的院校和心儀的專業. 根據目標的成績要求，再比對自己當前的實力，分析出差距后就可以找到努力的方向. 因此，唯有做到知己知彼，方能擁有朝著明確目標方向前進的無限動力.

2. 以整體的高度，做到系統謀劃

從年級數學備課組長的角度來說，必須提前做好高考復習教學的系統規劃. 根據數學的學科特點，可以把復習教學系統劃分為復習整體設計、教學過程組織、練習測試安排三個部分，具體內容如圖2所示. 對于每個環節的細化和具體內容，則需要根據學校的實際情況，進行恰當的規劃和安排.

從班級教師的角度來說，必須做好復習內容知識結構的系統化梳理. 高中數學知識內容可劃分為：函數、三角函數、數列、不等式、立體幾何、解析幾何、概率統計、集合、簡易邏輯、復數、向量11個章節，各章節的知識要素和系統化可采取結構圖或思維導圖等形式進行梳理. 每位高三數學教師都應該對每個章節內容及其結構了如指掌，胸有成竹方能在復習中突出重點.

從學生角度來說，需要做到兩個方面的系統謀劃. 一是個人復習的系統計劃；二是考試答題的系統策略. 具體如圖3和圖4所示.

高考復習備考是一個系統工程，擁有整體大局觀念和系統性思維方能得到發展，以高屋建瓴的方式進行復習，復習效果才能事半功倍.

3. 以教材為藍本，做到溫故知新

教材是教學之根本，脫離教材開展復習是舍本逐末的典型做法. 以教材為藍本展開復習，并不是要把教材全部內容重復講解一遍，而是要在進行每個章節內容的復習之前都先重溫教材內容，以復習課的視角再次審視教材內容，對核心概念、定義、定理、公式的內容及其形成過程進行具有條理性和穿透性的理解，對例題和課后練習題展開更深層次、更多角度的思考和歸納，由此溫故而知新，提高思維的深刻性.

復習教材內容時，需要特別關注《標準》中新增的內容，高考作為教學改革的引領者，對新增內容的考查是有所側重的.

4. 以思維為核心，做到獨立靈活

高中數學因思維的閃光而大放異彩. 高考數學復習備考應該把學生思維能力的培養放在首要位置. 具體做法如下.

（1）實驗觀察——猜想.

教師在進行教學設計時，要有意識地安排學生進行實驗現象觀察、命題結論猜想、規律總結歸納的相關練習，促使學生逐漸形成根據問題條件進行觀察和猜想的自覺操作，進而發展學生思維的深刻性和批判性. 例如，空間位置關系、數列、概率模型等內容中有較多的載體可以做實驗觀察的教學設計；立體幾何中的折疊問題是學生學習的一個難點，在教學中可以通過設計數學實驗的方式，讓學生在動手折疊的實驗過程中觀察圖形從二維平面到三維空間的變化過程，理解空間點、線、面元素的位置、角度、長度等關系的變化，從而提高學生的空間想象能力.

（2）變形發散——設想.

在教學過程中，在分析核心概念的形成過程或切入典型問題的探究時，要進行多方面、多層次、多角度的變化的、靈活的思考和理解，在條件的變形、增加、減少等假設下，以一題多變、多題歸一的方式培養和發展學生思維的靈活性. 例如，最值相關問題和三角恒等變換等內容對學生思維的靈活性要求較高.

（3）遷移類比——聯想.

聯想指一種從已經掌握的原理和方法中得到啟發，通過不同對象間的遷移和類比，找到切入和解決新問題的思路和途徑，進而得到類似問題的正確結論或解決同構問題的有效方法. 這種遷移聯想通常是學生認知的橫向發展和縱向升級過程. 例如，二維平面到三維空間、等式到不等式、等差數列到等比數列、向量與復數等內容，都可以通過類比遷移進行學習，以實現方法上可突破、體系上更完整、思維上有創新. 對于聯想類比過程中可能出現的負遷移問題，可以通過嚴謹的邏輯推理給予糾正.

（4）數形結合——構想.

數形結合是理解數學問題最直觀有效的方式. 教學過程中要時刻圍繞數形結合引導學生從形的角度理解代數問題，或者從代數角度去看待幾何問題. 通過數與形的相互轉化，能實現對學生思維深刻性、靈活性和敏捷性的有效培養. 例如，研究方程、不等式時構造函數并作出對應圖象，研究直線與曲線位置關系時建立平面直角坐標系并作出相應圖形，研究空間位置關系時作出直觀圖、三視圖等.

（5）直覺頓悟——奇想.

數學直覺源自活躍的思維活動，是由對數學研究對象的領悟和洞察而產生的一種不包含普通數理邏輯的直覺悟性，這種直覺常表現出思維的跳躍. 在數學教學中，教師可以從數字敏感、結構感知、同構表述等方面創設情境、誘發奇想、產生直覺. 例如，勾股數、單位圓方程、斜率公式、兩點間距離公式、兩角和與差的三角函數公式、基本不等式等內容都有相應的數據特征和結構特點，審題時可以觀察分析條件進行特征匹配，由此培養學生思維的批判性和敏捷性.

（6）民主交流——暢想.

設計課堂互動與交流活動是提高學生課堂教學參與度和教學效率的有效方式. 課堂上，師生、生生之間的相互交流可以促進思維成果的橫向擴散或水平流動. 在課堂教學中，教師設計交流活動前期，學生不同的能力水平將導致學生的表述未必準確、成熟，此時教師切忌輕率地否定學生的觀點，而是要以鼓勵的口吻充分肯定學生思維活動中的合理部分，也鼓勵其他學生對此提出完善和補充的建議或不同的想法和做法，由此形成平等民主的交流討論氛圍，為學生思維深刻性、批判性和敏捷性的發展營造良好的環境和土壤. 暢所欲言，方能碰撞出思維的火花.

5. 以綜合為載體，做到交叉滲透

在《體系》中，高考以測試學生的數學綜合能力為目標之一，對數學試題提出具有學科特點的基礎性、綜合性、應用性、創新性的“四翼”考查要求. 數學試題的綜合性強調的是知識間的交會融合，強調各分支內容和學科之間的交叉滲透. 這種聯系可以是數學學科知識的內部聯系，也可以是數學與其他學科知識間的緊密結合. 考查中要求學生能根據多個角度的內容、系統的分析方法和綜合的思維視角，綜合運用數學思想方法解決問題.

試題的綜合性常表現在知識的疊加、方法的滲透和工具的運用三個方面. 對于單選類綜合題，復習備考中要注重強調多個知識的交叉滲透及多種方法的融會貫通（如求最值、參數范圍等）. 對于多選類綜合題，學生在學習中要建構知識體系，通過一個共同的載體形成多類元素之間的有效連接，由此形成從點到面的網絡系統（如函數的性質、圓錐曲線的性質、空間幾何體的位置關系等）. 對于應用類綜合題，要嘗試以系統的分析方法、轉化的歸類視角，同時運用通性通法（工具）來解決問題（如向量法、導數法、坐標法等）.

學生的思維唯有在深刻性、靈活性和系統性方面有穩固的基礎，面對綜合性試題才能駕輕就熟.

6. 以規范為準繩，做到清晰嚴密

面對高考，學生通過答卷展示其能力水平. 高考數學試卷中也明確了解答題的答題要求：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 因此，清晰、嚴密、規范的書寫表達能讓評卷者更迅速地給出客觀且合理的評判.

（1）計算求解類解答題.

此類解答題規范的答題過程一般要求有如下六個步驟：一是寫出解題所依據的定理或公式；二是把已知條件的數據代入公式中；三是對表達式進行變形運算和化簡；四是得出最簡的結果；五是對結果進行檢驗，去偽存真；六是綜述并寫出最終結論.

但學生的解題過程往往只體現了步驟二、三、四，甚至只體現步驟二和步驟四. 根據高考的評卷要求，這種跳步表達將會丟失未書寫部分對應的分值，這也就是平時常說的“對而不全”的典型問題.

（2）證明類解答題.

證明題重邏輯推理，規范的證明過程一般要按照演繹推理的三段論形式進行表達. 因此，要先寫出定理名稱（大前提），再逐一列舉出具體的條件（小前提），最后得出結論. 演繹三段論的推理過程是一個有機整體，缺少任何一步都會導致推理的邏輯失效. 沒有寫出大前提，會對證明過程產生堆積條件得出結論的誤解；未列舉小前提的全部條件，則可以認為推理的條件不足；只列舉了條件而沒有寫出結論，則可以認為未能掌握根據條件進行有效判斷的方法.

三個步驟的問題中，又以小前提錯誤最多，常見的是條件列舉不全. 例如，在線面垂直的判定定理中，學生常見的錯誤是未列舉出線在平面內和兩條直線相交的輔助條件，從而導致證明過程的規范性不足.

（3）填空題.

填空題屬于只需要寫出最終答案的題目，因為不需要體現解題過程，所以最終答案必須結果準確、形式最簡、書寫規范.

確保答案的準確性是解答填空題的最基本要求. 準確性問題一般會出現在計算和表達上. 例如，求直線方程時，若試題沒有對直線方程形式進行要求，則寫出直線方程的任意形式都是準確的；若試題指定求直線的一般式方程，那么寫出的結果是斜截式則不符合準確性要求. 又如，如果求出的函數是分區間單調的，則不能用“∪”連接兩個區間. 此外，區間端點的開閉也是需要注意的問題.

在規范性要求上，一是要符合標準. 例如，對數式的書寫需要注意底數符號書寫的大小和位置，學習對數運算書寫符號時，讓學生清晰認識到如圖5所示的這種“井”字型結構，就不會出現底數與真數大小相同的不標準表達. 二是要符合題意. 例如，要求定義域，則答案必須是區間的形式，不能是不等式的形式. 又如，若題目要求“以數字作答”，則答案必須是具體數字，不能是組合數或排列數形式. 三是不能自創符號. 填空題無解答過程，因此答案中不能出現自定義的符號，以免引起答案指代不清的問題. 例如，求拋物線的準線，有的學生將答案寫成[l=-1，] 這就無法辨析這個符號的含義. 四是不能畫蛇添足. 例如，求數列的通項公式，有的學生會給出[an=2n+1]這種不規范書寫.

作為學生，在平時的解題練習中，要接受標準規范的約束；作為教師，則要以身作則掌握好規范的表達，這樣才能在課堂中做出標準的示范，樹立優秀的榜樣，在講評中指出學生規范性的不足，在作業或練習的批改中給出學生解題規范性方面的優化建議，進而提高學生書寫表達的規范性.

無論是解答題，還是填空題，清晰的思路、嚴密的推理、規范的表達都充分體現了學生在解題過程中思維的敏捷性和邏輯性，以及對數學的深刻理解，這些都閃耀著學生思維的火花.

高考數學復習備考是一個系統工程，我們應該盡力適應新的要求，堅韌不拔、迎難而上. 學生有信心、不惶恐，需要勇毅接受并面對各種難度試題的挑戰；教師態度不消極，認清形勢、找準方向，并不斷學習更新理念和方法；學校決策不糊涂，為學科教學的協同進步做堅強后盾和有力保障.

參考文獻：

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作者簡介：廖偉君（1980— ），男，中學一級教師，主要從事高中數學教育教學研究.