數(shù)學(xué)建模在高中課堂教學(xué)中的意義探究與路徑形成

［摘 ?要］ 數(shù)學(xué)建模的地位至關(guān)重要，可以說數(shù)學(xué)建模無論是在學(xué)生知識建構(gòu)的過程中，還是在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的過程中，都起著承上啟下的作用. 對于日常的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)來說，數(shù)學(xué)建模的意義在于，其可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的整合，可以讓學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，可以讓學(xué)生更好地建立起數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知體系，可以讓學(xué)生擁有一個更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的空間，可以讓學(xué)生形成更為高階的思維能力，還可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的提升. 數(shù)學(xué)模型建立的過程，實(shí)際上就是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，實(shí)現(xiàn)自身數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展，進(jìn)而用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程. 因此可以說，數(shù)學(xué)知識發(fā)生的過程越豐富，學(xué)生在數(shù)學(xué)模型形成過程中的體驗感越強(qiáng)，數(shù)學(xué)建模的路徑越清晰.

［關(guān)鍵詞］ 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；課堂教學(xué)；意義探究；教學(xué)路徑

基金項目：福建省2021年常規(guī)課題“新高考背景下高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)踐研究”（FJJKZX21-096）.

作者簡介：陳鐘洪（1982—），本科學(xué)歷，高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)所明確的六個要素當(dāng)中，數(shù)學(xué)建模的地位至關(guān)重要，可以說數(shù)學(xué)建模無論是在學(xué)生知識建構(gòu)的過程中，還是在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的過程中，都起著承上啟下的作用. 之所以這么說，是因為從知識建構(gòu)的角度來看，學(xué)生要想建立一個數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)規(guī)律，必然要將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識綜合起來，必要的時候還會借助生活經(jīng)驗的支撐，這個時候很容易涉及數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理，當(dāng)然也會涉及知識的綜合運(yùn)用. 因此一個數(shù)學(xué)模型的建立，肯定會帶動數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)其他要素的落地，既然數(shù)學(xué)建模能夠起到這樣的作用，那么在日常的教學(xué)當(dāng)中，就必須高度重視.

事實(shí)上，高中數(shù)學(xué)教學(xué)歷來有重視數(shù)學(xué)建模的傳統(tǒng)，在20世紀(jì)90年代，曾經(jīng)有關(guān)于學(xué)科建模的研究之風(fēng)，數(shù)學(xué)學(xué)科作為基礎(chǔ)性學(xué)科，其建模研究起到了一定的引領(lǐng)作用，至今仍然為基礎(chǔ)教育研究界所稱贊. 今天的高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著雙重任務(wù)——培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)試能力與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，前一任務(wù)關(guān)系學(xué)生當(dāng)下的生存，后一任務(wù)關(guān)系學(xué)生未來的發(fā)展，兩者都很重要. 這對于教師來說，也意味著挑戰(zhàn)，如何在教學(xué)中協(xié)調(diào)好兩者間的關(guān)系，考驗著教師的教學(xué)智慧. 很顯然，要讓這兩個任務(wù)協(xié)調(diào)完成，最好的辦法就是能夠設(shè)計一個科學(xué)的學(xué)習(xí)過程，而學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)過程中，既能夠讓自己的應(yīng)試能力得到培養(yǎng)，又能夠讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到自然的培育.

分析到這里可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模可以很好地承擔(dān)這一任務(wù)，其原因就在于：一旦學(xué)生形成了較強(qiáng)的數(shù)學(xué)建模能力，那么就意味著學(xué)生有了較強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識整合能力；一旦學(xué)生形成了較強(qiáng)的數(shù)學(xué)模型運(yùn)用能力，自然就意味著學(xué)生運(yùn)用模型解答習(xí)題就有了很大的可能性. 更為可貴的是，一旦學(xué)生形成了較強(qiáng)的建模能力與模型運(yùn)用能力，那么學(xué)生面對新的題型時，會因為數(shù)學(xué)建模過程中所形成的能力的有效遷移，而具有較強(qiáng)的解決新題的能力. 這對于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)來說是一個突破，其有效避免了“講什么才會什么”的尷尬情形. 所以從這個角度來看，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力就是發(fā)展學(xué)生的應(yīng)試能力！與此同時，數(shù)學(xué)建模本身就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素，而且其綜合性極強(qiáng)，因此以數(shù)學(xué)建模作為突破口，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的可能性更大.

數(shù)學(xué)建模在高中課堂教學(xué)中的意義探究

考慮到傳統(tǒng)教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)試能力是教學(xué)的主流，因此本文側(cè)重闡述的是如何通過數(shù)學(xué)建模來帶動數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素的發(fā)展. 對于這一點(diǎn)，首先要闡述的問題就是：面向當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)一線教師，如何真正形成關(guān)于數(shù)學(xué)建模的理念認(rèn)同？

這是一個非常實(shí)際的問題，盡管從理論的角度來看，數(shù)學(xué)建模的意義重大，比如李明振、喻平等人明確提出，解析高中數(shù)學(xué)建模課程實(shí)施的背景，揭示實(shí)施中存在的問題，探求解決問題的有效對策，對改進(jìn)高中數(shù)學(xué)建模課程實(shí)施的效果具有重要現(xiàn)實(shí)意義［1］. 但是在教學(xué)實(shí)際當(dāng)中，一個尷尬的情況就是：絕大多數(shù)課堂上教師仍然忽略了數(shù)學(xué)建模的努力，而是將教學(xué)的重心直接落在學(xué)生的刷題能力培養(yǎng)上. 有人說這是一個實(shí)際問題，是高考的必然走向，在筆者看來，這樣的判斷固然有道理，但并沒有觸及實(shí)質(zhì). 正如前面所分析的那樣，即使只考慮學(xué)生應(yīng)試能力的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模也能夠發(fā)揮重要作用，因此與其說這是一個高考評價導(dǎo)向的問題，倒不如說這是一個教師教學(xué)理念與教學(xué)認(rèn)識的問題. 換句話說，如果教師真正從理念上認(rèn)同數(shù)學(xué)建模的豐富價值，那么其自然就會出現(xiàn)在日常的課堂上. 所以說，探究數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的意義，進(jìn)而認(rèn)同這一意義，是至關(guān)重要的一個前提.

筆者以為，對于日常的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)來說，數(shù)學(xué)建模的意義在于，其可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的整合，可以讓學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，可以更好地讓學(xué)生建立起數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知體系，可以讓學(xué)生擁有一個更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的空間，可以讓學(xué)生形成更為高階的思維能力，還可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的提升.

以上六個“可以”，從知識的建構(gòu)、數(shù)學(xué)知識之間聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)、認(rèn)知體系的建構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方法的體驗、思維能力的培養(yǎng)、學(xué)習(xí)品質(zhì)的提升等角度，闡述了數(shù)學(xué)建模的意義. 更具體一點(diǎn)說，正是因為數(shù)學(xué)建模的過程必然涉及已有知識的激活與重組，必然涉及新的知識的生成且最終要以數(shù)學(xué)語言（文字、圖形、圖象、公式等）加以陳述，因此思維能力與學(xué)習(xí)品質(zhì)會自然得到培養(yǎng). 由此可見數(shù)學(xué)建模的綜合性之強(qiáng)，功能之強(qiáng)，意義之顯著. 由此認(rèn)識數(shù)學(xué)建模的意義，自然也就意味著在日常教學(xué)當(dāng)中數(shù)學(xué)建模具有更強(qiáng)的生命力.

數(shù)學(xué)建模在高中課堂教學(xué)中的路徑形成

對于一線教師來說，認(rèn)同數(shù)學(xué)建模的意義只是教學(xué)實(shí)踐的第一步，作為最關(guān)注“可操作性”的群體，如何尋找到數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)課堂上的有效路徑，是一個更為實(shí)際的問題. 從學(xué)生思維的角度來看，筆者注意到數(shù)學(xué)模型建立的過程，實(shí)際上就是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，實(shí)現(xiàn)自身數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展，進(jìn)而用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程. 因此可以說，數(shù)學(xué)知識發(fā)生的過程越豐富，學(xué)生在數(shù)學(xué)模型形成的過程中體驗感越強(qiáng)，那么數(shù)學(xué)建模的路徑就越清晰.

有數(shù)學(xué)同行嘗試通過數(shù)學(xué)實(shí)驗來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，取得了較好的效果. 相關(guān)的研究認(rèn)為，數(shù)學(xué)實(shí)驗的核心就是學(xué)生主動學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，積極參與數(shù)學(xué)建模中的動手實(shí)驗，在實(shí)驗中感知并發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，在建立模型與求解模型中自主獨(dú)立思考、解決問題，給學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、方法、思想解決問題的鍛煉機(jī)會. 數(shù)學(xué)實(shí)驗可以給學(xué)生提供一個更加真實(shí)的、能夠激活思維的學(xué)習(xí)情境，而事實(shí)上數(shù)學(xué)建模也確實(shí)需要依賴真實(shí)情境. 只有在真實(shí)的情境當(dāng)中，才能讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)源于生活，認(rèn)識到知識和技能在未來的學(xué)習(xí)和生活中的價值，從而在數(shù)學(xué)知識與問題情境的有效互動中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的能力［2］. 這里來看一個教學(xué)案例：

人教A版高一數(shù)學(xué)必修一中，有“指數(shù)函數(shù)”這一內(nèi)容. 對于這一內(nèi)容的教學(xué)，可以采用數(shù)學(xué)建模的思路去進(jìn)行，這是因為函數(shù)本身是一個模型，作為函數(shù)下位概念的指數(shù)函數(shù)，既有函數(shù)的模型特征，又有屬于自身的模型特征. 如果能夠讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)建模的過程，形成關(guān)于指數(shù)函數(shù)的全面認(rèn)識，那么這樣的一個數(shù)學(xué)建模過程，就可以讓學(xué)生對指數(shù)函數(shù)有更加深刻的理解，也可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過程中，更好地體驗數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的其他要素. 基于這樣的目的，筆者重點(diǎn)設(shè)計了這樣幾個教學(xué)環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)一：借助實(shí)際問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中初步感知指數(shù)函數(shù).

這里可以借助教材上的A，B兩個景區(qū)，面對旅游人數(shù)不斷增加，采取不同措施的實(shí)際問題，來讓學(xué)生分析某一時間段內(nèi)A，B兩個景區(qū)的游客人次、逐年增加量（具體數(shù)據(jù)略），發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律.

這些問題來自現(xiàn)實(shí)生活，同時又與數(shù)學(xué)密切相關(guān)，學(xué)生通過問題的介紹，自然可以發(fā)現(xiàn)A，B兩個景區(qū)采用不同措施后，游客人次（單位：萬次）、年增加量（單位：萬次）以及時間（單位：年）之間存在著一定的關(guān)系，但具體是什么關(guān)系，學(xué)生不可能一目了然，需要通過這一實(shí)際例子的分析，來得出指數(shù)函數(shù)模型，這必須在下一個教學(xué)環(huán)節(jié)做出努力.

環(huán)節(jié)二：基于問題解決的思路，通過對已有數(shù)學(xué)知識尤其函數(shù)知識的激活，尋找到發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律的方法.

既然上述實(shí)際問題已經(jīng)指出了游客人次、逐年增加量以及時間之間存在著變化關(guān)系，那么要讓這些關(guān)系凸顯出來，學(xué)生面前的選擇無非是解析式與圖象. 很顯然，當(dāng)只有數(shù)據(jù)時，解析式的發(fā)現(xiàn)是很困難的，而借助圖象來初步判斷變化關(guān)系，這是比較常用的方法. 于是多數(shù)學(xué)生就會想到用描點(diǎn)法作圖，也就是以時間為橫軸，以游客人次、逐年增加量為縱軸，然后將給出的數(shù)據(jù)通過找點(diǎn)的方法，在平面直角坐標(biāo)系上體現(xiàn)出來，最后用平滑的曲線將它們連接起來，就可以發(fā)現(xiàn)變量間的函數(shù)關(guān)系.

由于實(shí)際問題所給出的數(shù)據(jù)的特殊性，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)A景區(qū)的游客人次與時間是線性增長的關(guān)系，這是因為畫出來的圖象是一條直線；而B景區(qū)的游客人次與時間則是非線性增長的關(guān)系.

當(dāng)學(xué)生有了這一認(rèn)識后，還有一個重要的問題就是更加精確地發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，這意味著解析式的探究. 這里仍然要借助數(shù)據(jù)的分析來進(jìn)行——此時主要分析的對象是B景區(qū). 這個過程需要學(xué)生的高階思維，需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)相鄰年份間的游客人次之比接近于定值. 對于多數(shù)學(xué)生而言，這一發(fā)現(xiàn)是存在困難的，這些困難實(shí)際上也就是數(shù)學(xué)建模的困難. 要突破這一難點(diǎn)，可以讓學(xué)生同時觀察數(shù)據(jù)以及圖象，尤其是從圖象的變化趨勢上，去猜想數(shù)據(jù)間可能存在的關(guān)系. 只要學(xué)生發(fā)現(xiàn)“相鄰年份間的游客人次之比接近于定值”，那就可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：如果經(jīng)過x年后的游客人次為y，那么y與x之間的關(guān)系就是y=ax. 當(dāng)這一關(guān)系被發(fā)現(xiàn)，指數(shù)函數(shù)的圖形就出現(xiàn)了.

環(huán)節(jié)三：用數(shù)學(xué)語言進(jìn)一步完善指數(shù)函數(shù).

很顯然，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)y=ax這一關(guān)系式的時候，一方面會意識到y(tǒng)與x之間存在著函數(shù)關(guān)系，另一方面會發(fā)現(xiàn)這一函數(shù)關(guān)系與此前所學(xué)過的函數(shù)并不相同. 既然是一個新的函數(shù)，那么就要從解析式、定義域、值域、圖象等方面去描述. 這對于絕大多數(shù)學(xué)生而言，已經(jīng)形成了模式化的認(rèn)識，因此其后的教學(xué)就是引導(dǎo)學(xué)生完成這些任務(wù)，建立起關(guān)于指數(shù)函數(shù)的全面理解. 如此指數(shù)函數(shù)這一模型也就建立起來了.

數(shù)學(xué)建模在高中課堂教學(xué)中的教學(xué)前景

通過上述案例可以發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷一個數(shù)學(xué)建模的過程，可以最大程度上激活學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識，并且讓學(xué)生擁有一個整合原有數(shù)學(xué)知識、獲得新的數(shù)學(xué)知識的體驗過程. 這種過程對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，既是學(xué)習(xí)自主性的充分發(fā)揮，又可能獲得良好的溝通體驗，從而在發(fā)展知識理解與運(yùn)用能力的同時，保證數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的順利落地.

既然數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位如此重要，那么在日常的教學(xué)當(dāng)中，就應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生擁有更多的數(shù)學(xué)建模的體驗. 很顯然，這一教學(xué)進(jìn)程的主導(dǎo)權(quán)在于教師，教師能否認(rèn)同數(shù)學(xué)建模的意義與價值，是否愿意解放學(xué)生，并且讓學(xué)生去體驗數(shù)學(xué)建模的過程，決定著數(shù)學(xué)建模能否在日常的課堂教學(xué)當(dāng)中順利落地. 如同前面所闡述的那樣，最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是教師要解放思想，要形成關(guān)于數(shù)學(xué)建模的普遍認(rèn)同，要認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模是解決生活問題的重要手段，掌握有效的數(shù)學(xué)建模方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，是高中數(shù)學(xué)課程的基本目標(biāo)［3］. 只有有了這些認(rèn)識，數(shù)學(xué)建模的落地才有保證.

此時進(jìn)一步展望數(shù)學(xué)建模，筆者認(rèn)為，未來的高中數(shù)學(xué)教學(xué)一定是圍繞數(shù)學(xué)建模而展開的，數(shù)學(xué)建模也一定會因為其綜合性、承上啟下性，而成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心要素. 總而言之，數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一［4］. 未來的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，可以數(shù)學(xué)建模為核心，去帶動其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)組成要素的落地，從而讓學(xué)生體驗一個從知識走向素養(yǎng)的學(xué)習(xí)過程.

參考文獻(xiàn)：

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