以史為線，普遍聯(lián)系，滲透文化

［摘? 要］ 以數(shù)學(xué)文化為線索設(shè)計(jì)“復(fù)數(shù)”復(fù)習(xí)課教學(xué)，通過(guò)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示、幾何表示和三角表示等內(nèi)容建立代數(shù)、幾何、三角等不同領(lǐng)域知識(shí)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ HPM；復(fù)數(shù)；教學(xué)設(shè)計(jì)；高三復(fù)習(xí)課

作者簡(jiǎn)介：方倩（1993—），碩士研究生，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究，曾獲華東師范大學(xué)基礎(chǔ)教育學(xué)科教研聯(lián)盟高中教師教學(xué)比賽一等獎(jiǎng)、華東師范大學(xué)研究生國(guó)家獎(jiǎng)學(xué)金.

設(shè)計(jì)背景與思路

2018年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出，“在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng).”［1］教育部考試中心發(fā)布的《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》增加了對(duì)數(shù)學(xué)文化的要求［2］.

復(fù)習(xí)課是一種常見(jiàn)的課型，它的特點(diǎn)是知識(shí)的系統(tǒng)化和遷移訓(xùn)練，歸納梳理所學(xué)知識(shí)，從而在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)系統(tǒng)，同時(shí)靈活運(yùn)用所掌握的知識(shí)去解決相關(guān)問(wèn)題. 高三的復(fù)習(xí)課不是簡(jiǎn)單的知識(shí)回顧，而是使學(xué)生的認(rèn)知水平、數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)能夠螺旋上升的復(fù)習(xí). 在新課標(biāo)和高考改革的背景下，在高三專(zhuān)題復(fù)習(xí)課中以數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體適當(dāng)巧妙地融入數(shù)學(xué)文化，以深化理解作為目標(biāo)，有助于提升學(xué)生的綜合能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

復(fù)數(shù)歷史與應(yīng)用，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的動(dòng)態(tài)性，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化. 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示、幾何表示和三角表示等內(nèi)容建立了代數(shù)、幾何、三角等不同領(lǐng)域知識(shí)之間的聯(lián)系［3］，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部的普遍關(guān)系. 但學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)知識(shí)后，很多學(xué)生認(rèn)為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和復(fù)數(shù)的幾何形式是完全不同的兩個(gè)概念，且兩者之間沒(méi)有關(guān)系［4］. 大部分學(xué)生能夠解答與高考卷類(lèi)似的試題，卻無(wú)法舉一反三，不能靈活運(yùn)用學(xué)過(guò)的復(fù)數(shù)幾何形式解答題目，沒(méi)有真正理解復(fù)數(shù)概念［5］.

鑒于此，筆者基于學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，以數(shù)學(xué)文化為線索設(shè)計(jì)“復(fù)數(shù)”復(fù)習(xí)課教學(xué). 擬定教學(xué)目標(biāo)如下：①通過(guò)知識(shí)回顧，在歷史脈絡(luò)中整體性掌握和鞏固復(fù)數(shù)的代數(shù)表示、幾何意義和四則運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)；②運(yùn)用復(fù)數(shù)知識(shí)解決解析幾何等數(shù)學(xué)問(wèn)題，辨析復(fù)數(shù)與向量的聯(lián)系與區(qū)別，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的普遍關(guān)系；③了解復(fù)數(shù)的三角表示，以及復(fù)數(shù)知識(shí)與其他學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)文化，體會(huì)復(fù)數(shù)的學(xué)科意義與應(yīng)用價(jià)值.

教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

教學(xué)設(shè)計(jì)思路如圖1所示.

1. 回溯歷史，夯實(shí)基礎(chǔ)

上課伊始，教師播放微視頻帶領(lǐng)學(xué)生回顧數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入過(guò)程，復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示.

師：從視頻中數(shù)系的擴(kuò)充，可以發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)分為哪兩大類(lèi)？

生1：實(shí)數(shù)和虛數(shù).

師：實(shí)數(shù)又可分為什么？虛數(shù)呢？

生2：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)；純虛數(shù)和非純虛數(shù).

PPT上同步呈現(xiàn)知識(shí)點(diǎn).

師：我們是用怎樣的代數(shù)形式來(lái)表示復(fù)數(shù)的呢？

生3：z=a+bi.

師：其中a，b都為實(shí)數(shù). a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部. 實(shí)部和虛部分別記作什么呢？

生4：實(shí)部a記作Re（z），虛部b記作Im（z）.

師：非常好！虛部Im是“虛數(shù)”（imaginary number）英語(yǔ)單詞的前兩個(gè)字母. 17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（R. Descartes，1596—1650）將虛數(shù)稱(chēng)為“想象中的數(shù)”. 歷史上，最早給復(fù)數(shù)幾何解釋的應(yīng)該是英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯（J.Wallis，1616—1703），今天給我們看到圖形表示的是挪威測(cè)量員韋塞爾（C.Wessel，1745—1818）.

教師通過(guò)微視頻呈現(xiàn)復(fù)數(shù)幾何意義的相關(guān)史料，讓學(xué)生體驗(yàn)復(fù)數(shù)從代數(shù)表示到幾何表示的過(guò)程，接受復(fù)數(shù)幾何意義的產(chǎn)生.

師：復(fù)數(shù)產(chǎn)生以后，因?yàn)闊o(wú)法實(shí)際表示，數(shù)學(xué)家還沒(méi)有接受虛數(shù)的存在. 因此，想要接受復(fù)數(shù)，就要知道其幾何表示. 我們知道實(shí)數(shù)可以在一維的數(shù)軸中表示出來(lái)，那么復(fù)數(shù)可以表示在數(shù)軸上嗎？如果不可以，我們應(yīng)該如何操作呢？

生5：再添加一條軸.

師：非常好！韋塞爾為了解決平面與球面多邊形的問(wèn)題，在實(shí)軸的基礎(chǔ)上添加了一條虛軸. 復(fù)數(shù)的幾何表示最終是由高斯（C. F. Gauss，1777—1855）完善的. 高斯不僅將復(fù)數(shù)表示為復(fù)平面上的一點(diǎn)，而且闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法.

師：復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）可由有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）唯一確定，若將此放在直角坐標(biāo)系中，可看作什么？

師：非常棒！也就是說(shuō)將集合A表示的圖象先擴(kuò)大倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，就可以得到集合B表示的圖象. 可見(jiàn)，用三角形式解決復(fù)數(shù)相乘問(wèn)題就很簡(jiǎn)便了.

說(shuō)明 例4旨在引入復(fù)數(shù)三角表示的應(yīng)用. 通過(guò)復(fù)數(shù)的三角表示及幾何運(yùn)算從新的幾何角度切入，能更快更好地解決此類(lèi)題目，并在復(fù)習(xí)過(guò)程中通過(guò)其運(yùn)算意義，加強(qiáng)學(xué)生理解復(fù)數(shù)的幾何意義. 除此之外，從代數(shù)角度切入，亦可解決本題，將其作為學(xué)生的課后作業(yè)，讓學(xué)生在解決過(guò)程中對(duì)比上述兩種方法，深刻體會(huì)復(fù)數(shù)三角表示的便利以及復(fù)數(shù)的本質(zhì).

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將“復(fù)數(shù)”置于必修課程主題三“幾何與代數(shù)”內(nèi)，要求學(xué)生掌握復(fù)數(shù)的表示、運(yùn)算與幾何意義；復(fù)數(shù)的三角表示作為新增的選學(xué)內(nèi)容，將平面向量、三角函數(shù)、解析幾何與復(fù)數(shù)完美地融合在一起，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到幾何與代數(shù)之間的密切關(guān)系［6］.

4. 課堂小結(jié)，感悟價(jià)值

教師帶領(lǐng)學(xué)生從知識(shí)層面、思想方法層面和情感價(jià)值層面小結(jié)本節(jié)課.

（1）知識(shí)層面：以史為線，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示、幾何表示與三角表示，聯(lián)絡(luò)解析幾何、向量以及三角函數(shù)等知識(shí)，形成并完善數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；（2）思想方法層面：融入數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想；（3）情感價(jià)值層面：復(fù)數(shù)并不是虛無(wú)縹緲的數(shù)，現(xiàn)今已被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、信號(hào)分析等學(xué)科. 在復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家哈密頓構(gòu)造了四元數(shù)模型，從而產(chǎn)生了物理學(xué)中著名的麥克斯韋方程，陳省身說(shuō)道：“沒(méi)有復(fù)數(shù)，便沒(méi)有電磁學(xué)，便沒(méi)有量子力學(xué)，便沒(méi)有近代文明. ”讓學(xué)生了解數(shù)系為何擴(kuò)充，復(fù)數(shù)在電磁學(xué)、量子力學(xué)等領(lǐng)域的價(jià)值，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

最后，小結(jié)時(shí)學(xué)生給出了令人驚喜的回答：“數(shù)系從實(shí)數(shù)系擴(kuò)充至復(fù)數(shù)系的過(guò)程，就如世界觀決定方法論，掌握的知識(shí)不一樣，解決的問(wèn)題也就不同了. ”

結(jié)語(yǔ)

本節(jié)課以史為線重構(gòu)復(fù)數(shù)的發(fā)展歷程. 首先，運(yùn)用附加式展示復(fù)數(shù)的歷史微視頻，回顧數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，使學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的異同，揭示復(fù)數(shù)的二元性；其次，運(yùn)用順應(yīng)式介紹歐拉公式，引導(dǎo)學(xué)生自主探索復(fù)數(shù)的三角表示以及四則運(yùn)算規(guī)律.

用復(fù)數(shù)的幾何意義將解析幾何、向量和三角等知識(shí)有機(jī)聯(lián)系在一起，構(gòu)建知識(shí)之諧；以?xún)蓚€(gè)微視頻為載體，帶領(lǐng)學(xué)生走過(guò)復(fù)數(shù)發(fā)展、完善兩個(gè)階段，介紹著名的歐拉公式，感受數(shù)學(xué)的博大精深，展示數(shù)學(xué)文化之魅；結(jié)合三角內(nèi)容的復(fù)習(xí)，探究復(fù)數(shù)的三角表示，讓學(xué)生體會(huì)探究之樂(lè)；從復(fù)數(shù)的代數(shù)表示、幾何意義和三角表示的角度去解決例題，產(chǎn)生不同的解題方法（一題多解），培養(yǎng)學(xué)生探究與解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)方法之美；在例題的講解中，用復(fù)數(shù)的向量表示和三角表示解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)，同時(shí)提升運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的能力；學(xué)生在復(fù)數(shù)的發(fā)展過(guò)程中，數(shù)系的擴(kuò)充一步步解決了小的數(shù)系中不能解決的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神，體現(xiàn)德育之效.

復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)課建立在學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)有一定了解的基礎(chǔ)上，但是對(duì)復(fù)數(shù)實(shí)際意義、本質(zhì)的理解還浮在表面上. 本節(jié)課總體上完成了教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何表示能建立起一定的聯(lián)系，并能轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題求解；通過(guò)探究復(fù)數(shù)的三角表示，深化理解復(fù)數(shù)概念；數(shù)學(xué)史的融合給復(fù)習(xí)課注入了新鮮的血液，數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)發(fā)展讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化的魅力，激勵(lì)學(xué)生遇到困難時(shí)能站在更高的角度去思考問(wèn)題. 在教學(xué)中，欲借助歷史來(lái)設(shè)計(jì)課堂探究，需要對(duì)數(shù)學(xué)史料有深刻的理解和把握.作為教師，須知其然也應(yīng)知其所以然，路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索，幫助學(xué)生突破原有桎梏，真正理解并接受復(fù)數(shù).

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