結(jié)構(gòu)不良問題引入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的價(jià)值與途徑

王錦秋 陳小紅 韋煜

［摘? 要］ 闡釋結(jié)構(gòu)不良問題的理論基礎(chǔ)，從發(fā)展高階思維、促進(jìn)深度學(xué)習(xí)、培養(yǎng)核心素養(yǎng)及提高問題解決能力等方面分析結(jié)構(gòu)不良問題引入高中數(shù)學(xué)課堂的價(jià)值. 提出結(jié)構(gòu)不良問題融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的三個(gè)途徑：基于結(jié)構(gòu)不良問題，開展探究學(xué)習(xí)；改編結(jié)構(gòu)良好問題，開展習(xí)題教學(xué)；以結(jié)構(gòu)不良問題為核心，開展專題復(fù)習(xí).

［關(guān)鍵詞］ 結(jié)構(gòu)不良問題；高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)

引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力［1］. 2020年，教育部考試中心研制的《中國高考評價(jià)體系》出版發(fā)行. 近年來，基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》與《中國高考評價(jià)體系》，高考出現(xiàn)了多選題、結(jié)構(gòu)不良問題等創(chuàng)新題型. 結(jié)構(gòu)不良問題由于其獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)引起了大量一線數(shù)學(xué)教師的關(guān)注，但目前有些一線數(shù)學(xué)教師對結(jié)構(gòu)不良問題的認(rèn)識還停留在表層，沒有正確認(rèn)識到結(jié)構(gòu)不良問題的核心價(jià)值所在. 這些一線數(shù)學(xué)教師認(rèn)為，結(jié)構(gòu)不良問題僅僅是一種新的題型，只是將知識點(diǎn)集成到一個(gè)題目中，提供了多種解題途徑而已；對結(jié)構(gòu)不良問題的處理方式也限于通過訓(xùn)練讓學(xué)生適應(yīng)這種題型，沒有深入分析結(jié)構(gòu)不良問題的教育價(jià)值和教學(xué)功能. 因此，分析結(jié)構(gòu)不良問題引入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的價(jià)值和途徑是很有必要的.

認(rèn)知心理學(xué)家將問題劃分為結(jié)構(gòu)良好問題和結(jié)構(gòu)不良問題［2］. 結(jié)構(gòu)不良問題的特點(diǎn)是，其具有多種解決方法、解決途徑和少量確定性條件. 這些條件不易操作，且包括某些不確定性因素［3］. 針對復(fù)雜和結(jié)構(gòu)不良領(lǐng)域中學(xué)習(xí)的本質(zhì)問題，斯皮羅等人提出了認(rèn)知彈性理論. 認(rèn)知彈性，即以多種方式重建自己的知識，以便適應(yīng)復(fù)雜多變的情境領(lǐng)域［4］. 斯皮羅等人將學(xué)習(xí)分為初級學(xué)習(xí)與高級學(xué)習(xí). 初級學(xué)習(xí)主要涉及結(jié)構(gòu)良好領(lǐng)域，高級學(xué)習(xí)則主要涉及結(jié)構(gòu)不良領(lǐng)域. 高級學(xué)習(xí)需要學(xué)生把握概念的復(fù)雜性，并在具體情境中靈活運(yùn)用［5］，喬納森在此基礎(chǔ)上提出了知識獲得的三個(gè)階段（如圖1所示）.

結(jié)構(gòu)不良問題引入高中數(shù)學(xué)課堂的價(jià)值

1.解決結(jié)構(gòu)不良問題是發(fā)展學(xué)生高階思維的重要方式

高階思維是發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動或較高層次的認(rèn)知能力，如分析、綜合、評價(jià)等［6］，主要解決的是結(jié)構(gòu)不良問題，反映了學(xué)習(xí)者的問題求解能力、決策能力、批判性思維和創(chuàng)造性思維能力［7］. 結(jié)構(gòu)不良問題往往涉及諸多知識背景及數(shù)量關(guān)系，學(xué)生在自主分析問題的條件、結(jié)論以及條件與結(jié)論之間的關(guān)系的過程中，必然會調(diào)動思維，展開聯(lián)想，建構(gòu)問題空間. 學(xué)生需要分析問題所給的信息，結(jié)合自身的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)篩選合適的條件. 例如遇到條件不足、結(jié)論確定的結(jié)構(gòu)不良問題時(shí)，學(xué)生需要思考補(bǔ)足什么條件才能解決該問題，此時(shí)“執(zhí)果索因”就顯得較為有效，同時(shí)學(xué)生還需要思考“索什么因”；遇到具有多種解決路徑的結(jié)構(gòu)不良問題時(shí)，學(xué)生需要比較各條解決路徑間的便捷性、有效性，有助于發(fā)展學(xué)生的批判性思維；遇到結(jié)論開放的結(jié)構(gòu)不良問題時(shí)，此時(shí)問題的結(jié)論（答案）多樣化，學(xué)生需要結(jié)合自身情況發(fā)散思維，建構(gòu)合理、便捷的問題答案. 解決結(jié)構(gòu)不良問題可以促使學(xué)生參與思考、分析、評價(jià)等思維活動，學(xué)生的高階思維自然能得到發(fā)展. 因此，解決結(jié)構(gòu)不良問題是發(fā)展學(xué)生高階思維的重要方式.

2.結(jié)構(gòu)不良問題是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有效載體

深度學(xué)習(xí)是一種基于高階思維發(fā)展的理解性學(xué)習(xí)［8］. 解決復(fù)雜現(xiàn)實(shí)問題是深度學(xué)習(xí)的價(jià)值所在［9］. 一般來說，復(fù)雜現(xiàn)實(shí)的問題大多是結(jié)構(gòu)不良問題. 解決這些問題不僅需要掌握相應(yīng)的知識，更需要掌握方法、原理的切適性，能批判地、正確地分析問題的結(jié)構(gòu)要素間的邏輯關(guān)系. 結(jié)構(gòu)不良問題的特點(diǎn)使得學(xué)生在解決結(jié)構(gòu)不良問題的過程中需要綜合知識，在實(shí)際的問題情境中掌握問題的本質(zhì)，找準(zhǔn)問題的關(guān)鍵點(diǎn)，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)囊?guī)律和法則，使用合適的策略、方法. 這個(gè)過程能有效促進(jìn)學(xué)生批判地思考問題及建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí). 因此，結(jié)構(gòu)不良問題是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有效載體.

3.結(jié)構(gòu)不良問題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要抓手

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，進(jìn)行“數(shù)學(xué)問題解決”是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑. 對于結(jié)構(gòu)良好問題，學(xué)生只需要結(jié)合自己已有知識和經(jīng)驗(yàn)做出抉擇，采取特定的解題步驟，就可以得到確切答案［10］. 但解決問題不僅是學(xué)生對所學(xué)知識與規(guī)則的簡單應(yīng)用，而且是學(xué)生對自我認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與問題情境的有機(jī)組合，是在解決過程中建立新規(guī)則，發(fā)現(xiàn)新原理，獲得新策略的過程［11］. 結(jié)構(gòu)不良問題具有解決方案多樣、結(jié)構(gòu)開放、鞏固知識與培養(yǎng)能力的特點(diǎn). 結(jié)構(gòu)不良問題的解決過程具備一定的不確定性和挑戰(zhàn)性，這與學(xué)生對數(shù)學(xué)的固有認(rèn)知相矛盾——在學(xué)生認(rèn)知中，數(shù)學(xué)問題具有唯一確定的答案、明晰的問題條件，解決方法單一，結(jié)構(gòu)不良問題給學(xué)生提供了一個(gè)認(rèn)知相矛盾的平臺. 這樣的矛盾能有效激發(fā)學(xué)生的求知欲，幫助學(xué)生深入理解問題的本質(zhì)，使學(xué)生知道數(shù)學(xué)也具有不確定性. 從矛盾到再認(rèn)識、統(tǒng)一的過程中，可以更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 因此，結(jié)構(gòu)不良問題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要抓手.

4.解決結(jié)構(gòu)不良問題是培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的重要途徑

問題解決能力是衡量個(gè)體智慧和能力高低的指標(biāo)之一. 目前，在高中數(shù)學(xué)教育中，學(xué)生面對的問題仍然以結(jié)構(gòu)良好問題為主，開放性問題與結(jié)構(gòu)不良問題很少. 較于結(jié)構(gòu)良好問題，結(jié)構(gòu)不良問題在問題結(jié)構(gòu)、問題背景方面更加復(fù)雜，解決途徑更加多樣. 在以往的教學(xué)過程中，學(xué)生所進(jìn)行的問題解決活動大多是針對結(jié)構(gòu)良好問題而開展的，主要是對問題解決的關(guān)注，對問題發(fā)現(xiàn)和問題提出的關(guān)注不足. 結(jié)構(gòu)不良問題靈活的結(jié)構(gòu)，利于學(xué)生多角度思考，發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵點(diǎn)，使學(xué)生參與到問題的建構(gòu)過程中，增加學(xué)生對數(shù)學(xué)的體驗(yàn)以及對問題的認(rèn)識. 通過結(jié)構(gòu)不良問題的解決，可以提高學(xué)生問題解決能力. 因此，解決結(jié)構(gòu)不良問題是培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力的重要途徑.

結(jié)構(gòu)不良問題引入高中數(shù)學(xué)課堂的途徑

1. 基于結(jié)構(gòu)不良問題，開展數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是學(xué)生在教師有效的啟發(fā)指引下進(jìn)行自主建構(gòu)的數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)［12］. 問題是數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的重要載體，數(shù)學(xué)探究的結(jié)論可以是封閉或者開放的，但數(shù)學(xué)探究的過程一定是開放的. 數(shù)學(xué)探究是基于問題的探究，是在教師的引導(dǎo)下學(xué)生的自主探究，而不是學(xué)生胡亂無目的的探究. 學(xué)生要在教師的指導(dǎo)下開展探究活動，獲取數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維. 數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)材料源于書本以及學(xué)生學(xué)習(xí)、生活和參加社會活動的經(jīng)驗(yàn). 探究方法基于學(xué)生個(gè)體的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以根據(jù)具體的問題情境、自身的知識儲備和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)個(gè)性化進(jìn)行探究學(xué)習(xí). 結(jié)構(gòu)不良問題具備可調(diào)節(jié)的開放性，多種解決途徑以及結(jié)論（答案），是進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的優(yōu)良載體，能較好地承載探究學(xué)習(xí)所需要的條件. 學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)時(shí)，可根據(jù)具體情境，采取合適的方法獲取信息，分析問題，靈活選擇合適的路徑解決問題.

例如，在“基本不等式”的教學(xué)中，由a2+b2≥2ab推導(dǎo)出≥（a>0，b>0）（基本不等式）后，教師可以組織學(xué)生開展基本不等式的證明活動，讓學(xué)生自主選擇不同方法（如作差比較法、分析法、綜合法、幾何法等）完成基本不等式的證明，讓學(xué)生自主建構(gòu)基本不等式的知識圖式. 同時(shí)，教師可以將數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)過程，介紹國內(nèi)外有關(guān)基本不等式的證明方法和相關(guān)歷史，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

2. 改編結(jié)構(gòu)良好問題，開展習(xí)題教學(xué)

習(xí)題課是教師根據(jù)教學(xué)要求和學(xué)生需要，在課堂上進(jìn)行范例研究、變式訓(xùn)練，鞏固學(xué)生所學(xué)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)解題策略的課型［13］. 因此，習(xí)題課是高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的重要課型. 以往傳統(tǒng)的習(xí)題課所使用的都是結(jié)構(gòu)良好問題，條件不多不少，解決方法單一，主要功能是鞏固知識. 但結(jié)構(gòu)不良問題不僅兼顧結(jié)構(gòu)良好問題的知識鞏固功能，還具有可調(diào)節(jié)的開放性，可以更加有效地調(diào)動學(xué)生的積極性與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣. 此外，結(jié)構(gòu)良好問題與結(jié)構(gòu)不良問題可以相互轉(zhuǎn)化，可以根據(jù)學(xué)生實(shí)際作答情況進(jìn)行調(diào)整. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引入結(jié)構(gòu)不良問題，是對傳統(tǒng)習(xí)題教學(xué)的升級再造. 教師可以針對問題結(jié)構(gòu)進(jìn)行改編，使問題結(jié)構(gòu)變得“模糊”，將結(jié)構(gòu)良好問題轉(zhuǎn)化成結(jié)構(gòu)不良問題.

例如（人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊的第二章第三節(jié)習(xí)題第5題），已知集合A=｛xx2－16<0｝，B=｛xx2－4x+3>0｝，求A∪B.

這是一道典型的結(jié)構(gòu)良好問題，學(xué)生可先改變集合A與集合B的表達(dá)形式，再求兩集合的并集即可. 教師在此可通過調(diào)整問題的條件或結(jié)論將該問題轉(zhuǎn)化成結(jié)構(gòu)不良問題，一是更改問題的條件：可以考慮更改集合A，B的表達(dá)形式或加入新的集合；二是更改問題的結(jié)論：可以構(gòu)造多個(gè)結(jié)論任學(xué)生自行挑選并求解.

變式1：已知集合A=｛xx2－16<0｝，B=｛xx2－4x+3>0｝，C=｛xx2－x－2<0｝，在集合A，B，C中任選兩個(gè)，求這兩個(gè)集合的并集.

變式2：已知集合A=｛xx2－16<0｝，B=｛xx2－4x+3>0｝，U為全集，在結(jié)論①A∪B，②A∩B，③A∪CUB，④A∩CUB，⑤CUA∪B中任選三個(gè)求解.

3. 開展以結(jié)構(gòu)不良問題為核心的專題復(fù)習(xí)課

復(fù)習(xí)課是為了梳理、鞏固已學(xué)知識和方法，促進(jìn)知識系統(tǒng)化，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題能力的一種課型［14］. 從結(jié)構(gòu)不良的視角設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)課，有助于學(xué)生從多角度、多層次認(rèn)識數(shù)學(xué)知識，有助于增強(qiáng)學(xué)生“四基”，培養(yǎng)學(xué)生“四能”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展. 在專題復(fù)習(xí)課中引入結(jié)構(gòu)不良問題，是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的轉(zhuǎn)型進(jìn)階. 教師可以在教學(xué)活動的組織方面提出結(jié)構(gòu)不良問題，讓學(xué)生多角度思考，尋找知識點(diǎn)間的聯(lián)系，還可以在練習(xí)鞏固階段將以往的結(jié)構(gòu)良好問題更改為結(jié)構(gòu)不良問題，有利于建立學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò).

例如，“空間直線、平面的平行”專題復(fù)習(xí)課.

【知識梳理】

（1）直線與直線平行的判定定理與性質(zhì)定理（具體內(nèi)容略）；

（2）直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理（具體內(nèi)容略）；

（3）平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理（具體內(nèi)容略）.

【知識結(jié)構(gòu)梳理】

“空間直線、平面的平行”專題知識結(jié)構(gòu)如圖2所示.

【結(jié)構(gòu)不良問題及練習(xí)】

問題1：怎么判定兩條空間直線平行？

問題2：怎么判定一條直線與一個(gè)平面平行？

問題3：怎么判定兩個(gè)平面平行？

問題1、問題2、問題3均有多個(gè)答案，均為結(jié)構(gòu)不良問題. 問題1可從以下三個(gè)角度回答：一是從基本事實(shí)出發(fā)，即可得到線線平行；二是從線面平行的性質(zhì)定理出發(fā)，可以得到該直線與過該直線的平面和此平面的交線的平行關(guān)系；三是從面面平行的性質(zhì)定理出發(fā)，可以得到第三個(gè)平面與這兩個(gè)平面的交線的平行關(guān)系. 問題2可從以下四個(gè)角度回答：一是從線面平行定義出發(fā)得到線面平行的關(guān)系；二是由線面平行的判定定理得到線面平行的關(guān)系；三是綜合線線平行和兩平行直線確定一個(gè)平面得到線面平行的關(guān)系；四是從面面平行的性質(zhì)出發(fā)，也可以得到線面平行的關(guān)系. 問題3可從以下三個(gè)角度回答：一是面面平行的定義；二是面面平行的判定定理；三是由兩組相交直線分別平行即可得到該相交直線所構(gòu)成的平面平行.

練習(xí)1、練習(xí)2、練習(xí)3分別在問題的解決路徑、條件及證明結(jié)論中設(shè)置了不良結(jié)構(gòu). 學(xué)生可以根據(jù)自身的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)自主選擇不同的解決方案.

練習(xí)1：如圖3所示，在正方體ABCD-ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AD，DD的中點(diǎn)，從“①線線平行”“②線面平行”“③面面平行”中任選一種途徑證明EF∥平面BCC.

練習(xí)2：如圖4所示，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，從①，②，③，④四個(gè)正方體中任選一個(gè)，判斷AB與平面MNP的位置關(guān)系并說明理由.

練習(xí)3：如圖5、圖6所示，在三棱柱ABC-ABC中，E，F(xiàn)，G，H，D，D分別是AB，AC，AB，AC，BC，BC的中點(diǎn)，請?jiān)冖伲趦蓚€(gè)結(jié)論中任選一個(gè)進(jìn)行證明.

①平面EFA∥平面BCHG；②平面ABD∥平面ACD.

【總結(jié)歸納】

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納“空間直線、平面的平行”的知識結(jié)構(gòu)，再次強(qiáng)化學(xué)生對本節(jié)知識的認(rèn)識，建立更為清晰的知識網(wǎng)絡(luò)，將碎片化的知識聯(lián)系起來.

結(jié)語

結(jié)構(gòu)不良問題對發(fā)展學(xué)生高階思維、促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及提高學(xué)生問題解決能力具有重要價(jià)值. 教師應(yīng)將結(jié)構(gòu)不良問題融入數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)揮結(jié)構(gòu)不良問題的教育價(jià)值、教學(xué)功能，助力學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與問題解決能力的提高.

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