具身操作，深度體驗，感悟量感

【摘? ?要】從長度到面積，是從對一維長度的度量走向對二維面積的度量，是學生認識上的一次飛躍。以人教版教材三年級下冊“面積”單元教學為例，可通過“具身操作、自主探究、想象累加、估測應用”等教學策略，讓學生親歷過程，深度體驗，從“會而不懂”走向“既懂又會”，積累“量”的經驗，讓量感內化于心，自然生長，形成素養。

【關鍵詞】操作；體驗；量感；本質

量感主要是指對事物的可測量屬性和大小關系的直觀感知，小學階段主要包括對時間、質量、長度、面積和體積等進行度量的感性認識。《義務教育數學課程標準（2022年版）》中“圖形與幾何”領域將“圖形的認識”與“圖形的測量”整合為“圖形的認識與測量”主題。“圖形的認識與測量”包括立體圖形和平面圖形的認識、線段長度的測量，以及圖形的周長、面積和體積的計算，等等。教學時要強調整體認識圖形與測量，凸顯圖形認識與測量的關聯。從一維空間的長度、二維空間的面積到三維空間的體積，圖形測量本質上就是確定被測物的大小。

人教版教材三年級下冊的“面積”單元內容，具有承上啟下的作用。它是從對一維長度的度量走向對二維面積的度量，是學生認識上的一次飛躍。學好這部分內容，有利于學生把握度量的數學結構，為體積及其他相關內容的學習奠定基礎。從教師的教學實踐與訪談中發現，學生對于物體長度和質量屬性的感悟較強，但對二維空間中“面”的感知較弱。面積教學中普遍存在一些不利于學生量感培養的現象，主要表現在四個方面。一是“面積概念”形成過于倉促，忽視操作，導致學生體悟不深，對“面積”的理解出現偏差；二是“面積單位”建立缺乏活動，忽視探究，導致學生體驗不足，對“單位”的掌握流于形式；三是“計算公式”推導缺失過程，忽視推理，導致學生體會不夠，對“公式”的應用簡單機械；四是“面積量感”培養脫離情景，忽視實際，導致學生感悟不到，對“問題”的解決估測失當。應如何發展學生關于“面積”的量感，促進學生空間觀念的養成呢？

一、具身操作，建立“面積”表象

量感不是與生俱來的，量感的形成需要經歷不斷“悟”的過程。學生需要在學習、實踐中不斷積累經驗，逐步形成和發展量感。學生對自己親身參與、動手操作的活動會有深刻的印象，教師要通過教學讓學生親自體驗事物屬性，親身經歷體悟過程，幫助他們建立概念表象，深化概念知覺。因此，教學中應重視開展操作活動，給予學生充分觀察、操作、思考和體悟的機會，讓他們在具身操作中建立概念表象，在具身體驗中積累經驗，孕育“量感”。

【案例1】“面積的認識”教學

活動一：比一比，誰涂得快？

（1）選一選：請選擇圖1中一個圖形，準備涂色。

（2）涂一涂：將圖形涂滿顏色，先涂完的同學贏。

（3）想一想：我選了幾號圖形？為什么？

學生在涂的過程中感知“面”是有大小的。涂滿的地方有多大，這個圖形就有多大。要想涂得快，就選最小的④號圖形。這里的“大”和“小”，就是平面圖形的面積。

活動二：找一找，摸一摸物體表面的面積。

（1）找一找：在教室里，我看到了哪些物體表面的面積？

（2）摸一摸：摸一摸這些物體表面的面積，我有什么感覺？

（3）說一說：同桌互相判斷，摸到的是物體表面的一周，還是物體表面的大小？

先從學生熟悉的生活例子入手，讓他們在摸一摸的過程中強化認知與感悟。如數學書封面的大小就是數學書封面的面積。數學書上不止一個面，因此也不只有一個面積，還有左、右面面積，前、后面面積和底面積。再借助課件舉例進一步了解面積，如荷葉面的面積，橘子表面的面積等。讓學生感知到物體的表面有平面，也有曲面，有規則的，也有不規則的，在具身操作與體悟中建立“面積”概念表象。

二、自主探究，形成“單位”概念

度量單位是發展量感的關鍵所在。度量單位是測量物體數學屬性的統一標準，它可以確保測量結果表達的統一化與一致性。量感培養的重點不在于已知度量單位后進行測量，而在于識別數量的屬性，并“創造”或選擇合適的度量單位來進行量化。起始課上的度量單位教學，需要聯系生活，整體設計學習路徑：①在認知沖突中感受統一度量單位的必要性；②定量刻畫“標準單位”；③在深度體驗中深化對“一個單位”表象和“幾個單位”累加的感知；④形成度量單位清晰的表象。

【案例2】“面積的單位”教學

在明確了用小正方形作為單位密鋪的優勢之后，可進行如下教學設計。

探究一：《新華字典》封面有多大？

（1）估一估：《新華字典》封面面積大約有幾個小正方形的大小？

（2）鋪一鋪：用小正方形為單位動手鋪一鋪，我估計得正確嗎？

（3）想一想：如果小正方形面積用1表示，那么封面面積可以用幾表示？

學生在自主探究的過程中體會“以面量面”的思想，進一步感悟“面積的大小就是小正方形的個數”，從而引出面積的基本單位——1平方厘米。接著，引導學生猜測：測量“課桌面的大小”“教室地面的大小”，用1平方厘米作單位合適嗎？進而衍生出其他常用面積單位：1平方分米和1平方米，并尋找身邊與之相關的替代實物，通過摸一摸、比一比、量一量等多種表征方式，形成單位概念表象。

探究二：1平方分米里面有幾個1平方厘米？

（1）猜一猜：用1平方厘米去測量，1平方分米里有幾個1平方厘米？

（2）畫一畫：在1平方分米的正方形中表示出來。

（3）說一說：同桌交流，說說自己的驗證方法是怎樣的。

量感培養要從度量單位的意義及實物測量經驗出發，走向用數對測量結果進行定量刻畫。學生要通過“猜想—驗證”，發現1平方分米=100平方厘米，并明白其中的原理。同理可得：1平方米=100平方分米。學生通過觀察、操作、驗證等，在多維度體驗中有效建立面積單位表象，掌握不同面積單位之間的內在聯系，促使量感不斷沉淀，從感性走向理性，從直覺走向思辨。

三、想象累加，凸顯“測量”本質

量（liàng）是量（liáng）出來的。測量面積的本質是用面積單位測量并計數面積單位個數的過程，即測量對象中包含了多少個這樣的面積單位。教學中，教師應引導學生從“數面積”轉為“計算面積”，體會面積與面積單位之間的關系。學生經歷“用小正方形密鋪—用小正方形半鋪—不用小正方形想象鋪”的學習過程，感知測量面積的本質，延伸與拓展面積概念。在這一過程中，學生不僅能積累數學活動經驗，也能提升量感。

【案例3】“長方形、正方形面積的計算”教學

師（出示圖2）：圖中長方形的面積是多少？

生：7×3=21（cm2）

師：長和寬都是長度，面積是這個面的大小，為什么兩個長度相乘得到的是面積呢？

出示探究任務：這個長方形面積為什么是通過“7×3”得到的？

（1）鋪一鋪：借助1cm2小正方形，在長方形中鋪一鋪。

（2）畫一畫：在長方形中畫一畫，讓人一眼就能看明白。

（3）想一想：還有其他不同的方法嗎？

師生共同反饋梳理。

（1）用小正方形密鋪。長方形的長7厘米，沿長邊能鋪7個面積為1cm2的小正方形；寬3厘米，沿寬邊能鋪3個面積為1cm2的小正方形。3個7表示每行能鋪7個面積為1cm2的小正方形，有這樣的3行，一共鋪了21個1cm2的小正方形，即長方形的面積為21cm2（如圖3）。

（2）少用小正方形半鋪。只需畫出“∟型”“⊥型”等形狀，就能看出每行有7個面積為1cm2的小正方形，有這樣的3行，7×3得到21個1cm2的小正方形，即長方形的面積是21cm2（如圖4）。

（3）不用小正方形，想象鋪。不用畫格子，只要用刻度線隔開，就能清楚地表示出每行小正方形的個數以及行數（如圖5）。

師：現在，既不用小正方形鋪，也不畫格子，請你看著這個長方形，想象：沿著長畫了7個1cm2的小正方形，沿著寬畫了3行，7×3表示每行能鋪7個面積為1cm2的小正方形，有這樣的3行，一共鋪了21個1cm2的小正方形。也就是，長×寬=長方形的面積。

學生對于長方形面積公式“長方形的面積=長×寬”的學習，屬于典型的“會而不懂”，即學生能套用長方形面積公式求長方形的面積，但不清晰這個公式的由來。因此，在教學中教師要引導學生選擇一個合適單位（1cm2小正方形）對測量對象進行測量。其實，這些不同的畫法體現了測量對象（長方形的面積）由標準單位（1cm2小正方形）累加的過程。學生在操作中將長方形面積用標準單位鋪滿的過程與長、寬的長度相關聯，理解7×3=21（cm2）表示每行能鋪7個面積為1cm2的小正方形，有這樣的3行，一共鋪了21個1cm2的小正方形。學生的圖畫得越來越簡潔，他們在頭腦中想象累加結果的過程越來越豐滿。在這個過程中，學生進一步感悟其中變與不變的思想，深化了對“面積是幾倍單位量的數值化表示”這一測量本質的理解，有效發展了量感。

四、估測應用，感悟“量感”生長

量感是對量的大小屬性的感悟和直覺，是學生在不使用測量工具的前提下，能對某個量的大小進行推斷，并有一個相對比較合理的感知。

提升“量感”，首先要有意識地培養學生形成明確的度量意識，用數學的眼光觀察現實世界，“度量”身邊的常見事物。其次要積極創設有真實情境的測量問題，引導學生用數學的思維思考現實世界，進行合理估測。比如，估測“教室地面面積有多大”時，先讓學生估一估教室地面的面積是多少平方米；再想一想有什么好方法，可以讓估的結果比較準確；最后同桌互相說一說，方法是否合適。學生自然就會提出直接估面積，有一定難度。如果先知道正方形地磚的邊長，借助這一參照物，推測教室地面大約含有幾個這樣的“單位”，就可以比較準確地估測出地面面積。再如，可以布置一項親子作業，讓學生與家長一起估測房間的面積等。這種生活浸潤式的估測應用，有助于學生自覺應用所學知識，積累“量”的經驗，讓量感可感，讓量感可見，進而實現從“生活量感”到“數學量感”的轉變。

總之，量感是對量的感悟，是心智技能與動作技能的結合，是兼具內隱性與外顯性的思維活動，量感培養是一個潛移默化的長期過程。從學習長度到認識面積，是學生空間形式認知發展上的一次飛躍，也是發展學生量感的契機。教學中要給予學生充分地觀察、探究的機會，強化具身操作，親歷深度體驗，讓學生從“會而不懂”走向真正意義上的“既懂又會”，讓量感內化于心，自然生長，形成素養。

參考文獻：

［1］史寧中.為什么要強調量感［J］.小學教學（數學版），2021（10）：8-10.

［2］鮑善軍，平燕.讓量感在課堂中真實生長［J］.小學數學教育，2020（10）：17-19.