在質疑中提升思維的質量—一道關于圓的方程高考題的講評

?湖南省寧鄉市第一高級中學

唐新陽

1 問題的產生

在一次高三第一輪復習調研考試中，命題者采用了1997年的全國高考第25題．原題如下：

設圓滿足：(1)截y軸所得弦長為2；(2)被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1.在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程．

本次調研中此題的得分率很低，因此，筆者針對這個題進行了講評．

2 講評的過程

由于學生已經做過，筆者先引導大家學習了該題的一個標準答案(參考答案中的一個答案)．

解：設圓心C(a,b)，半徑為r，則可設圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2．

由條件(1)可知

r2-a2=1

①

由條件(2)可知，劣弧所對的圓心角為90°，得

r2=2b2

②

由①②式知，2b2-a2=1

所以，圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2，或(x+1)2+(y+1)2=2．

2.1 質疑產生

學生A：老師，我覺得這里利用重要不等式a2+b2≥2ab求d的最小值時，有很大的巧合性．如果將題目進行改動，則完全不是這種情況．

這時，教室里一陣嘩然，因為他提出的想法是在直接質疑參考答案的科學性．同學們紛紛開始討論．

師：好，請談談你的改動．

學生A：我們不妨把直線方程改為x-3y=0，得

而這里-2a2+6b2不是定值，因此，這樣是求不出d的最小值的．

看到這個結論，同學們開始思考這個問題更一般的解決方法．

2.2 問題的討論與解決

學生B：老師，我找到了原題的一種更一般的解法．

學生B的解答如下：

將a2=2b2-1代入整理，得

③

所以，圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2，或(x+1)2+(y+1)2=2．

學生B：這種解法對直線方程為x-3y=0也同樣適用．這里我為什么這樣做呢，因為平方不能解決根本問題，而去絕對值的方法除平方外還可以直接用定義，這里消元以后就轉化為常見的……