定理結構與圖形結構雙管齊下自然生成解法
——正、余弦定理的幾何應用

?江蘇省蘇州市第六中學校

李 娟

1 引言

正、余弦定理揭示了三角形中邊、角的量化關系.解三角形是高考必考的知識點，總體難度適中.本文試圖從定理本身的結構特征和幾何圖形的結構、條件和問題整合考慮，闡述如何“快”且“準”地高效運用正、余弦定理.教學結構主義的代表人物布魯納強調：就是學習事物是如何關聯的，便于學生記憶和正遷移，能使學生提高直覺處理問題的能力.聯合考慮問題和條件中的元素，辨別是哪個定理對應的元素，快速識別用單一定理還是“聯合行動”抑或“多次行動”.

下面通過具體案例對正、余弦定理的幾何應用進行分析.

課前檢測給出幾道小題，主要復習相關知識與相應的思想方法.

選題目的：第(1)～(3)小題的字母符號與原定理一致，便于學生提取和遷移相關知識.第(4)小題與原定理字母符號不一致，可轉化成對應的小寫字母，同時引導學生觀察余弦定理左右兩側邊與角的關系，為在較復雜圖形中正確且快速地根據原理“造等式”做準備.在解決上述簡單問題時，注意引導學生關注兩個定理的“同”與“異”.“同”在正、余弦定理本質是恒等式，因此首要功能是“造等式”，體現方程思想.“異”在元素對象不同，結構特征亦不同.正弦定理實質是3個等式，每個等式中的元素是四個量，即兩組對應邊、角，其結構特征體現了數學的對稱美和和諧美；余弦定理也是3個等式，元素是四個量，即三邊一角，而角決定選用3個等式中的哪……