“雙減”背景下初中數學校本作業有效性研究

黃興昌

（福建師范大學泉州附屬中學 福建 泉州 362000）

首先要強調的就是，初中數學校本作業不再只是教師個人的事，也是學校的事，因此提升校本作業的有效性就是學校開展教學工作的需要。傳統教學中，教師將作業的有效性簡單地理解為學生完成作業的狀況，換言之，學生完成的正確率高作業的有效性就高。其實在“雙減”的背景下，作業的有效性更多地體現在學生做作業的過程中，體現在他們的獲得與生長上。因此在校本設置上教師要將有效性與學生的生長對接起來，以提升作業的效用。

1.教師要設置開放性作業，有效促進學生思維的發展

教師在設置作業時，要多給學生思考的機會。教師在減少作業數量的同時要盡量通過有效的作業促進他們思維多元化的發展。因此教師在設置作業時，可多設置一些開放性的作業，就是不固定學生的思維，給他們更多生長的可能。所謂開放性作業就是作業中所涉及的題目要么結論不是固定的，要么問題不是固定的，要么解法不是唯一的。顯然地，這樣的作業旨在引發學生思考，而不只關注最后的結果[1]。

以華師版初中數學九年級下冊《圓的切線的判定與性質》為例，教師設置這樣的作業，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面內，△ABC內部一點O到AB，AC，BC的距離都等于a（a為常數），到點O的距離等于a的所有點組成圖形G，連接BO并延長，交AC于點M，過點M作MN⊥BC于點N。你能發現哪些問題，同時你又能解答出幾個問題。可以看出來，這樣的作業改變了傳統的作業的模式，學生既需要擁有發現問題的能力，同時也需要擁有解決問題的能力。學生先是依據作業中文字的描述，作出如圖一所示的圖形。對著圖形不同的學生發現出不同的問題，每個學生都會為自己發現的問題而努力找尋結果。學生發現的問題有：能不能求出a的值？能不能證明∠BMA＝∠BMN？能不能求出直線MN與圖形G的公共點個數？

對于第一問，學生發現只要先證明三角形ABC是直角三角形，再根據切線長定理就可求出a的值。他們由AB＝3，AC＝4，BC＝5，得出33+42＝52，進而推得∠A＝90°，△ABC是直角三角形。再接著，學生由條件：圖形G是以O為圓心，a為半徑的圓，AB，AC，BC與圓O相切，

他們設切點分別為F，D，Q，連接OF，OD，OQ。顯然地，他們得出OF⊥AB，OD⊥AC，OQ⊥BC，所以他們的出四邊形AFOD為正方形，AF＝AD＝OF＝OD＝a。最后，他們利用切線長定理推得，BF＝BQ＝3-a，CD＝CQ＝4-a，解得a＝1。對于第二問，學生發現只要先求得點O是三角形ABC的內心，再根據三角形內角和就可獲得結論。他們由題意可知，點O是△ABC的內心，所以∠ABM＝∠CBM。他們再從MA⊥AB，MB⊥BC等條件出發，推得∠A＝∠BNM＝90°，∠BMA＝∠BMN。對于第三問，學生發現先要作OE⊥MN于點E，再根據角平分線的性質就可求得OD＝OE，進而可得MN為圓O的切線，即可得出結論。也就是說，他們作OE⊥MN于點E，因為∠BMA＝∠BMN，OD⊥AC，他們就能得出OD＝OE，進而推斷出OE為圓O的半徑，MN為圓O的切線。換言之，直線MN與圖形G的公共點個數為1。開放性作業能讓學生充分地挖掘題目資源，在少做題目的情況下，獲得更多的探究機會。

2.教師要設置合作性作業，有效提升學生思維的品質

提升作業的有效性其實就是增強學生的體驗，讓他們在各個方面都得到生長。傳統的數學作業往往以獨立作業為多，就是學生自己完成作業，不會做的由教師在第二天講解。其實教師在設置作業時，也可以設置一些合作性的作業，讓學生發揮各自的優勢，同時還能提升他們的交往能力、解決問題的能力。合作的目的就是要發揮學生的非智力因素，讓他們嘗試著自己去解決問題。教師可將學生分成不同的小組，在設置一個合作性題目。學生不但要寫作最后的結果，還要呈現合作的過程[2]。教師能從學生的合作中看到他們的成長，也能發現他們需要進一步提升的能力。

以華師版初中數學七年級下冊《一元二次方程組的應用》為例，教師創設這樣的合作作業：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數、物價各幾何？。學生拿到這樣的作業，一下子不知道從何處入手。因為題目是一文言文出現的，他們不知道表達的確切含義是什么。因此他們就開始合作，語文基礎好的學生先試圖翻譯，其他的學生去搜查有關題目的信息。借助眾人的力量，他們會很快解決面臨的問題。學生先是在網上查到這題來自我國古代數學著作《九章算術》第七卷中的“盈不足”問題。接著他們試著將題目翻譯成現代文，一個學生翻譯，別的學生做補充，直至意思很明確地顯現出來。他們的翻譯如下，今有人合伙購物，每人出8錢，會多3錢：每人出7錢，又差4錢．問人數、物價各多少？再接著學生就開始思考，這道題屬于什么類型的題目，需要運用到哪些認知。他們由最后的問題推測，這道題可能需要運用二元一次方程組來解答。因此他們決定設x人合伙購物，物價為y錢，根據題意，他們列出這樣的方程組：，解得：。可見，加強合作能豐富學生的解題體驗促進他們數學素養的提升。

3.教師要設置分層性作業，有效促進學生精準化生長

校本作業的有效性還在于學生能通過作業獲得精準的提升，也就是說教師設置的作業中，學困生也有完成的可能；優等生也可以選擇不做那些他們會做的題目。顯然地，這就要求教師分層設置作業，每個學生按照自己的認知狀況，選擇可做的題目。這樣的作業對于每個學生來說，數量上都少了許多，但是也都獲得應有的鍛煉。

以華師版初中數學八年級上冊《全等三角形》的教學為例，教師設置這樣的作業，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH。求證：GF＝GC；用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明。教師對這個作業做了這樣的說明，你可以只做第一問；也可運用第一問的結論，直接做第二問。

如圖二所示，學生只要連接DF，根據對稱性質就可證明△ADE≌△FDE，再由HL定理，就可證明Rt△DFG≌Rt△DCG，進而證得GF＝GC。對于第二問，如圖三所示，學生先是在線段AD上截取AM，使AM＝AE，因為AD＝AB，所以DM＝BE。借助第一問得結論，學生得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，又因為∠ADC＝90°，所以∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，即∠EDG＝45°。接著學生從EH⊥DE這一條件出發，得出∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形。進一步，學生推斷出∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，∠1＝∠BEH。學生將目光聚焦在△DME和△EBH中，因為，所以△DME≌△EBH（SAS）。由全等得結論，學生得出EM＝BH。在Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，所以EM=AE，進而得出BH=AE。對于這一問基礎好的學生能夠完成，但分層還體現在基礎更好的學生還能做哪些思考。教師在第二問后面還設有一問，能不能用多種方法解題。如圖四所示，學生過點H作HN⊥AB于N，構建全等三角形。他們先是證明△DAE≌△ENH，得出AE＝HN，AD＝EN；接著他們再證明△BNH是等腰直角三角形，最終可得結論。分層作業能讓優等生獲得更多挑戰，又能讓學困生同樣擁有獲得感。

結束語

總之，教師要創設更適合學生發展的初中校本數學作業，一方面要讓他們獲得足夠的體驗，另外一方面又要切實促進他們身心的發展。教師設置校本作業的目的不是為了增加學生的負擔，也不是單純地讓他們有事做，而是讓他們實現認知的內化與能力的增長。校本作業的有效性不在于作業的數量，而在于作業的質量，在于教師點燃了學生多少思維的火花，引發了他們多少的思考。