核心素養導向下的高中數學課堂教學研究

［摘? 要］ 從學生生活中熟悉的現象出發，以數學核心素養為導向，經歷簡單問題數學建模的全過程，在自主探究和合作學習中，體驗其蘊含的數學思想方法，適應初高中數學學習方式的轉變，實現自身個性持續發展.

［關鍵詞］ 核心素養；數學思想；數學建模

背景介紹

1. 時代背景

隨著《普通高中數學課程標準（2017年版）》的發布，我國課程改革進入了新階段，其本質特點是從“以知識為本”的教育教學向“以人為本”的教育教學轉變. 過去的教育是為了學會知識，現在的教育不僅僅要掌握知識，更重要的是要讓學生學會學習，實現從知識到能力再到素養的跨越，所以在教學設計上，更應關注學生思維品質的發展，使其在主動學習和知識應用的過程中，逐步形成和發展核心素養.

2. 教學內容

順應時代的發展，《普通高中教科書·數學（人教A版）》將高中數學內容分為四個模塊，并加入了預備知識. 其中預備知識作為初高中銜接的橋梁引領學生走進高中數學，它為學生后期的學習提供了“知識”和“思想”兩方面的準備，教師在教學設計時，應抓住每節課的特點，研究教材安排內容獨到的一面，挖掘內涵，拓展外延.

“二次函數與一元二次方程、不等式”這節課有其獨特的地方，首先，生活中存在著大量的不等關系，抽象出的不等式、不等式組在解決實際問題時有著重要的應用，本節課中的一元二次不等式亦是如此，它在后續研究函數時也有一定的應用，熟練掌握其內涵能為高中數學學習提供工具方面的支持. 其次，與初中的學習方式不同，高中數學學習更加關注知識背后一般的思想方法，設計本節課時，更應關注思想方法的提煉，使學生經歷三個“一次”關系同三個“二次”關系的類比，從求解特殊的一元二次方程歸納為一般的一元二次方程的解法，用函數思想整合方程和不等式的全過程，形成函數統領方程和不等式的意識，為后面函數的學習奠定基礎.

教學目標與重難點

1. 教學目標

通過類比自主構建一元二次不等式的概念，通過數形結合發現二次函數、一元二次方程、一元二次不等式三者的聯系，獲得用二次函數求解一元二次不等式的一般性解法，體驗用函數觀點看等式、不等式的豐富內涵.

2. 教學重難點

借助于二次函數求解一元二次不等式，認識函數的重要性，體會數學的整體性，發展直觀想象、數學抽象等數學核心素養.

教學設計

1. 源于生活，建構模型

生活現象：開學初，我們會在教室后墻設計一個學習園地. 你會如何設計？

分析：布置學習園地源于學生生活，他們參與過或者見過這個現象，以此為切入點，能充分調動學生的積極性與參與度，形成以學生為主體的課堂氛圍. 讓學生深切感知數學就在身邊，從而引發他們對生活的思考，潛移默化地用數學的眼光觀察世界.

生1：我會先設計一個框架，圍上花邊，然后在上面貼上“學習園地”的圖案.

生2：一般情況下，會設計成矩形框架，根據學習園地的面積、后墻空間和美觀程度進行設計.

師：現有花邊24分米，你將如何設計？

生3：優先考慮學習園地的使用價值，將24分米的花邊全部用于設計，求其最大面積.

生4：假設矩形學習園地的一邊長為x分米，則另一邊長為（12-x）分米，面積為S平方分米. 因為x>0，12-x>0，所以S=x（12-x）≤2=36（平方分米）. 當且僅當x=6時取等號.即設計邊長為6分米的正方形的面積最大.

師：同學們對這個設計方案有什么看法？

生5：生活中我們很少見到正方形的學習園地. 面積不一定要求最大，只要達標，即滿足日常需求，就可以根據其他因素靈活設計.

師：假如我們要求學習園地的面積大于20平方分米，你又會如何設計呢？

生6：根據這樣的假設，我們得到了不等式x（12-x）>20，先求解x，再進一步研究.

分析：簡化現實問題，將其抽象為數學模型，通過計算求解，得出面積最值；在親身經歷中產生疑問，修改模型以尋求更優解，自然將目光轉向不等式，從而與新知識完美銜接. 在經歷簡單問題的數學建模的過程中，發展了學生的直觀想象、數學抽象等核心素養.

2. 類比為橋，自然生成

師：不等式x（12-x）>20有什么特點？你還能舉出相似的不等式嗎？

生7：這是一元二次不等式. （學生舉例，過程略）

師：你能給出一元二次不等式的定義嗎？它的一般形式是什么？

生8：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均為常數，a≠0.

師：相似的事物存在著一定的聯系，我們能快速得到一元二次不等式的定義正是源于這種相似性，你能說一說一元二次不等式定義的源頭嗎？

生9：一元二次方程，二次函數.

分析：思維的前提是學生已有的知識結構，通過回顧舊知強化學生調動知識之間的聯系，為學生自主建構新知奠定基礎. 在高中的開始階段，這樣的回憶很有必要，通過初期積累，學生都會有點滴的收獲和感悟，當他們面對新問題時會自覺地去搜索以前解決過的與當前問題緊密相關的知識、方法和數學思想，從而提高分析問題、解決問題的能力.

師：你能找到二次函數與一元二次方程x（12-x）=20的聯系嗎？

生10：選擇函數y=x2-12x+20，它與x軸交點的橫坐標就是方程x2-12x+20=0的解.

生11：選擇函數y=-x2+12x-20，結論也一樣.

師：利用函數的“形”直觀呈現了方程的“數”，上述結論可以推廣到一般的情況嗎？

生12：利用數形結合可以找到函數與方程的聯系，分三類得到一般性結論. （過程略）

師：對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），我們把使函數值為0的實數x叫做二次函數的零點.

分析：對于規定性定義，只能通過教師講授，學生無法建構生成. 但是函數零點這個概念有豐富的內涵，教學時可以引導學生在以下幾方面多思考：首先，為什么要引入函數零點這個概念？在本節課學習中，我們需要從不同角度理解函數與方程的聯系，“零點”正好搭建了這一橋梁，借助于函數的觀點去理解方程的意義，實現函數與方程的統一. 其次，加深對“點”的理解，學生理解得較多的是平面直角坐標系中的點，這是二維點，除此之外，還有一維點、三維點等. 零點反映了函數與方程的聯系，它是一維點. 最后，對概念進行外延和拓展，除了二次函數可以定義零點外，其他函數也可以采用同樣的研究方式.

師：結合函數y=x2-12x+20，分析二次函數、一元二次方程和一元二次不等式之間的關系.

生13：畫出函數y=x2-12x+20的圖像，它的零點將x軸（數軸）分成三部分：當x<2時，函數上點的縱坐標都大于零，即x2-12x+20>0；當x>10時，函數上點的縱坐標也大于零，即x2-12x+20>0；當2<x<10時，函數上點的縱坐標都小于零，即x2-12x+20<0.

分析：結合特殊的二次函數，經歷從“更高、更統一”的觀點理解不同數學對象的過程，發現二次函數、一元二次方程和一元二次不等式三者之間的聯系，進而把握不同數學對象的共性和關系，體驗用函數觀點看等式、不等式的豐富內涵.

3. 數形結合，歸納通法

師：上述結論可以推廣到一般的情況嗎？（分組討論）

生14：展示二次函數的零點與一元二次方程、一元二次不等式的解的對應關系. （用表格呈現關系，表略. ）

分析：從特殊到一般進行歸納概括，在合作學習中獲得相應的數學活動經驗，借助于二次函數的圖像，通過數形結合發現二次函數、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的聯系，學生在主動探究的過程中進一步發展用函數觀點認識方程、不等式的思想方法，這個過程有利于學生認識函數的重要性，體會數學的整體性.

4. 數學運用，提升思維

例1 已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像（如圖2所示），求這個二次函數的零點和一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集.

例2 求下列不等式的解集.

（1）x2-5x+6>0；

（2）9x2-6x+1>0；

（3）-x2+2x-3>0.

分析：通過具體實例深化學生對三個“二次”關系的理解，梳理求解一元二次不等式的步驟，形成一般性認識.

5. 反思總結，承接函數

師：簡述一元二次不等式的解法，以求解ax2+bx+c>0（a>0）形式的不等式為例.

（學生總結步驟，過程略. ）

師：你能從思想方法這個角度總結本節課的內容嗎？

生15：利用數形結合與函數思想研究了二次函數、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的聯系.

師：“函數”是貫穿高中數學課程最重要的概念，用函數觀點理解方程和不等式也是數學中的基本思想方法，這一思想方法在后續的學習中有著大量的應用.

師：回歸最初的問題，你會設計學習園地了嗎？

生16：邊長在2分米與10分米之間，根據實際情況靈活設計.

分析：從知識和思想兩個角度進行總結，把對方程和不等式的求解統一為對相應函數變化規律的研究，建立起了函數、方程和不等式之間的聯系. 最后回歸現實問題，利用獲得的數學結果解釋現實現象，讓學生經歷數學建模的完整過程，發展學生的數學核心素養.

教學反思

1. 在知識的生成中形成素養

學生數學核心素養的發展要以知識為載體，若離開對知識的理解和應用，數學核心素養的發展將成為一句空話；而要真正掌握數學知識，依靠傳統的“題海戰術”是無法實現的，必須親身經歷知識的形成和發展過程，在自主建構中達到知識的自然生成. 對于本節課的內容，學生有著良好的知識儲備，面對問題時，學生能從容分析，恰到好處地解答. 因此教學時要展現學生的主體地位，使其在自主探究和合作學習中獲得良好的數學體驗，從而牢固掌握基礎知識和基礎技能，積累相應的活動經驗，更好地支撐其數學核心素養的發展.

2. 在思想的感悟中發展素養

學生數學核心素養的發展得適應學生個人終身發展和社會發展的需要，今后學生會學習不同的知識，獲得不同的技能. 隨著時間的積累，學生總會思考獲得的知識和技能背后所蘊含的思想，通過對思想方法的感悟和總結，對所學的東西加以精煉，并應用于后期的學習. 本節課的內容正處于這個節點，學生探索時能活用“一次”同“二次”的類比，函數、方程、不等式之間的關聯，從特殊到一般的歸納；同時，教師教學時應該引導學生感悟函數思想，即體驗利用函數提煉方程、不等式的過程，重新認識函數的重要性，為后期學習奠定基礎，進而順其自然地發展學生的數學核心素養.

3. 在數學的應用中體現素養

學生核心素養的發展必須經歷兩個重要的過程，一是學習過程，也就是“四基”的交融發展過程；二是運用所學知識解決問題的過程. 學習的最終目的是解決生活中的問題，所以本節課一開始就從生活現象入手，通過簡單問題的數學建模，使學生在發展“四能”的過程中形成素養. 另外，學生需要通過對具體的數學習題的解決進一步鞏固自身剛發展的素養，所以選擇習題時，重在利用函數圖像通過數形結合解決問題，發展學生直觀想象、數學運算等數學核心素養.

結語

預備知識是整個高中數學學習的前哨站，它既為學生后續的學習提供了知識和思想的準備，也為學生學習方式的轉變提供了依托. 在教學設計時，教師應該體現“以人為本”的教育理念，以數學基礎知識、基本技能為載體，以數學思想方法為主線，讓學生積累數學基本活動經驗的同時感受數學的魅力，通過不斷地學習慢慢擁有數學的眼光，養成數學思維，熟練數學語言，為核心素養的發展鋪平道路.

作者簡介：陳小琴（1980—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數學教學工作.