善用結(jié)構(gòu)特征 巧解代數(shù)問題

王小梅 陳科融 湯強

［摘? 要］ 代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征對解決代數(shù)問題至關(guān)重要，為使學生對代數(shù)式的結(jié)構(gòu)有深入的認知，文章對解題中常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)進行了梳理并分類，包括“平方和”結(jié)構(gòu)、“分式”結(jié)構(gòu)、“和積”結(jié)構(gòu)與“隱形”結(jié)構(gòu)，并用例子加以解釋和說明.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學解題；結(jié)構(gòu)特征；代數(shù)問題

有些代數(shù)題雖然表述簡短，但學生解決起來有一定的困難，大部分原因是學生辨別數(shù)學結(jié)構(gòu)的能力較弱，尤其是變換代數(shù)式時不能根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征有效使用公式與性質(zhì)，但如果以代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征為起點，問題便可快速解決.同時研究表明，學生在代數(shù)學習上的困難主要反映在四個方面：對代數(shù)的抽象性和形式化不適應(yīng)；不能熟練運用代數(shù)的符號表征系統(tǒng)和形式規(guī)則；不能從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維；不能理解代數(shù)結(jié)構(gòu)，不能認識到代數(shù)方程和表達式中的結(jié)構(gòu)［1］. 最后一方面是最困難的. 例如，大多數(shù)學生不能把類似于（x－3）4－（x+3）4的代數(shù)式看成平方差來處理.由此可見，學生缺乏的不是數(shù)學理論知識，而是對形式結(jié)構(gòu)的識別力，他們無法看到代數(shù)式的內(nèi)在結(jié)構(gòu)以及意義，故而忘記規(guī)則或者誤用造成各種錯誤［1］. 因此，結(jié)構(gòu)特征的識別與使用對解決代數(shù)問題舉足輕重. 為了提高學生的結(jié)構(gòu)意識，有必要對中學常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)進行分類整理.

“平方和”結(jié)構(gòu)

解題時經(jīng)常會遇到類似于“a2+b2”的代數(shù)結(jié)構(gòu)（即“平方和”結(jié)構(gòu)），根據(jù)與平方和的關(guān)聯(lián)度可分為“主平方和”結(jié)構(gòu)與“次平方和”結(jié)構(gòu)：與“主平方和”結(jié)構(gòu)密切相關(guān)的有勾股定理、兩點間的距離公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系（sin2θ+cos2θ=1）、圓方程以及橢圓方程等；與 “次平方和”結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)的有完全平方公式、余弦定理、基本不等式、柯西不等式等.

數(shù)學高考題中經(jīng)常會出現(xiàn)利用正余弦定理解三角形或判斷三角形的形狀，明確正余弦定理的適用條件是關(guān)鍵.此外，若題目中出現(xiàn)了形如“a2+b2－ab”“a2－b2－c2”（其中的字母a，b，c可以是代數(shù)式或三角函數(shù)等）的代數(shù)式，利用余弦定理求解會快很多，如2020年全國卷Ⅱ理數(shù)第17題，題目給出的條件是“sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC”，可以先用正弦定理再用余弦定理進行求解.

余弦定理因其特殊的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用廣泛，比如下面這個例子：

“平方和”結(jié)構(gòu)在代數(shù)式中居多，不少數(shù)學公式均有此特征，解決此類問題的關(guān)鍵是識別出題目中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)系相關(guān)的數(shù)學知識，有時可以借助數(shù)形結(jié)合思想巧妙解決.

“分式”結(jié)構(gòu)

針對第一類“分式”結(jié)構(gòu)，一般先要對其進行化簡，然后利用相關(guān)的數(shù)學知識解決問題. 分式化簡的常見方法有除法降次、倒數(shù)思想、拆項相消、引入?yún)?shù)等.對于第二類“分式”結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)特征明顯，其中最為突出的是與斜率公式相關(guān)的拉格朗日中值定理，在高考的導數(shù)壓軸題中多次出現(xiàn)，有時常規(guī)思路復雜，計算煩瑣，但從結(jié)構(gòu)特征入手可達到化難為易的目的；此外，點到直線的距離公式也屬于“分式”結(jié)構(gòu)，若能識別題目中涉及的代數(shù)式是點到直線的距離公式，則解決過程會簡單很多.下面以第二類“分式”結(jié)構(gòu)為例.

雖然拉格朗日中值定理屬于高等數(shù)學內(nèi)容，高考不能直接用此方法求解，但是原理在學生的認知范圍內(nèi)，且做選擇題或填空題時可快速得到答案.除此之外，洛必達法則、柯西中值定理、泰勒展開式等高等數(shù)學內(nèi)容有時在解題中也有相同的妙用，可適當了解.

例5 設(shè)k，θ∈R，

“和積”結(jié)構(gòu)

“和積”結(jié)構(gòu)是另一種常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)，主要有兩種類型，一種似“ac+bd”，另一種似a+b=c，ab=d，其中字母表示代數(shù)式.

對于“ac+bd”這種結(jié)構(gòu)，與之相關(guān)的有柯西不等式、向量數(shù)量積的坐標表示、兩角和與差的正余弦公式以及托勒密定理等. 而且，兩角差的余弦公式cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ的證明思路之一是向量數(shù)量積的兩種表示方法，既簡便又直觀，其思路來源于兩者相似的代數(shù)結(jié)構(gòu).

例6 （2016年全國卷Ⅰ理數(shù)第17題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c. 求C.

分析：該題難度不高，利用正余弦定理、三角函數(shù)相關(guān)公式等知識即可求解，一般采用統(tǒng)一性原則，將角化為邊或者將邊化為角. 方法1：利用余弦定理可將角全部化為邊，得a2+b2－c2=ab，再利用余弦定理求解；方法2：觀察到2cosC·（acosB+bcosA）=c的結(jié)構(gòu)屬于“ac+bd”型，用正弦定理將其化為2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，再利用兩角和的正弦公式也可以求出C. 相比之下，第二種方法明顯要快很多.

形如a+b=c，ab=d的結(jié)構(gòu)，一般與韋達定理相聯(lián)系，將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解的問題. 除此之外，a+b=c等價于1·a+1·b=c，已知a+b=c，ab=d，通過完全平方公式容易求得a2+b2，因此還可以聯(lián)想到柯西不等式. 我們知道平方差公式來源于古代的解方程，已知兩數(shù)和與兩數(shù)積，求這兩數(shù)，可以聯(lián)想到初中的平方差公式.下面通過一道經(jīng)典的競賽題進行說明：

“隱形”結(jié)構(gòu)

有時，題目條件與已學過的公式或定理的代數(shù)結(jié)構(gòu)并不類似，但其結(jié)構(gòu)較特殊，仍可以從結(jié)構(gòu)特征入手，比如利用同構(gòu)思想解決問題.同構(gòu)是指根據(jù)問題解決的需要尋找與之緊密關(guān)聯(lián)的特殊函數(shù)，將關(guān)聯(lián)函數(shù)的基本性質(zhì)進行遷移并運用于問題解決的過程.同構(gòu)的目的在于將看似復雜的問題簡單化，從特殊到一般，經(jīng)歷問題的合理轉(zhuǎn)化，即抽象問題模型化［2］. 同構(gòu)思想在數(shù)學解題中的應(yīng)用廣泛，利用同構(gòu)思想解決代數(shù)問題的關(guān)鍵是從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征找到對應(yīng)的函數(shù)，利用構(gòu)造的新函數(shù)的性質(zhì)進行求解.

例8 解不等式（x2－1）2019+x4038+2x2－1≤0.

同構(gòu)思想是近幾年高考的熱點，其解題策略是：首先，對代數(shù)式進行簡單的數(shù)學運算，觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；其次，將代數(shù)式兩邊的結(jié)構(gòu)一致化，構(gòu)造新的函數(shù)；最后，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式. 其中，最為關(guān)鍵的是識別代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù).

綜上分析，可以發(fā)現(xiàn)利用代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征解決代數(shù)問題的有效性.教師需要培養(yǎng)學生的結(jié)構(gòu)意識，善于捕捉代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征. 那么，在公式教學中對結(jié)構(gòu)特征的深入講解就很有必要了. 雖然教材沒有強調(diào)，但是教師應(yīng)當幫助學生梳理常見的代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征及其聯(lián)系. 值得注意的是，代數(shù)結(jié)構(gòu)是一種形式，具有高度的抽象性，學生很容易忽視其數(shù)學本質(zhì)意義，只顧形式不考慮實質(zhì)內(nèi)容，生搬硬套，忽略適用范圍. 比如學生的錯誤認知“sin（x+y）=sinx+siny”，就是類比“a（b+c）=ab+ac”導致的，原因是學生只關(guān)注代數(shù)式的形式而忽視了其數(shù)學本質(zhì)（乘法與三角函數(shù)是兩種不同的數(shù)學運算）. 所以，教師需要同時強調(diào)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)學本質(zhì).

參考文獻：

［1］? 鮑建生，周超. 數(shù)學學習的心理基礎(chǔ)與過程［M］. 上海：上海教育出版社，2009.

［2］? 唐明超，潘敬貞，袁錦前. 例談同構(gòu)視角下函數(shù)與導數(shù)高考試題的求解策略——從2020年高考試題談起［J］. 中學數(shù)學研究，2021（05）：45-47.

作者簡介：王小梅（1994—），碩士研究生，從事中學數(shù)學研究工作.

通訊作者：湯強（1975—），博士，碩士生導師，教授，從事教師培訓、數(shù)學課程與教學論研究工作.