動靜結合巧求過定點的旋轉直線斜率范圍

張平

【摘要】“數形結合法”是解決數學問題的一種重要方法，它可以將抽象的數學問題具體化、準確化、形象化.數形結合可以幫助我們更深入、更準確地理解數學問題，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學素養.本文借助于數形結合思想通過對一道課本習題的變式研究，歸納出該類問題的一般解題模型與結論，并進行變式與拓展應用.

【關鍵詞】動靜結合；定點；旋轉直線；斜率

1問題呈現與解

例1經過點P（0，-1）作直線l，若直線l與連接A（1，-2），B（2，1）兩點的線段總有公共點，求直線l的傾斜角α與斜率k的取值范圍，并說明理由.

解設直線PA，PB的傾斜角分別為γ，β，

由題意得kPA=-1，kPB=1，

則γ=3π4，β=π4.

圖1

如圖1所示，符合題意的直線l只能在圖1中的陰影區域內（包括邊界）.設直線l與線段AB的公共點為M.

過點P作平行于x軸的直線與線段AB交于點C，則直線PC將陰影區域分為△PCB、△PAC兩個三角形區域.

當點M從點C沿線段CB運動到點B時，此時直線l的傾斜角逐漸增大，且α∈［0，β］，此時直線l的斜率k∈［0，1］；

當點M從點A沿線段AC運動到點C（不含點C）時，此時直線l的傾斜角逐漸增大，且α∈［γ，π），此時直線l的斜率k∈［-1，0）.

綜上知，直線l的傾斜角α的取值范圍為0，π4∪3π4，π，斜率k的取值范圍為［-1，1］.

例2經過點P32，2作直線l，若直線l與連接A（1，-2），B（2，1）兩點的線段總有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍，并說明理由.

解設直線PA，PB的傾斜角分別為γ，β，

由題意得kPA=8，kPB=-2.

如圖2所示，符合題意的直線l只能在圖中的陰影區域內（包括邊界）.

圖2

設直線l的傾斜角α，直線l與線段AB的公共點為M.

過點P作平行于y軸的直線與線段AB交于點C，則直線PC將陰影區域分為△PCB、△PAC兩個三角形區域.

當點M從點C沿線段CB運動到點B時，此時直線l的傾斜角逐漸增大，且α∈π2，β，

此時直線l的斜率k∈（-∞，-2］；

當點M從點A沿線段AC運動到點C時，此時直線l的傾斜角逐漸增大，且α∈γ，π2，此時直線l的斜率k∈［8，+∞）.

綜上知，直線l的斜率k的取值范圍是

（-∞，-2］∪［8，+∞）.

例3經過點P（-2，-3）作直線l，若直線l與連接A（1，-2），B（2，1）兩點的線段總有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍，并說明理由.

解設直線PA，PB的傾斜角分別為γ，β，

由題意得kPA=13，kPB=1.

圖3

如圖3所示，符合題意的直線l只能在圖3中的陰影區域內（包括邊界）.設直線l的傾斜角α，直線l與線段AB的公共點為M，當點M從點A沿線段AB運動到點B時，此時直線l的傾斜角逐漸增大，且γ≤α≤β，

從而13≤k≤1，

即直線l的斜率k的取值范圍為13，1.

例4經過點P（-2，2）作直線l，若直線l與連接A（1，-2），B（2，1）兩點的線段總有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍，并說明理由.

解設直線PA，PB的傾斜角分別為γ，β，

由題意得kPA=-43，kPB=-34.

圖4

如圖4所示，符合題意的直線l只能在圖4中的陰影區域內（包括邊界）.設直線l的傾斜角α，直線l與線段AB的公共點為M，當點M從點A沿線段AB運動到點B時，此時直線l的傾斜角逐漸增大，且γ≤α≤β，

從而-43≤k≤-34，

即直線l的斜率k的取值范圍為-43，-34.

圖5

例5經過點P32，12作直線l，若直線l與連接A（1，-2），B（2，1）兩點的線段總有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍，并說明理由.

解設直線PA，PB的傾斜角分別為γ，β，

由題意得kPA=5，kPB=1.

如圖5所示，符合題意的直線l只能在圖5中的陰影區域內（包括邊界）.設直線l的傾斜角是α，結合圖形知α∈［0，β］∪［γ，π］，根據k=tanα（0≤α<π，α≠π2）的圖象知0≤k≤1或k≥5或k<0，即直線l的斜率k的取值范圍為（-∞，1］∪［5，+∞）.

2類型歸納與結論

過直線AB外一定點P作直線l與線段AB總有公共點，設P（x0，y0），不失一般性，設PA，PB的斜率均存在且kPA<kPB，則直線l的斜率k的取值范圍有如下規律：

（1）只有直線y=y0在△PAB區域內時，

kPA≤k≤kPB；

（2）只有直線x=x0在△PAB區域內時，

k≤kPA或k≥kPB；

（3）直線y=y0與x=x0均不在△PAB區域內時，kPA≤k≤kPB；

（4）直線y=y0與x=x0均在△PAB區域內時，

k≤kPA或k≥kPB.

進一步簡化為兩大模型：

模型1：直線x=x0在△PAB區域內時，

k≤PA或k≥kPB.

模型2：直線x=x0不在△PAB區域內時，

kPA≤k≤kPB.

3拓展應用

例6直線l：kx-y-k-1=0與以點A（-3，1），B（3，2）為端點的線段總有公共點，求實數k的取值范圍.

解由題意知直線l的斜率為k，

由kx-y-k-1=0得（x-1）k-（y+1）=0，

從而直線l過定點P（1，-1），于是本題轉化為過直線AB外一定點P作直線l與線段AB總有公共點求直線l的斜率k的取值范圍問題.

又kPA=-12，kPB=32，

又結合圖形知本題屬于模型一，則

k≤-12或k≥32，

即實數k的取值范圍為

-∞，-12∪32，+∞.

例7經過點P（-1，2）作直線l，若直線l與圓C：（x-1）2+（y-4）2=1總有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍，并說明理由.

圖6

解由題意知點P在圓C外，過點P作圓C的兩條切線PA，PB，如圖6所示.設PA，PB的傾斜角分別為γ，β，由圖6知直線PA，PB的斜率均存在.設直線l的斜率為k時，直線l與圓C相切，此時直線l的方程為kx-y+（k+2）=0.

由|2k-2|1+k2=1得k=4±73，

即kPA=4-73，kPB=4+73.

如圖6所示，本題屬于模型二，則

4-73≤k≤4+73，

即直線l的斜率k的取值范圍為4-73，4+73.

例8已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點F到準線的距離為2.

（1）求C的方程；

（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足PQ=9QF，求直線OQ斜率的最大值.

解（1）y2=4x（過程略）.

（2）由題意得F（1，0），

設P（x1，y1），Q（x，y），

則PQ=（x-x1，y-y1），

QF=（1-x，-y），

由PQ=9QF，得x-x1=9（1-x），y-y1=-9y，

即x1=10x-9，y1=10y，

又y21=4x1，

則（10y）2=4（10x-9），

化簡得y2=25x-925，

即點Q的軌跡方程為y2=25x-925.

圖7

如圖7所示，當直線OQ與曲線y2=25x-925相切時，直線OQ的斜率存在且不為零.設相切時的直線OQ的方程為y=kx（k≠0），

代入y2=25x-925化簡得25k2x2-10x+9=0，

由（-10）2-900k2=0，得k=13或k=-13，

結合圖7知本題屬于模型二，則-13≤kOQ≤13，

所以直線OQ斜率的最大值為13.

華羅庚先生說過：“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛，數缺形時少直觀，形少數時難入微.”“切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離.”數學學科核心素養指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程.在直觀想象核心素養的形成過程中，學生能夠進一步發展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形和空間想象思考問題的意識，提升數形結合的能力，感悟事物的本質，進而培養學生的創新思維.

教師在教學過程中，要注意挖掘教材中的典型例題與習題，根據數與形之間的對應關系，通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，變抽象思維為形象思維，更好地展示了數學的規律性與靈活性的有機結合，有助于提高學生的分析問題和解決問題的能力，也更有助于幫助學生把握數學問題的本質，更有助于提升學生的數學素養.