例談“動靜結合”在解題中的應用

陳玉鳳

動靜結合是道家境界之一，一方面是指道家在練功方式上強調靜功與動功的密切結合，在練動功時要掌握“動中有靜”，在練靜功時要體會“靜中有動”。高中數學解題中有很多問題也蘊含著“動”與“靜”關系的把握，動靜結合是數學解題中常用的方法之一，本文結合筆者的經驗和大家一同感悟使用“動靜結合”轉化的解題策略的幾種典型情形。

一、動靜相對，動靜互換

例1：過圓x2+y2=r2內部一點M（a，b）作動弦AB，過A，B分別作圓的切線，設兩條切線的交點為P，求證：點P恒在一條定直線上運動。

解析：設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），不妨將A，B，P都視為定點（視動為靜），先求直線AB的方程.切線PA的方程為x1x+y1y=r2，切線PB的方程為x2x+y2y=r2

∵點P在切線上，∴x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2

這表明A，B都在直線x0x+y0y=r2上，故直線AB的方程為x0x+y0y=r2

又因點M（a，b）在直線AB上，所以x0a+y0b=r2

任意點P（x0，y0）都滿足上式，故動點P必在定直線ax+by=r2上（換靜為動）

點評：常與變、動與靜的角色是相對的，同一對象，根據需要隨時靈活選擇和變換其角色，能使復雜的問題得以較為簡單解決。

二、動中有靜，動中找靜

例2：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，動點E、F在棱A1B1上，點Q為CD的中點，動點P在棱AD上，若EF=1，則三棱錐P-EFQ體積的最大值為 ? ? 。

[A][B][C][D][D1][A1][B1][C1][P][Q][F][E] [A][B][C][D][D1][A1][B1][C1][P][Q][F][E] [圖1]

分析：讀題成圖（圖1左側），求三棱錐P-EFQ體積，頂點P在動，底面三角形EFQ在動，變元太多，怎么求呢？此時將動點E、F作“靜態”處理，視“動”為“靜”，連接A1D和B1C（圖1右側），發現三角形EFQ始終在對角面A1B1CD上運動，它的面積恒為定值××1=，頂點P到底面三角形EFQ的距離即為P到對角面A1B1CD的距離，即PD，所以所求的三棱錐體積最大值為。

點評：從以上例題可以看出，充分挖掘題目的隱含條件，洞察問題的本質，將問題視為運動變化過程中的某一靜止時刻，如上例中動三角形在定矩形中運動，動中找靜，以靜制動，排除干擾，化繁為簡，使問題迎刃而解。

三、靜中有動，靜中覓動

例3：已知圓C∶（x-2）2+y2=1，點P在直線l∶x+y+1=0上，若過點P存在直線m與圓C交于A、B兩點，且點A為PB的中點，則點P橫坐標x0的取值范圍是 ? ? 。

[A][B][P][O][x][y][y][A][B][P][O][x][C] [圖2]

分析：解決這道題，就是先“固定”點P，讓A與B“動起來”，則當=滿足題意，而∈[，+∞]（如圖2），所以≤，即PC≤3，從而得（x0-2）2+（-x0-1）2≤32，解得x0∈[-1，2]。

點評：辯證法認為動與靜是相對的，是事物運動變化過程中的兩個方面，二者相互依存，相互蘊含，相互轉化.從例3可以看出，對一些表面看似靜態的但含有“變元”的問題，不妨讓變元“動起來”，從而打開解題通道，準確無誤解決問題。

綜上所述，數學解題過程中蘊含著“動”與“靜”這種對立和統一的關系.解題中若能有效聯想上面三類“動靜結合”的解題策略，會使一些復雜的問題巧妙地得到解決。

·編輯 王團蘭