“以學生為中心”的泰勒公式探究式教學設計

劉華 景慧麗

摘要：泰勒公式是高等數學課程中的教學重點和難點，學生對其總是望而生畏。在教學設計中首先充分分析學生學情基礎，然后通過自然常數 的近似計算引入，由淺入深，由具體到抽象，由特殊到一般，引導學生猜想、論證、協同探究，逐步建立泰勒公式。讓學生深度參與公式的建立過程，消除學生疑惑，化解學生畏難情緒，從而達成高效的學與教。

關鍵詞：泰勒公式;佩亞諾型余項;拉格朗日型余項;以學生為中心;探究式

泰勒公式是一元函數微積分的一個重要內容，不僅在理論上占有重要地位，在近似計算、極限計算、函數性質的研究等方面也有重要應用。但是，泰勒公式是教學難點，學生看到其復雜的表達形式更是無所適從。為破解這一教學難點，筆者從學生角度出發，深入分析原因，找出癥結，進行有針對性的教學設計。在教學過程中充分發揮學生的主觀能動性，通過問題優化設計，層層遞進，在問題的不斷解決過程中，協同建立泰勒公式。

1.學情分析

泰勒公式形式復雜，內容抽象，學生更是對這種表達形式感到莫名其妙。例如，

以上正是函數 泰勒展開式的兩種形式，分別是Peano型余項的泰勒公式和Lagrange型余項的泰勒公式。從形式上，學生不解的是為何要將一個簡單的函數表示成多項式函數 與余項 之和的形式？從內容上，不理解這樣一個轉化有何用途，兩種不同的余項形式本質區別是什么，各有什么應用？從理論上，這種轉化有何意義，其蘊含的思想方法是什么，如何從更高層次理解公式的意義，對學生來講更是一個巨大的挑戰。

為什么學生對泰勒公式總是敬而遠之。從內容來看，一方面是因為泰勒公式的表達形式繁瑣，難以記憶;另一方面是因為對泰勒公式的作用與地位也不理解，不知學來何用。從學生自身角度看，學習能力有所欠缺，主動學習意識不強，學習方法亟待改進，數學符號、數學語言的掌握不好，面對這樣一個看似違背常識的復雜公式更是一頭霧水。

基于上述分析，要達成較好的教學效果，實現既定教學目標，必須從學生角度出發進行教學設計。首先基于最近發展區理論創設情境，以問題為牽引，設疑激趣，誘導啟發，層層遞進，引導學生共同建立泰勒公式。在問題的解決過程中建立公式，在共同討論的過程中釋疑解惑，在進一步的探索中理論升華。

2.以學生為中心的教學設計

2.1創境設疑，吸引學生

問題情境的創設對于問題的解決至關重要，因此在設計問題情境時必須充分考慮學生實際。最近發展區理論指出，教學應著眼于學生的最近發展區，搭建學生現有知識和新知識之間的橋梁，為學生提供帶有一定難度的問題，通過引導啟發，激發學生潛能，實現對問題的解決，達成掌握新知識、領悟新方法的教學目的。

本文所創設的問題情境是目標定位問題。已知雷達測得目標的距離和仰角，計算目標的高度（計算結果需滿足精度要求）。這個問題歸結于三角函數的近似計算，學生在高中時可以通過查表計算？但表中的數據是如何獲得的？其精度是否能達到實際需求？學生可能根本就沒有想過這樣一個問題。之前的學習，更多的是接受，少質疑，欠思考，不太會去深入地思考來龍去脈。創設這樣一個問題情境，可以引起學生的共鳴，吸引學生，激發學生繼續學習的興趣。

2.2問題驅動，引導學生

面對上述問題，學生可能是滿眼疑惑，無從下手。此時就需要老師通過問題驅動的方式引導學生分析問題、解決問題。能否達成引導的效果，問題設計很重要，其具體設計要具有科學性、層次性、遞進性，更重要的還要具有對問題解決的啟發性。因此，在問題設計時同樣要考慮學生已有的知識結構以及思維特點。

因此，在解決上述問題時采取迂回的策略，先討論一個具體的，學生又相對熟悉的問題，然后再來解決三角函數的近似計算問題。自然常數 學生既熟悉又陌生，知道它是一個無限不循環小數，近似等于 ，可這個近似的數值結果是怎樣得到的，其誤差又如何，以此問題作為切入點進行探討。

2.3協同探究，幫助學生

通過式（1），學生容易知道，令 就可以得到 的近似值，此時問題又轉化為式（1）中的多項式是如何得到的？如何估計其誤差？這里結合學生的認識規律，遵循由具體到抽象，由特殊到一般的方法，在式（1）中先取 ，即有 。下面結合數值計算、幾何觀察、類比推廣、理論證明與學生一道，協同探究，建立泰勒公式。

1）基于 利用 近似求解自然常數 。

通過計算得出 ，顯然與相差較大 ，從理論上可知，上述近似的前提條件是 較小，這里令 得到自然常數 的近似值，誤差自然就較大。另外，從幾何圖形上，也容易觀察到誤差會比較大具體見圖1。

上述過程是本次課的重點，協作探究的目的是讓學生深度參與到公式的建立過程，使學生體會數學知識的產生過程，讓學生感受到數學的魅力，增加學生學習數學的興趣，從而提升學生學習數學的能力，激發學生的創新意識。

2.4縱橫聯系，理論升華，提升學生素養

上述討論過程是以具體的近似計算問題入手，通過與學生協同探究建立了兩種余項形式的泰勒公式。有了泰勒公式，就可以解決開篇提出的目標定位問題了。開篇以近似計算問題切入，探討泰勒公式，其目的是化解難點，從學生容易接受的問題入手，破解教學難點。事實上，泰勒公式除了可以應用于近似計算之外，還可應用于極限計算、不等式證明、級數及廣義積分斂散性的判定、行列式的計算等等。由于本文重在討論教學設計，其它方面的應用這里不再展開討論。另外，需要說明的是，在創設問題情境時考慮選擇與學生專業相匹配的例子。

泰勒公式除了上述的一些應用之外，在教學的最后還應該有所升華。泰勒公式的理論意義一是體現了一種“逼近”的重要數學思想，而且是一種非線性逼近;一是建立了函數與高階導數之間的聯系，提供了研究充分光滑函數的整體性質的重要工具。另外，從信息論的角度看，該公式還提供了一種利用已知信息來表示未知信息的途徑。除此之外，在公式建立過程中所用到的一些數學思想方法，比如由具體到抽象、由特殊到一般，數形結合，類比、化歸，合理猜想、嚴格論證等，要引導學生去體會、去掌握，從而提升學生的數學素養。

3.課后反思與總結

通過在教學過程中的嘗試發現，大部分學生都能接受這種以他們自己為主的教學方式。學生參與教學過程的積極性、主動性都比較好。雖然面對的是比較難的教學知識點，但是學生還是愿意主動深入探討。充分說明了這種設計的優點，相比教材上的設計或傳統的給出公式、證明公式的教學更利于學生的學習。

參考文獻：

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[2]沙萍.帶有佩亞諾余項的泰勒公式的推證方法——基于探索式教學法的教學實踐[J].數學學習與研究，2021（5）：150-151

[3]高等數學[M].同濟大學數學系.7版.北京：高等教育出版社，2014：137-143

作者簡介：

劉華，1979年2月25日，男，漢，安徽阜陽，研究生，副教授，大學數學教育，火箭軍工程大學。