例談證明兩直線垂直的條件甄別與構建

歐陽先平

【摘要】垂直的證明是高考空間幾何體的熱點問題。兩直線垂直的證明問題，是空間幾何體中證明垂直問題的核心，也是基礎。證明兩直線垂直的方法不是單一的。那么，如何培養學生對條件的甄別能力，以快速、合理地選擇方法，并對不足的條件進行必要的構建，使問題得以順利解決呢？這是本文要努力解決的問題。

【關鍵詞】高中;兩直線垂直;條件甄別;條件構建

兩直線垂直的證明問題，是空間幾何體中證明垂直問題的核心，也是基礎。線面垂直與面面垂直的證明最終都得歸結到線與線垂直的證明。證明兩直線垂直，通常有以下三種方法：

方法一：通過計算，由勾股定理得出結論

條件情境：給出某些線段的長度或某些線段的關系，兩條直線共面或平移后共面，且能確定一個可求三邊長度的三角形。

方法二：轉證線與面的垂直關系，根據線面垂直的性質定理獲證

條件情境：直接給出一些垂直關系，如矩形，直角或面與面的垂直等，或間接給出一些垂直關系，如菱形或等腰三角形等。

方法三：向量法，通過數量積的計算，來證明兩直線的垂直關系

條件情境：從條件出發，能夠比較容易確定三條相互垂直的直線，以及可以直接建系，并確定相關點的坐標，用坐標法求證;如果能求出共頂點的三條線段的長度與夾角，以此三條線段所對應的向量為基向量構造基底，就可以應用基向量的關系進行數量積的計算求證。有時可以把兩條線平移至同一平面，構建平面向量的基底進行求證。

教育不是簡單的復制，也不是簡單的模仿，如何讓學生知其然，并知其所以然，才是教育之真諦。下文通過例題的講解，引導學生通過甄別情境條件合理選擇方法，并通過構建必要的條件情境以保障方法得以順利實施。

例，《九章算術》記錄形似“楔體”的所謂“羨除”，就是三個側面都是梯形或平行四邊形（其中最多只有一個平行四邊形）、兩個不平行對面是三角形的五面體。如圖，羨除ABCDEF中，ABCD是邊長為1的正方形，且△EAD，△FBC均為正三角形，棱EF平行于平面ABCD，EF=2AB，求證：AE⊥CF.

證明：【甄別與構建一】條件中給出了所有線段的長度，參照條件情境，可以運用方法一，即先進行線段的平移，使之相交，然后通過構建三角形并通過計算三邊，用勾股定理直接求證。

證法I：設P為EF的中點，邊結PB，PD，易證EA//PB，PD//FC，根據夾在兩平行線間的線段相等，可知PB=EA=1，PD=FC=1，∵ABCD是邊長為1的正方形，BD為對角線，∴BD=，顯然：PB2+PD2=BD2，∴PB⊥PD，即EA⊥CF.

證法II：延長AB至G，使得AB=BG，連接FG，CG，計算過程與方法（1）基本相同，此處略。

題后反思（1）：此題三角形確定后，三條邊都是可求的，可以直接用勾股定理進行求證。而有些題可能只知道三邊其中的一邊，而另兩邊都與某一不定邊的長度有關系，此時可以設不定邊為參數，然后用參數表示另外兩邊，但勾股定理是一定存在的。

【甄別與構建二】此題條件既有直接的垂直關系，如ABCD是正方形，也有間接的垂直關系，如⊿EAD，⊿FCB都是正三角形，可以考慮轉證線面垂直。由于圖形不是規則的幾何體，且兩異面直線之間的距離比較遠，不易直觀發現點、線、面的位置關系，可以考慮“拉近距離”重構幾何圖形，即將一條線進行平移，近距離地觀察幾何圖形中點、線、面的位置關系。其實不難發現，幾何體P-ADE是一個正四面體，那么AE與PD的垂直關系是顯見的。

證法III：如圖，設P是EF的中點，連接DP、PA，易證DP//CF，要證EA⊥CF，只需證EA⊥DP。設Q是EA的中點，連PQ，DQ.∵DE=DA，PE=PA，∴EA⊥DQ，EA⊥PQ，又∵DQ∩PQ=Q，∴EA⊥平面PDQ，∴EA⊥DP，∵DP//CF，∴EA⊥CF.

題后反思（2）：構建線與面的垂直關系，通常會涉及到雙向選擇，“線”垂直于“面”，那么兩條線中哪一條是“線”？“面”如何確定？這也是構建線面垂直模型需要突破的關鍵。往往是先判斷哪一條線涉及到的垂直關系較多，多的是“線”，少的是面中的一條線，定面的方法往往根據“兩條相交直線或平行直線確定一個平面”。因此，還需從與“線”垂直的直線中找出確定平面的另一條線。

【甄別與構建三】本題條件中數據比較充足，各棱之間的關系固定，可以考慮構建空間直角坐標系，用坐標法求證。坐標法的關鍵是建系與求點的坐標。本例中ABCD是一個正方法，可證線段EF的投影剛好與正方形的中位線重合。因此，空間直角坐標系的原點可以選擇正方形的中心，中心與相關中點的連線作為x，y，z軸建立坐標系。

證法IV：設M，N分別是AD與BC的中點，O為線段MN的中點，P是EF的中點，Q是AB的中點，則MN//AB.連接OP，OQ.∵EF//平面ABCD，據線面平行的性質定理知：EF//AB，∴EF//MN，即EFNM四點共面。易證AD⊥EM，AD⊥MN，EM∩MN=M，∴AD⊥面EFNM，即面EFNM面ABCD. 易證OM，OP，OQ兩兩垂直。分別以OM，OQ，OP為x，y，

z軸建立空間直角坐標系。則A（，，0），E（1，0，）， C（-，- ，0），F（-1，0，） .

∵ =（，-，）， =（-，，）， ∴ =0 ，即AE⊥CF.

【甄別與構建四】題目條件提供了共頂點的三條線段EA、ED、EF的長度，且能求出彼此之間的夾角，可以構建共頂點的三個向量為基向量，應用基底法來進行證明。

證法V：在等腰梯形ABFE中，過點A作AP⊥EF，垂足為P，則EP= ，cos∠AEP=

=，∠AEP=60o ，同理，∠DEP=60o.

∵ ，∴ cos60o=0.所以EA⊥CF .

題后反思（3）：基底法主要應用平面向量基本定理與運算法則，并結合數量積公式計算求證。基底法中完全條件是六個量——三邊、三角，如果所證兩線中恰有一條是三線之一，那么，條件可以不完全;建系法，通過選擇建立坐標系，并求點的坐標，然后應用坐標運算實現求證目標。兩種方法各有優劣，孰優孰劣需視具體條件情境而定。

歸納小結：證明線與線垂直的方法與條件雙向細目表。

總結：方法的選擇，因題而異，因條件而異。條件與方法的雙向聯系與條件情境的準確構建離不開教師平時的引導，也離不開學生認真的甄別與歸納。同一種方法所適用的條件情境大同小異，甄別異同并合理構建，就是證明空間線與線垂直的思路與策略。對于某一種方法中存在的困難，如何引導學生克服是解決問題的關鍵，也是情境構建的關鍵。

變式訓練：

1.如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，O，M，N分別是BC，AA1，BB1的中點， P為線段AC1上的動點，AA1=16，AC=8.

（1）若AO= BC，試證：C1N⊥CM;

（2）在（1）的條件下，當AB=6時，試確定動點P的位置，使線段MP與平面BB1C1C所成角的正弦值最大。

2. 在如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，AA1=2m，點E、F、分別為DD1、BD、的中點。

（1）若m=1，求證：EF⊥平面B1CF;

（2）若三棱錐B1-CEF的體積為，求AA1的長。

責任編輯? 陳? 洋