論初中數學教學中分類討論的原理與應用

蔡麗娟

[摘? 要] 分類討論思想是解決數學問題的一種基本方法. 研究者從分類討論的原理與基本步驟出發，立足于教學實踐，對它在概念教學、數學運算、位置關系、條件不確定以及解決實際問題中的應用談一些看法與思考.

[關鍵詞] 分類討論;應用;原理

分類討論思想是指在數學研究中，將待研究的問題根據不同標準進行分類，使得一個問題分化為多個小問題，再進行研究與解決的一種數學思想. 分類討論思想在數學研究中占有舉足輕重的地位，在培養學生思維的邏輯性、探索性、條理性以及綜合性等方面具有重要影響. 這種思想方法在初中數學課堂的應用，能將一些復雜的問題變得簡潔，模糊的問題變得清晰，同時還能激活學生的思維，開闊視野，提高學生的數學綜合素養.

分類討論的原理

分類討論思想是從不同情境下，對學科問題進行發展的考量，它能從多方位解決數學問題. 分類與分步是分類討論的兩個基本原理，其中分一類，也可稱為分類，而分一步也可稱為分步. 分類與分步原理在數學研究中的應用又稱為記數原理，即加法原理（與分類對應）、乘法原理（與分步對應）[1].

分類討論過程主要遵循以下幾個步驟：（1）有分類討論的基本意識，這是實施分類討論的基礎與必備條件;（2）確定分類原則，這一步的關鍵是要吃透問題的本質，知道以什么標準來分類，分類具有哪幾種可能性等;（3）選擇一個分類方法，要做到不重復、無遺漏;（4）針對每一類情況，具體討論分析，將每個問題的解決落到實處;（5）總結各類分析后的結論，作總結陳述.

以上五個步驟中，第（1）（2）兩步的難度最大. 分類意識的培養有一個漫長的過程，分類意識的滲透并非通過幾節課的講解就能達成，需在教學各個環節長期的浸潤，讓學生形成一種慣性思維. 一般簡單的問題不涉及分類討論，也難以培養學生的分類意識. 這就要求教師引導學生多接觸綜合性的例題，讓學生逐漸自主萌生出分類意識.

基于以上思考，筆者特整理出初中數學教學中幾類典型利用分類討論的例題，以展示幾種常見的分類討論方法，希望能給讀者帶來啟發.

分類討論法在數學教學中的應用

（一）在概念教學中的應用

概念教學是數學教學的基礎，但不少教師受傳統教學理念的影響，在概念教學中常常只關注概念“是什么”，而忽視概念的“為什么”，導致不少學生學完概念之后，雖然能流利、完整地背誦概念，卻只能知其然而不知其所以然，對于概念的來龍去脈、蘊含的數學思想等一知半解.

殊不知，真正的概念教學過程博大精深，每個概念的形成都經歷了一個艱辛、曲折的過程，我們今天所見到的每個概念都是經過生活的歷練后高度概括而來，其中不乏大量的數學思想元素. 鑒于此，基于分類討論思想滲透的數學課堂中，我們應化概念的結論教學為概念的過程教學，引導學生在探究概念的“為什么”中，激活思維，進行全方位的分類討論，以獲得概念的本質.

有些概念（如實數的絕對值）本身就是分類進行定義的，在應用的時候就需要分類討論;也有些概念在定義時，就考慮到了研究對象的范圍（如二次方程，求二次項系數不為零等），在解題時，當需要突破這些定義的限制時，就需要進行分類討論，才能實現解題.

例1? 已知x=3，y=1，xy<0，求x+y的值.

本題題干簡潔，看似簡單，但不少學生一做就錯. 究其原因主要就在于對概念的理解不夠透徹，有些學生忽略了絕對值分正負兩類情況，大部分出錯的原因在于對“xy<0”這個條件的認識不夠充分，沒有意識到x，y異號，需要分兩種情況來討論. 由此可見，掌握概念的本質以及分類討論思想的應用，對解題具有直接影響.

（二）在數學運算中的應用

運算一直是制約學生數學學習的重要因素之一，不論哪個學段，學生因運算而導致的失分現象一直存在. 出現這種現象的主要原因在于：運算習慣差，遇到含字母等符號的運算就打心眼里感到畏懼;不擅長分析，缺乏良好的運算思路，不會辨析與權衡各種運算方法的利弊.

事實證明，分類討論思想在運算中具有重要作用. 如一些運算的實施，本身就存在一些條件，如0不可作為除數，在不等式的兩邊同時乘或除以數或式子時要考慮正負問題等. 如果在運算過程中想要突破這些運算的基本限制條件，則必須從某個角度進行分類討論，以保證運算的合理性與完整性.

例2? 求解關于x的不等式，3+ax>a+2x.

錯解：移項后將不等式轉化為（a-2）x>a-3，解得x>.

此解題過程看似沒毛病，實則為典型的錯誤運算過程. 在移項這一步后，從不等式的性質出發，應將式子分為“a-2>0”“a-2=0”“a-2<0”三類情況進行分析. 而不同情況下，會呈現出不一樣的解.

本題的正解為：

①在a-2>0時，a>2，該不等式的解為x>;②在a-2=0時，a=2，該不等式的左邊等于0，右邊等于-1，而0>-1，因此該不等式的解為所有實數;③在a-2<0時，a<2，該不等式的解為x<.

在實際的解題練習中，本題的正確率不高，錯誤原因基本都集中在沒有進行分類討論. 由此可見，分類討論思想在數學運算中也占有非常重要的地位，一旦出現遺漏，則會導致錯誤的發生. 因此，教師在運算教學時，應引導學生從分類討論的角度來分析問題，完善解題思路，讓思維變得更具條理性.

（三）在位置關系中的應用

美國學者施瓦布提出：兒童自主參與知識的形成過程，能獲得研究自然所必需的能力，為形成科學概念奠定基礎，從而形成對未知世界積極探索的良好態度. 分類討論思想在解決圖形位置關系中，需要學生參與到圖形的變化過程中去，以切身感知圖形變化的種類，從而獲得可靠的分類依據.

新課標提出：教師要為學生提供“自主、合作、探究”的機會[2]. 于初中學生而言，位置變化關系中的動態翻折、旋轉、平移等問題，確實有一定難度，解決這些問題的關鍵就在于相對運動關系的獲取與分類討論思想的運用. 當遇到位置或形狀難以確定的問題，則需要理清思路，展開全面討論，才能實現正確解題.

例3? 已知直線l上的某點P與圓心O的距離為5 cm，而☉O的半徑長也為5 cm，則直線l和☉O之間具有怎樣的位置關系？

分析：本題解題過程中，有不少學生將直線與圓的距離理解為OP，也就是將直線l上的點P理解為垂足，將直線與圓的位置關系直接認為是相切的關系，從而出現解題不完全的現象.

解析：（1）若OP⊥l，圓心O與直線l之間的距離為OP. 根據題設條件已知OP=5，R=5，因此OP=R，所以點P與直線l之間的距離為☉O的半徑，直線l和☉O為相切的關系;

（2）若OP與直線l不是垂直的關系時，直線l與圓心的距離則小于OP，那么☉O與直線l為相交的關系.

基于以上兩點思考，本題直線與圓的關系，存在相切與相交兩種情況. 解題則需分別從這兩種情況進行分析，如此才能確保解題無遺漏與正確性.

當然，本題作為圓與直線位置關系的基礎題，在解決此題的基礎上，為了強化學生對知識的理解，深化學生對分類討論方法應用的認識，教師還可以適當地進行變式訓練.

變式：直線l上的某點P與圓心O的距離為a，已知☉O的半徑長為r，且a=r，則直線l和☉O之間具有怎樣的位置關系？

此變式在原題的基礎上稍有變化，其中不僅存在分類討論思想，還蘊含著從特殊到一般、數形結合等數學思想，學生的思維隨著問題的變化而活躍，解題能力也隨著認知的完善而提升.

（四）在條件不確定中的應用

解題時，我們常會遇到一些條件開放性的問題，此類問題靈活，對學生的思維要求較高. 若稍有考慮不周，就會出現解題遺漏的現象. 一般條件開放類問題的結論不唯一，有時即使考慮周全了，解出所有結論，但結合問題的實際情況，又要舍掉不合理的結論. 面對如此復雜的情況，讓不少學生感慨：數學真難！

其實，這并不是數學難，而是對思維的要求比較高. 要實現解題，學生必須有嚴謹的邏輯思維能力，面對問題做到不慌不亂，只要細致入微地思考到每一種情況，分門別類地一步步周密分析、求解，獲得結論后再回歸原題實際，進行代入分析，則可完美地解決問題.

例4? 甲、乙二人分別從距離30 km的兩地同時出發，相向而行，此二人在3小時后的距離為3 km，再過2小時，甲到B地剩下的路程為乙到A地剩下路程的2倍，分別求甲、乙二人的速度.

分析：本題受思維定式的影響，不少學生將“在3小時后兩人的距離為3 km”的條件，理所當然地認為兩人并未相遇，而實際況卻存在兩人已經相遇，背向而行的情況. 因此，本題應分以下兩類情況進行討論：

（1）3小時后，甲、乙兩人并未相遇，假設甲的速度為x km/h，乙的速度為y km/h，列式為30-5x=2（30-5y），

3x+3y=30-3.

（2）3小時后，甲、乙兩人已經相遇過，假設甲的速度為x km/h，乙的速度為y km/h，列式為30-5x=2（30-5y），

3x+3y=30+3.

通過本題可見，解題不僅要有分類討論意識，還要有敏銳的觀察力，只有發現問題的存在，才能實現無遺漏的解題. 而這種觀察力與分類討論意識的培養，則需滲透于日常教學的各個環節. 學生在教師有意、無意的思想滲透下，逐漸形成良好的審題能力與數學思想，既為核心素養的發展奠定了基礎，也為形成可持續發展的學習能力做好了鋪墊.

（五）在實際問題中的應用

初中數學教材涉及的一些法則、定理、公式等，都是為了更好地解決生活實際問題所服務. 在解決一些實際問題時，教師應引導學生習慣性地從分類討論的角度去分析，讓學生在多次、反復的練習訓練中，感知分類討論思想的實際價值：分類討論能讓解題過程更具條理性，結論更加完整、準確.

縱然不使用分類討論，也能解決問題，但出錯的概率相當高. 實踐證明，分類討論不僅能實現解題的嚴謹、科學性，還能幫助學生學會概括與總結，尤其是具有一定規律或內部聯系的知識，應用分類討論則讓知識的邏輯更加清晰，內容更具條理性，使學生的思維變得更加縝密.

例5? 婚慶公司在周年慶來臨之際，準備將之前每對新人的照片刻錄成光盤送給客戶. 如果到電腦公司進行刻錄，每張光盤需要交付8元的費用;如果公司自己刻錄，需要花120元租賃刻錄機，然后再支付每張光盤4元的成本費. 若你是老板，是去電腦公司刻錄這批光盤，還是自己租機器回來刻錄呢？

解析：選擇哪種方式更劃算，由待刻錄的數量所決定. 設待刻錄光盤的數量為x，那么送出去需花費y=8x元，自己租刻錄機回來刻錄的費用需要y=4x+120（元）.

至此，就要分三種情況進行討論了：①若y>y，8x>4x+120，可解得x>30;②若y=y，8x=4x+120，可解得x=30;③若y<y，8x<4x+120，可解得x<30.

綜上可知，當需要刻錄的光盤數量為30張時，自己刻錄與送到電腦公司刻錄所花費的金額一樣;當刻錄的數量大于30張時，自己租機器回來刻錄更劃算;當刻錄的數量小于30張時，送到電腦公司刻錄更劃算.

本題的解題關鍵是用代數式列出光盤刻錄所需要花費的金額，通過對結論的類比分析，即可獲得最佳的方案. 顯然在解題過程中，應用了分類討論的方法. 正因為這種數學思想的應用，才讓解題變得清晰、簡捷.

思考

通過以上對分類討論法的分析和對經典例題的應用解析，我們應明確一旦在解題過程中遇到條件、結論等不明確，問題中的圖形位置呈現動態變化或題中含有參數等棘手的問題時，可從分類討論的角度去思考與分析，或將求解的問題進行分割，分門別類逐個進行研究與探索，如此可幫助學生理清思路，實現解題.

作為一線的數學教師，應在教學中有意識地培養學生的數學分類討論意識. 當遇到需要分類討論的問題時，應抓住一切契機，引導學生自主探索，實施分類討論. 值得注意的是，分類時要明確標準，一件事物從不同的標準出發，會有不同的分類，而所有的分類都應是無重復、無遺漏的過程.

總之，教師在日常教學中，應帶領學生多研究、實踐與探索，讓學生在潛移默化中形成良好的分類討論意識. 當遇到實際問題時，學生則能夠不假思索地加以應用，學生的思維隨著分類討論思想的應用也會變得更加嚴謹.

參考文獻：

[1]M·克萊因. 古今數學思想[M]. 張理京，張錦炎，江澤涵等譯. 上海：上海科學技術出版社，2009.

[2]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.