高中數學概念教學中的“育人”實踐

[摘? 要] 數學學科育人是對學生關鍵能力和必備品格的培育，在數學知識的建構過程中引導學生經歷深度思考的學習過程，在數學探究過程中感悟數學的發展規律，培養良好的習慣和品格. 文章以蘇教版（2019年版）“函數的概念和圖像”教學為例，在課堂實踐中找準育人的附著點、停靠點、生長點，設計有高度、有寬度、有深度、有溫度的數學問題，探索高中數學概念教學中情境育人、實踐育人、思維育人的方法和策略.

[關鍵詞] 高中數學;學科育人;概念教學

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對高中數學學科育人的目標做了進一步的闡述：“提高學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力;樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神;不斷提高實踐能力，提升創新意識;認識數學的科學價值、應用價值、文化價值、審美價值.”[1]我們要發揮數學課堂的主渠道作用，將學科育人寓于數學知識的傳授過程. 有意識地做好教材的深度研究，挖掘教材和課堂中蘊含的不同種類的育人素材，以巧妙的教學方法實現兩者之間的高度融合. 既使學生能在課堂教學中習得數學知識，構建完整的脈絡框架;又能形成良好習慣，培育數學理性精神;還能接受思想政治熏陶，樹立正確的價值觀和人生觀，最終達到智慧增長、情感豐富、精神涵養的目的. 下面以筆者參加江蘇省青年高中數學教師優課評比活動中執教的“函數的概念和圖像”為例，探索高中數學概念教學中的育人路徑.

教學過程及設計意圖

1. 創設情境，鋪墊引入

課程首語：華羅庚名言“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用到數學”.

思考1：請你帶著數學的眼光觀看視頻《老師的一天》，你能發現哪些數學問題？

播放視頻：《老師的一天》（節選自《學習強國》）.

師生交流、提煉：

（1）情境1：學習小組6名學生的學號與數學考試成績.

（2）情境2：軍訓隊伍行進路程與時間的關系S=0.8t.

（3）情境3：某天24小時內的氣溫變化圖.

設計意圖：本節課的教學目標：通過學習，使學生養成用運動變化的觀點、函數的眼光去認識世界的思維習慣. 課程首語選用華羅庚名言及視頻《老師的一天》，都是為了讓學生體會數學源于生活，生活處處有數學.在單元整體視角下，把本章需要的情境融合典型實例，用一個實際故事創設了課堂教學整體情境，讓學生在實際情境中尋找數學問題，學會用數學的眼光觀察世界.

思考2：以上情境都和數學中的什么知識有關？為什么？

師生交流：它們都是函數問題，判斷依據是初中學習的函數概念.

（1）復習初中學習的函數概念.

問題：在初中，函數的概念是怎樣表述的？

生：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數.

（2）介紹函數的發展史.

設計意圖：人教版教材和蘇教版新教材的章首語都設置了具體問題，通過激發學生的認知沖突，強調高中要繼續學習函數概念的必要性. 但函數概念本身就非常抽象，試教實施過程中發現學生認識函數概念有很大困難.改用數學史的簡單介紹，讓學生體會函數概念隨著數學的發展在不斷完善，集合概念的出現使函數概念又得到了進一步發展，人們用“集合”和“對應”來定義函數，可以更加深入地理解函數的本質，也是我們為什么要再認識函數概念的依據.

2. 歸納概括，建構概念

問題1：怎樣進一步認識函數的概念？

情境1：某學習小組6名學生的學號與數學考試成績（如表1所示）.

在教師的引導下，師生共同分析發現：學生的學號與數學考試成績之間的對應關系→數與數的對應→集合與集合的對應. 即

情境2：隊列訓練中，方陣以0.8 m/s的速度勻速行進2分鐘，這段時間內，方陣行進的路程S（單位：m）與行進時間t（單位：s）的關系可以表示為S=0.8t.

師：這個函數能不能理解為兩個集合的“對應”呢？如果是，又是哪兩個集合的“對應”？

學生在情境1的分析的基礎上，通過相互交流發現：

情境3：圖2為某天24小時內的氣溫變化圖.

師：這個函數又可以看作是哪兩個集合的“對應”呢？

學生在前面兩個情境的分析的基礎上，可以很快發現：

設計意圖：通過三個情境的分析，引導學生完成三個層次的抽象：第一層次是由“生活數學”到“數學問題”的抽象;第二層次是由“變量（數）與變量（數）的對應”到“集合與集合的對應”的抽象;第三層次是對函數本質認識的抽象.為函數概念的形成奠定了基礎.三個情境分析的活動方式也有所變化，這完全符合學生的一般認知規律.

問題2：上述闡述中，包含了函數哪些共同特征？

通過PPT展示（如圖3所示）：

特征1：都包含兩個非空數集;

特征2：都包含一個對應關系;

特征3：對于數集A中任意元素x，按照對應關系在數集B中都有唯一確定的元素y與之對應.

問題3：結合特征，請用“集合”與“對應”刻畫函數.

教師在學生交流的基礎上完善補充，生成函數概念：給定兩個非空實數集合A和B，如果按照某種對應關系f，對于集合A中的每一個實數x，在集合B中都有唯一的實數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數（function），記作y=f（x），x∈A. 其中，x叫做自變量，集合A叫做函數的定義域（domain）.

設計意圖：在三個情境分析和抽象的基礎上，對三個情境（數學問題）中函數的共同特征進行歸納概括，使函數概念的生成水到渠成. 讓學生在合作探究中既構建了數學知識體系，生成了數學概念，也在實踐探索中培養了數學探究能力和數學理性精神，潛移默化中讓數學課程和思政教育形成了“協同效應”.FA9076BA-9649-4BF9-B042-1848487C2436

3. 問題辨析，理解概念

思考：情境1中如果4號學生缺考，Y是否為X的函數？

學生根據函數概念辨析如下（師生活動）：若4號學生的成績記為“缺考”，則Y不是X的函數（如圖4所示）;若4號學生缺考而沒有記錄成績，則Y不是X的函數（如圖5所示）;若4號學生缺考而成績記為“0”，則Y是X的函數（如圖6所示）.

追問：集合A，B與對應關系f如圖7、圖8所示，f：A→B是否為從集合A到集合B的函數？

y=f（x），x∈A中的f（x）是運算符號，輸入一個x值，就有唯一的y值輸出，我們把所有輸出的值組成的集合稱為值域. 比如圖9的值域為C={130，142，108，0， 92，113}. 給出函數值域的定義：若A是函數y=f（x）的定義域，則對于A中的每一個x值（輸入值），都有唯一一個y值（輸出值）與之對應. 我們將所有y值組成的集合{yy=f（x），x∈A}稱為函數的值域（range）.

繼續追問：（1）圖10表示的函數的值域C是什么？

（2）值域C與集合B是什么關系？

對應關系、定義域、值域是函數的三要素，對應關系、定義域、值域都相同的兩個函數才能稱為同一個函數.

思考：判斷下列各組函數是否為同一個函數，并說明理由：

（1）y=2x，x∈（0，2）;y=x2，x∈（0，2）.

（2）y=x2，x∈{0，2};y=x2，x∈[0，2].

（3）y=x2，x∈（0，+∞）;s=t2，x∈（0，+∞）.

設計意圖：函數的概念比較抽象，在給出函數概念和初步解讀的基礎上，針對概念中的幾個關鍵點、易錯點、易混點，通過設置具體直觀的問題，讓學生在問題的辨析過程中進一步理解函數的概念. 在處理方式上，采用的是由具體到抽象的方法，不斷強化學生的數學抽象素養. 其中，對函數值域概念的后置處理采用的也是由具體到抽象的方法，顯得自然順暢，同時也有效分解了難點.

4. 典例探究，鞏固概念

例1 （多選題）下列對應關系是函數的有（? ）

B. x→y，這里y2=x，x∈N，y∈R

C. x→1，x∈R

D. 當x為有理數時，x→1;當x為無理數時，x→0

例2 根據所給信息完善下表：

探究 （開放題）已知一個函數的解析式為y=x2，它的值域為區間[1，4]，這樣的函數有多少個？試寫出其中的兩個函數.

設計意圖：例1運用函數的概念判別對應關系是否為函數，幫助學生進一步理解、鞏固概念. 例2讓學生在具體的問題背景中理解函數定義域、值域的含義，在問題解決的過程中，感悟簡單的函數定義域、值域問題的求解方法，并能用集合規范地表達定義域和值域.最后設計了開放性的探究問題，讓學生更加深刻地理解函數三要素之間的關系，培養學生的創新思維.

5.？搖課堂小結，單元引領

課堂小結如圖11所示.

設計意圖：在課堂小結中，既抓住了本節課的重點，又梳理了初中和高中函數教學的基本框架和路徑.其中，用“單元”思想引領學生關注知識的系統性和整體性，促進學生提高數學學習的思想站位.

課堂評析與思考

概念教學不能是“生搬硬套”給出概念、“死記硬背”記憶概念、“習題操練”鞏固概念的傳統模式，而要從學科育人的視角出發，“重視概念引入，激發學生求知”“突出概念生成，豐富學生活動”“深化概念理解，拓展學生認知”“加強概念應用，訓練學生思維”. 由于函數概念高度抽象，難以理解，因此本節課深度融合了函數概念形成的歷史文化以及概念建構、辨析、應用中飽含的育人元素，有效依托實際的問題情境，重點關注函數概念特征的抽象過程，引導學生體驗函數概念產生的過程，并且結合具體問題對函數概念進行深刻辨析. 既講清了知識又提升了學生的數學核心素養，豐富了數學文化底蘊，培養了優秀學習品質，達到了學科育人的效果[2].

1. 在鋪墊導入中突出情境育人

數學情境的有效創設，可以樹立學生的學習信心、激發學生學習數學的興趣、調動學生的積極思維. 充分挖掘教學內容和學生實際生活的“切入點”設置情境，可以自然地導入數學概念，讓學生形成感性認識，在真實的情境中獲得知識和技能;將數學中的“境”與生活中的“境”融合統一，讓學生感受到數學的“真”，體悟到數學的“美”，促使學生“知、情、意、行”全面發展. 本節課在鋪墊導入環節中，充分挖掘隱性素材并加工創新，巧妙地賦予思政元素，節選自《學習強國》視頻故事中老師一天忙碌的工作，弘揚尊師重教的優良傳統，突出課堂的德育功能.在感知函數概念繼續學習的必要性時，回避學生理解中的難點，選擇從函數發展的歷史過程切入主題，“寥寥幾句”既推廣數學文化又不沖淡本節課的教學重點，更能起到春風化雨、潤物無聲的育人功效.

2. 在建構概念中彰顯實踐育人

在建構概念的過程中，需要積極引導學生進行自主探究、合作交流、總結提煉，讓學生主動概括形成概念，通過師生之間互動厘清概念的脈絡，對概念的重難點進行辨析理解，深度挖掘概念的內涵和外延[3]. 比如：情境1是在教師的引導下，通過師生共同分析，直觀呈現了“學號與數學考試成績的對應關系”到“數與數的對應關系”再到“集合與集合的對應關系”的抽象過程;然后組織學生合作探究、類比歸納情境2中是哪兩個集合的“對應”;基于前面活動的經驗，學生能自覺發現情境3中集合的對應關系;最終在類比歸納中找到它們的共性特征，建構集合對應視角下的函數概念.概念建構中的探究實踐活動給學生提供了提出問題、分析問題和解決問題的機會，幫助學生理解數學知識、探究內部規律、解決實際問題，有利于增強批判質疑的意識、提高理性思維能力、培養勇于探究的精神. 學生相互合作、分享經驗，可以展示自我、活躍思維，有利于增強學生學習數學的興趣，改善學生的學習體驗，培養樂學、善學、勤思的優良學習品格.

3. 在辨析、應用中體現思維育人

數學是思維的體操，數學為思維而教，強化思維育人貫穿數學課堂的始終.數學概念課中，為了架構完整的概念體系，讓學生透徹理解數學概念，可以精設問題開展辨析，在探究交流中激活學生的思維;也可以在概念生成、辨析清楚后，運用剛學的數學概念解答精選的典型試題，并從中總結解題的一般規律、細化解題方法、梳理易錯環節，有效實現知識的遷移. 讓學生領略數學價值時，培養他們主動參與活動的意識，提升問題解決能力，養成良好的數學思維習慣. 本節課在概念辨析環節中，針對函數概念中的“每一個”“唯一”等關鍵字詞，和相關的易錯點、易混點，設置了三組具體、直觀的問題讓學生辨析，激發學生的思維，使學生深度理解函數概念. 在例題探究、概念鞏固的環節中，筆者結合高考新題改編了課本中的例題，以多選題、開放題等多種形式命題，組織學生討論、板演、評價、修正，強化學生的求真意識、審美意識、反思意識，促進數學理性思維的形成，催生靈動、智慧的數學課堂.

【注】該課例系2021年江蘇省青年教師優秀課評比一等獎，并作為B組第一名進行大會展示.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]? 王海燕. 深耕課堂，促進數學學科“育人價值”實現[J]. 數學教學通訊，2021（10）：13-14.

[3]? 江妙浩. 高中數學概念課育人的教學策略——以《函數的奇偶性》教學為例[J]. 中學教學參考，2021（35）：1-3.

基金項目：江蘇省“十四五”重點規劃課題“‘課程思政視域下高中數學教學設計與實施研究”（編號：C-b/2021/02/28）;江蘇省前瞻性教學改革項目《支持差異化學習的數學學習空間的建構》（編號：2020JSQZ0135）.

作者簡介：祝維男（1983—），中學高級教師，南通市學科帶頭人，曾獲江蘇省青年教師優秀課評比一等獎、江蘇省基礎教育成果一等獎.FA9076BA-9649-4BF9-B042-1848487C2436