以“析、思、解、悟、變”思維構建專題復習課

鄭海山 唐海燕

摘? 要：從“與圓有關的專題課”案例出發，從析題、思題、解題、悟題、變題這幾個方面的研究入手，建構幾何專題復習課的核心環節，有效地把教師對題的認識與學生對題的理解進行充分的預設和生成，切實提升學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，形成良好的解題習慣和解題策略，提高邏輯推理能力.

關鍵詞：與圓有關;專題復習;解題能力

說題一般包含賞題、析題、解題、思題、變題五個方面. 把說題的要素融入復習設計與教學中，結合學生和課堂因素，在教學實踐中逐步提煉出“析、思、解、悟、變”環節建構幾何專題復習課，獲得較好的效果. 本文以“與圓有關的專題課”為例，分享觀點.

一、解讀與圓有關的專題課和“析、思、解、悟、變”

案例源自浙江省溫州市中考試卷——與圓有關的試題，其教學目標是會運用圓、三角形、四邊形的相關性質解決問題，并在問題解決的過程中提升邏輯推理能力. 上課學生來自農村學校，對該板塊內容的掌握不是很理想，分析原因主要是只重視反復做題，大量練題，缺乏解題思路、解題方法的歸納總結，因此知識之間不成體系，凌亂繁雜，復習效率不理想，改變現狀的方法是提升解題質量，進而提升學生的數學邏輯推理能力.

“析、思、解、悟、變”是指在試題處理中的析題、思題、解題、悟題、變題五個方面，通過“析、思、解、悟、變”的過程化教學，在知識、思想方法和策略的體系內建構幾何復習內容，能有效提升解題質量，促使每一個層次的學生在解題習慣和邏輯推理能力方面有所提升. 析題——遇見最近：根據試題，分別分析題目的條件和結論，即綜合法和分析法，由學生通過綜合法和分析法得出條件最近的結論和結論最需要的條件，快速理解題意. 思題——需要等待：教師要根據試題的特點設定好思考的時間，才能給學生山重水復疑無路和柳暗花明又一村的感觸. 解題——百花齊放：教師要有解題的多種方法，預設推理的困難點，多問你是如何想到的，所用知識是什么，再依靠學生的方法逐步釋放出一題多解. 悟題——謀篇布局：引導學生歸納解題背后的知識、模型、思想方法和策略. 變題——鞏固創新：進行試題的同類變式和拓展變式等，對知識進行鞏固與深化，培養學生的邏輯推理能力.

二、例題分析

教師列舉浙江省溫州市2015—2019年中考中與圓有關的試題，重在圖形和問題結論（如表）的對比，視覺沖擊強烈.

【設計意圖】學生能夠比較清晰地感知與圓有關的中考試題的結構特點，增強學生學習的目的性，更快速地進入學習狀態.

例1 （2016年浙江·溫州卷第21題）如圖1，在△ABC中，∠C = 90°，D是BC邊上一點，以DB為直徑的⊙O經過AB的中點E，交AD的延長線于點F，連接EF.

（1）求證：∠1 = ∠F.

（2）若sin B =[55]，EF =[25]，求CD的長.

例2 （2019年浙江·溫州卷第22題）如圖2，在△ABC中，∠BAC = 90°，點E在BC邊上，且CA = CE，過A，C，E三點的⊙O交AB于另一點F，作直徑AD，連接DE并延長，交AB于點G，連接CD，CF.

（1）求證：四邊形DCFG是平行四邊形.

（2）當BE = 4，CD =[38]AB時，求⊙O的直徑長.

1. 析題——析出產生式遷移

教師與學生一起析題，即把相應的條件標注在圖形中，做到以圖達意.

例1處理：

問題1：以DB為直徑的⊙O經過AB的中點E，你會想到什么？

問題2：要證∠1 = ∠F，只需證什么？

教師及時寫下師生互動的過程于黑板上（如圖3）.

例2處理：采用例1的提問方式，把握“得出與條件最近的結論”和“得出結論成立最需要的條件”這兩項學習任務之間的思維距離，與學生一起確定兩者之間遷移存在的思維困難點在何處.

【設計意圖】讓全體學生了解題目分析的思維流程圖，并掌握分析題目的基本方法，即運用綜合法分析題目的條件，得出與條件最近的結論，用分析法分析題目的結論，得出結論成立最需要的條件，為思題環節提供思維著力點.

2. 思題——思出思維節點

根據所得的條件你認為角的轉化最有可能用到什么知識？邊的轉化可能用到什么知識？促進學生產生聯想，不斷提高研判突破思維節點的方向性的能力，在不斷試錯中提升邏輯推理能力. 讓學生自主限時6分鐘完成此題，并考慮是否還有其他方法，教師適當輔導部分學生，時間到后評估學生的完成情況.

【設計意圖】根據試題設定好的學生單獨思考完成的時間，才能讓不同學生充分感觸“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的解題快樂，增加解題樂趣. 通過幫扶和評估手段可以更好地幫助思維困難的學生，并提高學生參與學習的主動性.

3. 解題——解出思維可視化和求異化

教師對試題的解法需要多樣性的思考預設，預設推理的困難點，多問學生你是如何想到的，所用知識是什么. 教學中根據學生的講解方式逐步演繹一題多解，明白想法來自何處，解法背后的知識是什么，提高解題的質量和思維的寬度. 在例1中，教師設計了如下問題串.

問題1：你是如何想到要連接DE的（如圖4）？

問題2：你是如何發現可以把∠1和∠F進行轉化的？運用什么知識進行轉化？

生1：中點垂直易發現全等三角形（中垂線），同弧易得角轉化.

問題3：你從哪個視角考慮求邊長？所用的知識是什么？

生2：在一個三角形中，運用勾股定理建立方程，或者在兩個三角形中運用相似建立方程.

問題4：還有其他方法嗎？是如何發現的？運用了什么知識？具體解題過程是怎樣的？

生3：如圖5，連接BF，發現直角三角形中線性質，易得角的轉化.793A9FFF-0255-4A68-8855-2FC75ED43FFA

在例2中，教師除了進行上述提問外，還可以展示第（1）小題的逆向思維圖示：如圖6，∠GEB = ∠FCB → ∠FCB = ∠FDE → ∠CFD = ∠FCB → ∠FCB = ∠ACF → △ACF ≌ △ECF（或[EF=AF]），達到角轉化的思維路徑可視化;第（2）小題正向思維圖示：如圖6，易證△BEF ∽ △BAC（或△BGE ∽ △CDE）→EF = ？，AC = ？→由BE = 4，CD =[38]AB如何表征到EF和AC→方程思想，達到求邊的思維路徑可視化. 就是運用“問題串 + 圖示”把不可視的思維（思考方法和思考路徑）呈現出來，使其過程清晰可見，可以提高信息加工及信息傳遞的效能.

【設計意圖】一題多解是提高解題質量和訓練學生思維的重要環節，教師充分預設解法情況，精心設計推理困難點的問題，善于通過學生的解法解說解法背后的思維路徑和知識支撐. 通過一題多解的教學可以充分發揮試題的價值，單位時間內拓寬知識運用的廣度，從而提高解法教學的效率和效益.

4. 悟題——悟出概括化知識系統

在解題中不斷引導學生歸納解題背后的知識、模型、思想方法和策略. 例如，例1、例2的悟題視角有：為什么要連接DE或BF？此題證明角相等的方法有哪些？解直角三角形的方法有哪些？計算邊長常用的方法和思想有哪些？隱去圓，弱化一些無關線段，能發現基本圖形（如圖7，即直角三角形 + 折疊求邊長模型圖）嗎？把以上的知識形成解題的一般策略，引導學生形成解題思維路徑（如圖8），便于學生建構有跡可循的思考方向模型，再次鍛煉學生的推理能力.

【設計意圖】悟題在于歸納，是提升解題質量的重要環節，它與解題環節是相互交叉，不斷歸納、補充的過程，能有效地解讀知其所以然，起到做一題、會一類，多法歸一的效果，多題同法的求同思維，為后續遷移和創新提供腳手架.

5. 變題——遷移與創新

對試題進行同類變式和拓展變式，可以對原題進行條件和結論的互換、條件弱化等變式，也可以另起新題，對所學知識進行鞏固與深化，不斷培養學生的中、高階的推理能力、解題習慣和解題策略，幫助學生勾勒出知識與方法體系. 按照提升學生的推理能力進行編排，賞析如下.

變式1：如圖9，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，AC交⊙O于點D，∠BAC = 2∠CBE，BE交AC于點E，交⊙O于點F，連接AF.

（1）求證：∠CBE = ∠CAF.

（2）過點E作EG⊥BC于點G，若∠C = 45°，CG = 1，則⊙O的半徑是多少？

變式2：如圖10，在△ABC中，AC = BC，∠ACB = 90°，⊙O（圓心O在△ABC內部）經過B，C兩點，交AB于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點F，延長CO交AB于點G，作ED∥AC交CG于點D.

（1）求證：四邊形CDEF是平行四邊形.

（2）若BC = 3，tan∠DEF = 2，求BG的值.

【設計意圖】通過題組，循環“析、思、解、悟、變”過程，為教師搭建以學為中心的復習框架（如圖11），為學生提供可視化的思維路徑，提升邏輯推理能力. 補充完善與圓相關的常見輔助線的添加方法，不斷完善“等角轉化”和求邊長的方法，圖形模型化等思維策略，并借此學會處理形如[2x+1=2+x+1]和[12x2+11=x+1x2+1]等方程，強化方程本質，培養化繁為簡的數感，提升邏輯推理能力，并培養思維品質.

三、教學反思

“析、思、解、悟、變”構建幾何復習課時要關注內容、課堂特點和學生實際，把提升各層次學生的邏輯推理能力作為目標，圍繞“如何想到？”“用什么知識？”顯現思維路徑和策略，提煉基本圖形為設計著眼點，實現教學目標.

1.“析”的前提是備題充分

“析”的前提是對授課內容進行選材，關注試題反映的背景、意圖和評價等，準確把握選材內容是否符合《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》），這是內容能否采用的關鍵所在. 例如，案例中采用的區域學業水平檢測題，比較貼合《標準》. 把“得出與條件最近的結論”和“得出結論成立最需要的條件”這兩項學習任務產生遷移，兩項任務之間產生式的重疊越多，遷移量越大. 兩項任務之間的遷移是隨著共有的產生式的多少的變化而變化的，可以幫助教師研判學生可能存在的思維困難點在何處.

2.“思”的核心是引導學生嘗試聯想

研判出學生“思”的疑惑點后，需要做好揭露思維節點的問題設計.“得出與條件最近的結論”和“得出結論成立最需要的條件”之間有什么關聯？根據所得的條件你認為角的轉化最有可能用到什么知識？邊的轉化可能用到什么知識？促進學生產生聯想，不斷提高研判、突破思維節點的方向性的能力，在不斷試錯中提升邏輯推理能力.

3.“解”的要素是動態交互和呈現方式

解的過程需要師生互動. 你是如何想到的？所用的知識是什么？還有哪些方法？哪位學生解的方法最好？等等. 學生對題的認識能讓我們重新評估學生思維的障礙點，及時追問和補充. 沒有互動，思想就不會傳遞，思維就不會產生火花，乃至共鳴. 此外，還要注意解題過程中的思維圖示展示（例題中的角轉化和邊轉化），把不可視的思考方法和思考路徑呈現出來，可以提高信息加工及信息傳遞的效能. 提高教學效能的關鍵不在于“知識重復的次數”，而在于挖掘與呈現知識背后的思維規律，并訓練學生，使他們掌握它. 例題中的一題多法是發散思維的體現，只有這樣，學生邏輯思維能力才會在學習過程中得到有效發展.

4.“悟”的落點在于概括

賈德的概括化理論認為：共同要素并不能自動導致遷移，經驗的概括才是重要的. 由于提高解題教學的效率在于解題的質量而非解題的數量，教學中特別要研究由題目信息與不同數學知識結合形成的多個解題方向，學會選擇解題途徑，深度思考. 因此，引導學生對試題背后的知識與技能、思想與方法、規律與模型、策略與習慣等逐一概括，體現多法歸一、多題同法的求同思維，為后續遷移和創新提供腳手架，從而促使邏輯推理能力有效提高.

5.“變”的實質是遷移與創新

“變”題含義是豐富的，有條件和結論互換變式，適用于新授例題學習和規律的運用，也有同類遷移變式和創新變式提升. 在試題符合《標準》要求的情況下，教師要對其進行秩序的組合，以滿足學生解題策略、解題習慣及解題模型的目標達成，促進有意義的變式題組. 一組好的變式題組能讓課堂層次更加豐富，還能讓課后作業更加有成效，為提升邏輯推理能力提供有效的媒介.

教學實踐表明，“析、思、解、悟、變”不僅適用于幾何專題復習課，也同樣適用于新授例題教學和代數的專題教學，在提升學生邏輯推理能力上效果顯著.

參考文獻：

[1]茅雅琳. 初中數學教師說題比賽的意義初探[J]. 中國數學教育（初中版），2014（10）：46-48.

[2]來林芳. 賞·析·解·思·變：說題實踐與收獲[J]. 中國數學教育（初中版），2016（12）：60-64.793A9FFF-0255-4A68-8855-2FC75ED43FFA