基于區塊鏈思想的數學慢教育研究

朱桂鳳

摘? 要：把區塊鏈思想借用到數學“慢教育”課堂，旨在落實學得會、學得好和育好人的根本任務. 區塊鏈思想包括概念區塊鏈、原理區塊鏈和方法區塊鏈，涉及見木見林、厚積薄發和觸類旁通學習目標的層次性實現. 以“一元二次方程”單元教學為行動載體，展現區塊鏈教學的路徑、方法和策略，促進上好學目標的充分實現.

關鍵詞：區塊鏈思想;數學慢教育;一元二次方程;課例研究

區塊鏈技術（Blockchain technology）是科技名詞，是繼蒸汽機、電力、信息和互聯網革命后，引發第五次人類社會顛覆性變革的技術，并開始在教育教學領域產生影響. 筆者把區塊鏈思想借用到數學慢教育課堂，旨在提高課堂育人的質量，實現學得會、學得好和育好人的根本任務. 區塊鏈思想包括概念區塊鏈、原理區塊鏈和方法區塊鏈，涉及見木見林、厚積薄發和觸類旁通目標的層次性實現.

本文以蘇科版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）九年級上冊第一章“一元二次方程”單元教學為行動載體，展現區塊鏈教學的路徑、方法和策略，落實讓學生上好學的目標. 在慢教育視域下，以“一元二次方程”概念教學為主線，引導學生站在章知識體系高度，把一元二次方程、一元二次方程解法、一元二次方程的根與系數的關系、用一元二次方程解決問題等內容整合融通，切實讓學生見木見林.

一、為學得會而慢，形成概念區塊鏈，突出見木見林目標

數學慢教育起于學得會，成于概念區塊鏈，終于見木見林. 當然，學得會不只在于會做題，更在于讓學生知道概念的來龍去脈，也就是讓學生體驗到從實際背景中抽象出數學問題、構造數學模型、尋求結果、解決問題的過程. 像從“正方形桌面問題”“圖書館藏書問題”“梯子靠墻問題”抽象出一元二次方程的概念，并進行變式、引申，就是學會的一種表現. 概念區塊鏈就是新、舊知識關系得以順應，結構性概念得以增值，擴大經驗的適用范圍. 像基于“一元一次方程”的經驗來研究一元二次方程、一元一次不等式和一次函數等知識體系，就是概念區塊鏈建立的常見例子. 見木見林則是章節概念、學段概念和系統概念的左右勾連、上下貫通的衍生狀態. 讓學生經歷一元二次方程起始概念的學習，體驗到一元二次方程與一元一次方程、一元一次不等式、一次函數的關系及其內部概念關系思維叢林，就是見木見林的經典思維和長篙漫溯.

就認知需要層次來說，概念區塊鏈是指概念和概念關系、圖形和圖形關系，通過一定的思維程序，建立起來的結構化知識體系或認知心理體系的序列分布. 慢能讓“點動成線、線動成面、面動成體”的過程得以展示，能讓學生跟得上、聽得懂、學得會，慢能讓學生把零散的知識轉化為單元知識，把個知識轉化為類知識，把經驗概念轉化為客觀的概念關系，進而見木見林. 在數學慢教學過程中，先行組織、舉一反三及同化順應都是常見的建立概念區塊鏈的有效手段. 類比一元一次方程的概念、算法和應用過程，來揭示一元二次方程的概念、算法和應用本質，就是概念區塊鏈形成的思維清樣. 有文章指出，概念圖是由節點、連線、連接語和層級組成，它作為一張表征知識的模板能將碎小的、零散的和支離破碎的知識組織在一起，并使之成為知識結構. 這里的概念圖就是概念區塊鏈的替代概念. 一方面，能讓學生直觀地懂（學得會）;另一方面，能讓學生直觀地見木見林. 常見的章節框圖、小結與思考的線路圖、知識關系圖等都是概念區塊鏈的一種外在表征.

片斷1：在一塊長是32 m、寬是24 m的矩形綠地內，要圍出一個花圃，使花圃面積是矩形面積的一半. 你能給出設計方案嗎？（設計清樣如圖1 ～ 4所示.）

例如，在綠地中間開辟一個矩形的花圃（如圖4），使得四周的綠地等寬，綠地的面積與花圃的面積相等. 你能計算出綠地的寬嗎？

解析：在圖5中，設花圃四周綠地的寬度為[x]m，

則AE[=]CF[=][2x].

因為AB[=]24，CD[=]32，

根據題意，可得方程[32-2x24-2x=12×32×24].

解這個一元二次方程，得[x1=24]（不合題意，舍去），[x2=4]，

即花圃四周綠地的寬度為[4]m.

顯然，這是概念的抽象過程，也揭示了一元二次方程的“長相”和算法. 其中，將上述方程變形為[x-142=100，] 是概念、圖形、算法關系的外化，這就是單元概念思想.

【設計意圖】旨在讓學生經歷方案設計過程，感受概念的來龍去脈和內在的結構關系，同時，體驗概念與概念關系，圖形與圖形關系，概念、算法與圖形關系的勾連與貫通，進而理解方程模型服務社會、服務現實的作用. 同時，文獻研究顯示，學生利用概念圖進行學習的平均效果量只有0.239 7，而學生制作概念圖的平均效果量為0.951 9. 設計方案承擔了制作概念圖的作用，有助于概念區塊鏈的建立，進而透過樹木望見森林.

相關說明：《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出，把每堂課教學的知識置于整體知識體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識之間的關系，引導學生感受數學的整體性，體會對于某些數學知識可以從不同角度加以分析，從不同層次進行理解. 片斷1的設計方案就是一種整體思維和先行組織行為，是學生建立圖形關系的基礎. 其中，圖1、圖2是基于學生的認知經驗的設計，每名學生的思維都夠得著;圖3、圖4是一種中心對稱思想和舉一反三行為，有助于后續特殊四邊形的學習，為概念區塊鏈的形成奠定心理基礎. 由圖4到圖5的變形與問題解決，則是不同角度看問題的實踐清樣，是概念、算法與圖形關系建立的有效載體，有助于概念的同化和順應，體現了為學得會而慢的思維狀態和認知信念.

二、為學得好而慢，建立原理區塊鏈，實現厚積薄發目標

數學慢教育是一種教學氣象，慢在歸納、慢在聯想、慢在類比. 歸納、聯想和類比是發現數學真理的有效手段. 從教材設置的“桌面問題”“藏書問題”“梯子靠墻問題”建立具體的方程關系，讓學生經歷觀察、歸納、提煉、概括、內化，獲得一般形式[ax2+bx+c=0]（a，b，c是常數，其中[a≠0]），就是最為常見的歸納方式. 可以說初中階段學生對概念的學習都要經歷這樣一個歸納過程，方能形成一般化思想. 聯想是一種思維活動，是把不同事物聯系起來的一種思想方法. 當學生歸納出一元二次方程的一般概念時，讓學生再寫出幾個具體的不同形式的一元二次方程（如[x2=2]，[x19-2x=24]，[51+x2=9.8]，[x2+][x-12=25]等），就有聯想成分在發揮作用. 同時，聯想也是一種能力，知識越豐富，聯想范圍越廣闊，因而聯想能力越強. 像用[a×a]，[a×b]，[b×b]長方形紙片拼圖，揭示“因式分解”的幾何意義，是測量聯想能力水平的好載體. 類比就是對兩個或幾個相似的東西進行聯想，把它們中間某個較為熟悉的性質轉移到和它相似的對象上去，從而做出相應的判斷或推理. 例如，類比分數性質研究分式性質、類比整式的算法研究分式的算法、類比一元一次方程研究分式方程的解法等，都是學生構建原理區塊鏈的聯想途徑和思維清樣.02087DB0-FE37-4151-AE14-CD50B849573B

從審美需要來說，慢教育起于學得好、成于原理區塊鏈的構建，終于厚積薄發目標的實現. 學得好意味著知其然、知其所以然和何由以知其所以然. 讓學生經歷概念的發生過程、形成過程和使用過程，以及解釋過程，就是學得好的一個表現形式. 另外，學生對習得的概念對象能舉一反三、聞一知十、以一當十、變式使用與解釋、審美補償、厚積薄發等，都是學得好的表現. 換句話說，學得好不是簡單的模仿操作，而是遷移應用. 當然，這種內化過程需要用慢為數學思考提供審美直覺. 原理區塊鏈的建立至少表現在三個思維層次：（1）通過歸納，建立了概念與概念的關系;（2）通過類比，使得概念、算法與算理具有內部關系的一致性;（3）經歷聯想，使得概念結構定向、算理算法上下貫通，產生“會一題、通一類、連一片”的思維效用. 從初中階段學生的認知心理特征和抽象能力較弱的背景來看，歸納、類比、聯想是獲得知識、學會思考的重要思維方式，是學生提高抽象和建模能力的有效手段，是學生建立審美直覺的思維前提. 厚積薄發是哲學名詞，是審美遷移發生的思維就緒狀態，是學生新、舊知識得以整合遷移的先行工具，是學生將知識轉化為能力、將經驗轉化為方法、將思想轉化為成長的心理基礎.

片斷2：用配方法解一元二次方程[x2+2x-24=0]，

配方的過程可以用拼圖直觀地表示.（具體拼圖過程如圖6 ～ 9所示.）

解析：首先，把方程[x2+2x-24=0]變為[x2+2x=24.]

即把常數項移到等號的右邊.

其次，依據面積關系，可以得到[xx+2=24].

最后，配方的過程，可以看成將一個長是[x+2]、寬是[x]、面積是24的矩形割補成一個正方形.

具體來說，在面積思維的參與下，由圖6，可得到方程關系[xx+2=24].

圖7是一個“割”的過程，不難理解[x2+2x=24].

圖8是一個“補”的過程，不難理解[x2+2x+1=][24+1]. 這就是說，對于二次項系數是1的一元二次方程，配方時要在方程的兩邊同時加上一次項系數一半的平方.

圖9則是配方的完美形式[x+12=25]，在此基礎上，再借助直接開平方的方法或者平方根的意義，獲得方程的解，即[x1=4]，[x2=-6].

【設計意圖】旨在讓學生經歷配方的發生過程，感知原理區塊鏈的構建意義和形象化思維過程，強調學得好不只在于會做題，更在于體驗概念發生的“合情 + 合理”過程，揭示慢教育慢在過程、慢在歸納、類比和聯想. 同時，在分類思想的參與下，拼圖活動直觀地揭示了“為什么配方時，方程兩邊要加上一次項系數一半的平方”這一原理機制，這是培養學生提出問題的好載體，是學生厚積薄發的認知心理條件. 顯然，這比“記概念、練概念”有效果、有境界、有視野，這就是慢教育的教學育人思維剪影.

相關說明：從教材九年級的設置來看，一元二次方程解法包括直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法. 其中，配方法是這些解法中的算法中樞，以直接開平方為基礎，又為公式法和因式分解法提供原理，研究、學習的意義可想而知. 從教學目標層面來說，確立以下通用目標：（1）會用直接開平方法解形如[x+h2=k]（h，k為常數，[k≥0]）的方程;（2）理解配方法，會用配方法解數字系數的一元二次方程;（3）會用公式法解數字系數的一元二次方程，并通過公式的推導，體會轉化的思想方法;（4）會用因式分解法解某些數字系數的一元二次方程，能根據具體方程特征選擇方程的解法，進一步提高學生運算素養. 在這里，除了配方法確立“理解→會用”的目標，其他解法用“會用”來描述. 可見，研究配方法產生的過程及其原理的必要性. 為了更好地構建原理區塊鏈，筆者添加“配方變式”和“任意寫一個條件方程”的思維事項（如[2x2-4x+3=0]），落實理解目標. 同時，在閱讀教材的前提下，讓學生嘗試用公式法和因式分解法解一元二次方程. 這些認知舉措都是構建原理區塊鏈的有效途徑，有助于學生因聯想學得好，因類比而厚積薄發，這就是慢中向快和慢中生道的價值所在.

三、為育好人而慢，構筑方法區塊鏈，落地觸類旁通目標

在自我實現目標層次，慢教育為育好人而慢，慢在思考、慢在審美、慢在遷移.

育好人意味著讓學生既獲得知識，又獲得能力，同時獲得做人的道理. 像從不同角度看問題可以培養學生換位思考的能力，這是學生走上社會必備的能力;還有平常在做題過程中，持之以恒、迎難而上、不畏挫折的克服困難的意志力，也是學生寶貴的精神財富. 方法區塊鏈的構筑能讓學生“會一題、通一類、連一片”，能讓學生觸類旁通、遷移創新、換位思考. 方法區塊鏈是指在問題解決過程中理解算理、掌握算法，以及總結經驗，提煉基本方法，形成思想方法體系，進而提高應用能力、創新意識和整體數學水平. 具體來說，方法區塊鏈的構筑需要做好以下三個方面的工作：一是讓學生在數學思考中獲得客觀的知識和準確的結論;二是讓學生在問題解決中學會換位思考;三是讓學生在學以致用和用以致學的過程中學會估計知識的價值. 由此可見，方法區塊鏈的構筑不只在于觸類旁通，更在于育好人、好育人，有助于知識本位轉向育人為本，有助于教的觸類旁通、學的旁通觸類，體現了慢教育的“高觀點、低起點”的教學育人境界.

當然，慢教育本身就是一種深度教學，有助于學生在數學思考中增長智慧，在問題解決中形成分析綜合、評價反思等高階思維，進而學真知、做真人. 慢課堂育好人的過程就是理解數學，理解教法、學法和算法，理解數學的歷史和現狀，形成積極向上的數學態度，進而在應用數學中遷移數學，并獲得人格生長、品德內化的能力. 在慢教育教學法范疇，數學學習的遷移是一種學習中習得的數學活動經驗對另一種學習的影響，也就是已有經驗的具體化與新課題的類化過程，或新、舊經驗的協調過程. 像基于一元一次方程的學習經驗，研究類化一元二次方程的方法體系，就是新、舊經驗整合遷移的過程. 其中，算法的轉化、解法的增值都是深度認知遷移的一個表現. 這就是方法區塊鏈建立的積極意義. 正如美國數學教育家Wilkins的觀點，數學教育的目標是讓每名學生都應該：（1）掌握數學內容知識;（2）具有數學推理能力;（3）承認數學的實用性和社會影響（服務社會的精神）;（4）理解數學的現狀和歷史發展（應用意識的增長）;（5）對數學有積極的態度（人格生長、品德升華）.02087DB0-FE37-4151-AE14-CD50B849573B

片斷3：把一根長為80 cm的繩子剪成兩段，并把每一段繩子圍成一個正方形（如圖10）.

（1）要使這兩個正方形的面積的和等于200 cm2，應該怎樣剪？

（2）這兩個正方形的面積的和可能等于488 cm2嗎？為什么？

解析：（1）不妨設其中一個正方形的邊長為[x]cm，

根據題意，可得[x2+20-x2=200].

解得[x1=x2=10].

所以應該把繩子剪成長度相等的兩段.

（2）不妨設其中一個正方形的邊長為[x]cm，

根據題意，可得[x2+20-x2=488].

解得[x1=22，] [x2=-2].

因為[x1>20，] [x2<0，]

所以正方形的面積之和不可能為488 cm2.

從上述解法中，不難看出兩個方程的解法滲透了根的判別式大于0和等于0的情況，但從方法體系層面則缺少了無解的情況，不利于方法區塊鏈的有序建立.

為此，筆者切入根的判別式小于0的視角.

在題干條件不變的情況下，添加了如下問題：兩個正方形的面積和可能為198 cm2嗎？為什么？

解析：不妨設其中一個正方形的邊長為[x]cm，

根據題意，可得[x2+20-x2=198].

經過變形，可得[x2-20x+101=0].

因為[Δ=b2-4ac=202-4×1×101][=-4<0，] 根的判別式為負數，這說明方程無解，

因此，兩個正方形的面積和不可能為198 cm2.

這說明方法區塊鏈的建立，不只在于客觀知識的獲得，更在于觸類旁通和服務社會.

【設計意圖】旨在讓學生通過系列問題的解決，將解法、算理、算法與應用創新意識整合融通，提高應用數學的能力，增值解法經驗，形成算法區塊鏈，達成觸類旁通的育好人目標. 其中，觸類旁通不是口號，更不是一種簡單的結果，而是方法區塊鏈建立的過程性思維的產物，意味著讓學生聽得見思考、看得見思維、帶得走課堂，進而學會估計知識的價值. 正如盧梭的觀點：愛彌兒的知識不多，我不是教給他各種各樣的知識，而是教他怎樣在需要的時候取得知識，教給他學會估計知識的價值. 慢課堂的本質就是讓學生在問題解決中學會估計知識的價值，在學會估計知識的價值中學會做事、學會做人、歷練人格、鍛煉品格.

相關說明：在懷特海看來，教育不是向行李箱里塞滿物品的過程. 方法區塊鏈的建立是一個整合、遷移的過程，需要觸類旁通和經驗調用. 一般情況下，問題解決意味著面臨比較困難的問題時，需要把這個問題的新信息同現有的全部有關的知識或經驗綜合起來，或者是滿足于使這些信息與某種已經掌握了的一般性觀念建立一定的關系，并把信息轉化為術語或詞匯（根的判別式等），納入認知結構（方程解法的增值與適用范圍的擴大），形成方法區塊鏈及其意義體系. 因此，慢教育慢在過程化思考、慢在重組遷移、慢在換位思考、慢在方法區塊鏈的建立與審美選擇.

當然，任何事物的發展都有局限性. 區塊鏈思想的使用要審視數學現實、權衡教學現實、直面育人現實，方能有的放矢，方能育好人，提高慢的教學境界.

參考文獻：

[1]劉榮玄，蔡金，賴清. 概念圖在數學教學中對學生認知影響的實證研究[J]. 數學教育學報，2019，28（1）：83-88.

[2]曹才翰，章建躍. 數學教育心理學[M]. 北京：北京師范大學出版社，2017.

[3]王立君. 概念圖在促進認知和評估知識結構方面的理論與實證研究[D]. 上海：上海師范大學，2009.02087DB0-FE37-4151-AE14-CD50B849573B