章起始課活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)前置教學(xué)實(shí)踐

摘? 要：章起始課內(nèi)容偏少，將知識(shí)或技能前置會(huì)破壞教材內(nèi)容的完整性，此時(shí)可將后續(xù)學(xué)習(xí)所需的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)前置. 在“變量與函數(shù)”一課的學(xué)習(xí)中，可以整合教材所給的四則材料，并適當(dāng)增加素材，讓學(xué)生提前積累函數(shù)概念、表達(dá)方式和取值范圍等后續(xù)學(xué)習(xí)所需的經(jīng)驗(yàn).

關(guān)鍵詞：章起始課;活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);函數(shù)

章起始課是每章節(jié)的第1課時(shí)，其教材內(nèi)容一般較少. 如何整合教學(xué)內(nèi)容、豐富起始課的內(nèi)涵成為教師教學(xué)的難點(diǎn). 有些教師會(huì)將后續(xù)知識(shí)或技能前置學(xué)習(xí)，但這樣就破壞了教材內(nèi)容的完整性. 在筆者看來，顯性的知識(shí)與技能容易學(xué)習(xí)，隱性的思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)則需要反復(fù)積累. 所以，教學(xué)內(nèi)容較少的章起始課可以將后續(xù)學(xué)習(xí)所需的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)前置，作為起始課教學(xué)目標(biāo)的承載點(diǎn).

以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）八年級(jí)下冊(cè)“19.1.1 變量與函數(shù)”的教學(xué)為例，教材第1課時(shí)給出了四道實(shí)際問題，得出常量、變量?jī)蓚€(gè)概念，第2課時(shí)再學(xué)習(xí)函數(shù)的概念. 若將函數(shù)概念的外延和內(nèi)涵中所涉及的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)適當(dāng)前置，則后續(xù)對(duì)函數(shù)概念的理解將會(huì)更加容易.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

章起始課承載著承上啟下的任務(wù)，“函數(shù)要研究什么？”這一問題是需要在第一節(jié)課中解答的，所以課堂的引入應(yīng)該從解答這一問題開始.

環(huán)節(jié)1：為什么要研究函數(shù)？函數(shù)要研究什么？

引問1：從教師偏胖的體重入手詢問學(xué)生. 控制體重與哪些因素有關(guān)？

【設(shè)計(jì)意圖】通過教師的身材來引入，調(diào)節(jié)課堂氣氛，拉近了師生關(guān)系. 讓學(xué)生感受到生活中變化的量受多種因素的影響.

引問2：展示衛(wèi)星云圖. 臺(tái)風(fēng)因什么而引起？也許只是因?yàn)橐恢缓葎?dòng)了一下翅膀. 介紹蝴蝶效應(yīng).

【設(shè)計(jì)意圖】通過臺(tái)風(fēng)的巨大破壞性與蝴蝶扇動(dòng)翅膀的微小變化之間的巨大反差，激發(fā)學(xué)生的探究欲望.讓學(xué)生經(jīng)歷如下的心理體驗(yàn)：萬(wàn)物皆變→臺(tái)風(fēng)的形成與多種因素有關(guān)→天氣預(yù)報(bào)很難實(shí)現(xiàn)→需要找到“變化中的不變”以趨利避害. 從而體會(huì)刻畫變量間關(guān)系的重要性，理解“為什么要研究函數(shù)”.

引問3：展示人類探索世界、描述變量關(guān)系的成果，如人口變化圖、銷售記賬表、太陽(yáng)系行星軌道圖、愛因斯坦質(zhì)能公式、勾股定理公式等. 從上面這些成果來看，變化可能與很多因素有關(guān)，我們應(yīng)該從哪里開始研究呢？

師生討論后指出：我們先從兩個(gè)變量之間的特殊關(guān)系開始研究（即“函數(shù)要研究什么”），再?gòu)奶厥膺^渡到一般情況.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生感受到變化的量可以被描述，人類已經(jīng)取得了巨大成就，激發(fā)學(xué)生的榮譽(yù)感、使命感. 人類通過圖象、圖表、解析式等多種形式來描述幾個(gè)變化量之間的關(guān)系. 滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)方法.

環(huán)節(jié)2：什么是常量、變量？

“19.1.1 變量與函數(shù)”一課中共設(shè)置了四道實(shí)際背景問題，其中代數(shù)、幾何背景各兩道，分別是汽車勻速行駛的行程問題、電影票的銷售問題、圓的面積問題、矩形的周長(zhǎng)問題. 四道問題所列的解析式中，一次函數(shù)與二次函數(shù)各一道，另兩道為正比例函數(shù)形式. 四道問題都包含同樣的問題：y的值隨x的值的變化而變化嗎？以下是對(duì)教材問題的改編.

問題1（對(duì)應(yīng)教材問題2）：電影票的售價(jià)為10元 / 張. 設(shè)一場(chǎng)電影售出x張票，票房收入為y元，填寫下面的表1.

（1）售價(jià)、售票數(shù)量、票房收入三個(gè)量中，哪些量在改變，哪些量不變？

（2）當(dāng)售票數(shù)量x變大時(shí)，票房收入y怎樣變化？你能否找出變化的量之間滿足的關(guān)系式？

（3）小學(xué)時(shí)怎樣稱呼x與y之間滿足的關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】問題1難度不宜過大，故將題目改為在三個(gè)量中找常量和變量，與教材問題不同的是增加了列解析式，同時(shí)讓學(xué)生回顧了小學(xué)正比例的相關(guān)知識(shí)，以達(dá)到承上啟下的目的.

此外，改編的問題前置積累了以下經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)售票數(shù)量變化時(shí)，票房收入也在對(duì)應(yīng)變化，兩個(gè)量中已知其中一個(gè)量的值時(shí)可求另一個(gè)量的值;常量與變量的關(guān)系既可以通過解析式呈現(xiàn)，也可以通過表格的形式來呈現(xiàn).

問題2（對(duì)應(yīng)教材問題3）：“投石擊破水中天”是一句很有意境的詩(shī)句. 投石入水，圓形水波慢慢擴(kuò)大，設(shè)這些圓的半徑為r，圓的面積為S，怎樣表示這些圓的面積？這個(gè)過程中的變量是_______，兩個(gè)變量之間滿足關(guān)系式_____________，常量是_______.

【設(shè)計(jì)意圖】問題1是代數(shù)中常見應(yīng)用題的變化關(guān)系，問題2則是圖形的變化關(guān)系. 對(duì)比教材原題，此題未讓學(xué)生計(jì)算不同半徑時(shí)對(duì)應(yīng)的圓面積. 因?yàn)槿杂性S多學(xué)生計(jì)算圓面積時(shí)將π取近似值，會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間. 而且此題兩個(gè)變量滿足的關(guān)系式更容易列出，在已有問題1的經(jīng)驗(yàn)積累的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生直接判斷常量、變量并不困難.

此題試圖讓學(xué)生前置積累以下經(jīng)驗(yàn)：常量也可以是無(wú)理數(shù);此題中S與r之間滿足的不再是正比例關(guān)系，而是二次函數(shù)關(guān)系;半徑與面積的關(guān)系也可以寫成[r=Sπ];欣賞中國(guó)文化之美.

問題3（對(duì)應(yīng)教材問題1）：（1）A，B兩地相距120 km，張強(qiáng)開車從A地前往B地，則他到達(dá)B地所需的時(shí)間t受什么因素的影響？這兩個(gè)變量之間滿足什么關(guān)系式？

（2）張強(qiáng)開車從A地出發(fā)，若他的車速保持100 km / h勻速行駛，則他所行駛的路程s受什么因素的影響？這兩個(gè)變量之間滿足什么關(guān)系式？

（3）張強(qiáng)開車從A地出發(fā)，要求2 h內(nèi)一定要到達(dá)B地，則他的車速v與什么因素有關(guān)？這兩個(gè)變量之間滿足什么關(guān)系式？（說明：路程s、時(shí)間t、速度v.）

【設(shè)計(jì)意圖】此題試圖讓學(xué)生前置積累以下經(jīng)驗(yàn)：常量與變量是相對(duì)而言的. 需要結(jié)合實(shí)際背景去分析，特殊情況下常量和變量可以轉(zhuǎn)換. 三個(gè)小問題中，當(dāng)路程一定時(shí)，時(shí)間與速度成反比例關(guān)系，速度（或時(shí)間）一定時(shí)，路程與時(shí)間（或速度）則成正比例關(guān)系. 正、反比例既是小學(xué)學(xué)過的知識(shí)，又是兩種特殊的函數(shù)關(guān)系.C6084D8E-4726-4A24-A912-68DF98A9884C

問題4（對(duì)應(yīng)教材問題4）：用10 m長(zhǎng)的繩子圍一個(gè)矩形，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x m，它的鄰邊長(zhǎng)為y m，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以表示為y = ___________，填寫表2. 你有什么發(fā)現(xiàn)？

【設(shè)計(jì)意圖】此題試圖讓學(xué)生前置積累以下經(jīng)驗(yàn)：此題中的解析式化簡(jiǎn)后含有常數(shù)項(xiàng)，為一次函數(shù)形式，即兩變量之間除了滿足正、反比例關(guān)系外，還可以表征為包含加、減、乘、除、乘方、開方等不同運(yùn)算的等式形式;兩變量之間的關(guān)系也可以以表格的形式來呈現(xiàn);此題中當(dāng)x = 5或x = 6時(shí)，y為0或負(fù)值，不符合題意，故實(shí)際問題中需要考慮變量的取值范圍.

環(huán)節(jié)3：用圖象刻畫兩變量之間的關(guān)系.

為了讓學(xué)生準(zhǔn)確理解函數(shù)概念，也為了讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合思想在本章學(xué)習(xí)的重要性，有必要補(bǔ)充一些實(shí)際情境的問題.

問題5：如圖1，股票K線圖反映的是不同日期某支股票的成交價(jià)格情況，其中的變量是什么？是否存在常量？

【設(shè)計(jì)意圖】此題試圖讓學(xué)生前置積累以下經(jīng)驗(yàn)：此題中時(shí)間與股票價(jià)格是變量，但常量不清晰，無(wú)法用準(zhǔn)確的解析式描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系，但用圖象卻能清晰地反映兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不一定可以用解析式來描述. 此題中股票價(jià)格與日期之間不存在因果關(guān)系，只存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，即對(duì)每一個(gè)日期值，都有一個(gè)成交價(jià)格與之對(duì)應(yīng).

問題6：老師將自己上班時(shí)行車時(shí)間與行車速度之間的關(guān)系繪制成如圖2所示的圖形，大家?guī)兔€原一下老師上班過程中，速度v是怎樣隨著時(shí)間t的變化而變化的？

補(bǔ)充提問：當(dāng)時(shí)間t變化時(shí)，速度v一直在變化嗎？當(dāng)t = 3，t = 4，t = 5時(shí)，v的值分別是多少？

【設(shè)計(jì)意圖】此題屬于比較明顯的分段函數(shù)，若用解析式描述比較復(fù)雜，但用圖象法卻很容易表達(dá)，而且此題中出現(xiàn)了時(shí)間t變化時(shí)，速度v保持不變的情況.

故此題試圖讓學(xué)生前置積累以下經(jīng)驗(yàn)：研究函數(shù)的問題，結(jié)合圖象分析會(huì)更加直觀. 數(shù)形結(jié)合是函數(shù)學(xué)習(xí)的法寶. 符合函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量中當(dāng)一個(gè)量變化時(shí)，另一個(gè)量的值并不一定會(huì)改變，但當(dāng)這個(gè)量變化時(shí)，另一個(gè)量一定有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).

環(huán)節(jié)4：小結(jié).

你學(xué)到了哪些知識(shí)？你積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？

小結(jié)內(nèi)容，略.

二、教學(xué)反思

1. 活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)前置的前提是深入理解概念的內(nèi)涵

常量、變量、函數(shù)三個(gè)概念中，函數(shù)概念屬于學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要耗費(fèi)更多的時(shí)間去理解和感悟. 現(xiàn)行人教版教材中，小學(xué)、初中、高中學(xué)段對(duì)函數(shù)概念的表述并不相同，這種不同的描述加大了學(xué)生理解的難度.

教材六年級(jí)下冊(cè)“比例”一章是這樣給出正（反）比例概念的：像這樣，兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比例（乘積）一定，這兩種量就叫做成正（反）比例的量. 這一概念傾向于兩個(gè)變量間的“依賴”關(guān)系（以下統(tǒng)稱“依賴說”）.

初中對(duì)函數(shù)的概念是這樣描述的：一般地，在一個(gè)變化的過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù). 這一表述則更傾向于兩個(gè)量之間的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系（以下統(tǒng)稱“對(duì)應(yīng)說”）.

高中則是從集合的角度去描述兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（以下統(tǒng)稱“集合說”）.

故在學(xué)習(xí)常量與變量概念時(shí)，需要設(shè)置適當(dāng)?shù)膶?shí)際背景材料對(duì)函數(shù)概念的轉(zhuǎn)換加以辨析，厘清以下三個(gè)理解障礙.

一是不要將兩個(gè)變量間的依賴關(guān)系理解成因果關(guān)系. 函數(shù)概念的“依賴說”是一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，即“你變我也變”，其中隱含著依賴關(guān)系. 常被學(xué)生誤認(rèn)為“因你變我才變”，即理解為因果關(guān)系.“對(duì)應(yīng)說”是對(duì)“依賴說”的發(fā)展，即只強(qiáng)調(diào)對(duì)于一個(gè)量的變化，另一個(gè)量有與之對(duì)應(yīng)的值. 例如，學(xué)生的姓名與學(xué)號(hào)之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，但學(xué)生姓名的改變并不依賴于學(xué)號(hào)的改變，兩者沒有因果關(guān)系.

二是并非每一段變化過程都可以同時(shí)用三種形式來表達(dá). 教材中的四道例題都是既可列式、又可列表、還可畫圖的，但生活中有很多變化過程不方便列解析式. 例如，氣溫與時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)變化情況就只適合用“圖”或“表”來表示.

三是并非一個(gè)量變化時(shí)，另一個(gè)量一定要改變. 生活中存在著一個(gè)量變化另一個(gè)量卻保持不變的現(xiàn)象. 例如，常溫常壓下，水沸騰后，時(shí)間仍在變化，但水溫卻不再改變.

上述教學(xué)設(shè)計(jì)中問題5、問題6正是為了厘清以上理解障礙而設(shè)計(jì)的，將這些經(jīng)驗(yàn)前置到第1課時(shí)更有利于后續(xù)對(duì)函數(shù)概念的理解.

2. 活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)前置的基礎(chǔ)是準(zhǔn)確把握學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)

對(duì)于函數(shù)這一章所涉及的內(nèi)容，學(xué)生此前已經(jīng)積累了以下五個(gè)方面的經(jīng)驗(yàn).

（1）小學(xué)曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的正（反）比例. 它們正是兩個(gè)變量之間特殊的函數(shù)關(guān)系.

（2）初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過列代數(shù)式、等式、不等式表示兩個(gè)量之間的關(guān)系. 在“整式的加減”“一元一次方程”“一元一次不等式”“二元一次方程組”等章節(jié)中都有學(xué)習(xí)，還曾經(jīng)學(xué)習(xí)過用字母表示數(shù)式或圖形規(guī)律.

（3）函數(shù)解析式在形式上可看作二元一次方程，學(xué)生在最初列兩個(gè)變量之間的關(guān)系式時(shí)，也多會(huì)寫成ax + by = c這種二元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.

（4）“二元一次方程組”一章的數(shù)學(xué)活動(dòng)1，曾將二元一次方程組的解用坐標(biāo)的形式在平面直角坐標(biāo)系中表示出來，但在作函數(shù)圖象時(shí)學(xué)生很難將該經(jīng)驗(yàn)與函數(shù)概念的學(xué)習(xí)結(jié)合起來.

（5）學(xué)生已經(jīng)知道從統(tǒng)計(jì)圖中可以獲得很多信息，但很難將統(tǒng)計(jì)圖象與函數(shù)圖象之間建立聯(lián)系.

根據(jù)學(xué)生已有的這些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，可知學(xué)生單純回答教材中的四個(gè)問題并不會(huì)感到困難，困難應(yīng)該來自以下兩個(gè)方面.

一是學(xué)生要從過去對(duì)式子的靜態(tài)理解轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)理解，即此前列方程（組）、不等式（組）解決問題時(shí)，其中雖有未知數(shù)，但未知數(shù)最終都能求出具體的結(jié)果（或范圍），而現(xiàn)在所列函數(shù)解析式中的字母卻是動(dòng)態(tài)變化的，兩個(gè)字母相互關(guān)聯(lián)，其中一個(gè)字母的取值確定，則另一個(gè)字母的取值也隨之確定，其中一個(gè)字母的取值變化，另一個(gè)字母的取值也隨之變化. 所以教材中的四道例題雖然模型不同，但都是先通過至少三次數(shù)的運(yùn)算（確定而確定）后，再過渡到列式（變化而變化）表示，這是理解函數(shù)概念的難點(diǎn)，也是教材將“常量”“變量”兩個(gè)概念單列為一節(jié)課的原因.C6084D8E-4726-4A24-A912-68DF98A9884C

二是幾個(gè)變量之間的關(guān)系可以用“式”“圖”“表”三種形式闡述，而且很多時(shí)候需要對(duì)同一關(guān)系用三種形式闡述. 這是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，學(xué)生此前雖有接觸，但感悟并不深刻.

正因?yàn)閷W(xué)生對(duì)函數(shù)“數(shù)”和“形”的理解是割裂的，所以在前面設(shè)計(jì)中對(duì)教材內(nèi)容做了改編，加入了用表格法、圖象法表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，還補(bǔ)充了問題5、問題6來加深用圖象法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)勢(shì). 這些改變對(duì)學(xué)生形成“函數(shù)需從‘?dāng)?shù)‘形‘表多角度研究”的認(rèn)識(shí)起到了良好的推動(dòng)作用.

3. 活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)前置的抓手是對(duì)教材內(nèi)容的整合與改編

教材凝聚著編者的智慧，具有很強(qiáng)的指導(dǎo)性和權(quán)威性，是教師開展教學(xué)最好的工具. 在實(shí)際教學(xué)中，雖然教師經(jīng)常根據(jù)自己對(duì)教材和學(xué)生的理解對(duì)教材有所改編，但決不能脫離教材，而應(yīng)該是對(duì)教材的整合、改編或補(bǔ)充，這其中蘊(yùn)含的就是教師“備教材”的能力.

前面的問題1 ～ 問題4雖然“脫離”教材，也僅學(xué)習(xí)了常量、變量?jī)蓚€(gè)概念，但經(jīng)過改編和后續(xù)補(bǔ)充后，承載的經(jīng)驗(yàn)比教材更多. 教學(xué)設(shè)計(jì)中前置積累了以下經(jīng)驗(yàn)：① 描述兩個(gè)變量的關(guān)系可以通過列解析式、圖表（問題1、問題4）、圖象（問題5、問題6）等多種方式，但并不是都可以同時(shí)用三種方式去描述（問題5）;② 滿足函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間除了正、反比例關(guān)系（問題3）外，還可以表征為包含加、減、乘、除、乘方、開方等不同運(yùn)算的等式形式（問題2、問題4）;③ 常量與變量是相對(duì)而言的，特殊情況下可以相互轉(zhuǎn)化（問題3）;④ 在實(shí)際問題中，需要考慮變量的取值范圍（問題4）;⑤ 研究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系時(shí)，數(shù)形結(jié)合是函數(shù)學(xué)習(xí)的法寶（問題5、問題6）;⑥ 滿足函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)量中，當(dāng)一個(gè)量變化時(shí)，另一個(gè)量的數(shù)值雖然不一定會(huì)變化，但一定會(huì)有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)（問題5、問題6）.

上述這些前置的經(jīng)驗(yàn)，已經(jīng)包含了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對(duì)函數(shù)概念學(xué)習(xí)的所有（6個(gè)）要求，而且這些經(jīng)驗(yàn)都是很自然地包含在各個(gè)問題之中，既未脫離教材編寫結(jié)構(gòu)，未超前學(xué)習(xí)知識(shí)和技能，又對(duì)后續(xù)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)提供了有力保障. 這正是活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)前置的優(yōu)點(diǎn).

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活. 教材通過選取合適的情境素材形成學(xué)習(xí)材料，教師要利用這些材料烹制出富含營(yíng)養(yǎng)的“盛宴”，必然涉及對(duì)材料的再加工. 在“理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生”的基礎(chǔ)上，以現(xiàn)有素材為“骨”，適當(dāng)前置適合學(xué)生理解的數(shù)學(xué)思想與經(jīng)驗(yàn)，形成包含更多信息的“皮”，正是章起始課情境素材處理的方法之一.

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