基于深度學習的幾何習題課教學

聞國梁

摘? 要：習題課是中考復習中的一個重要環節，是知識回顧、整理及簡單應用后的研究主題的延續與拓展. 從中考的視角，看幾何習題課教學，要力爭達到“做一題、會一類、通一片”的效果. 文章以“三角形的內接正方形”為背景，以問題串形式驅動深度學習，在定性分析中獲得新的研究對象和研究思路，再從定量角度深入探究如何確定內接正方形，比較多個正方形面積的大小，從中獲得一般性的規律，體會“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑. 通過習題課教學，幫助學生把握數學內容的本質，提高數學思維能力.

關鍵詞：中考復習課;問題串;類比;深度學習

深度學習的概念最早由瑞典學者費爾倫斯·馬頓和羅杰·薩廖在《學習的本質區別：結果和過程》中提出. 2005年，何玲、黎加厚首次在國內引入深度學習概念：深度學習是在理解的基礎上，學習者能夠批判地學習新思想和新事實，并將他們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想之間建立聯系，并能夠將已有知識遷移到新的情境中，做出決策和解決問題的學習. 此后，深度學習在全國范圍內引起廣泛關注. 2016年，教育部基礎教育課程教材發展中心深度學習教學改進項目組對深度學習的定義為：深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心地積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程. 在這個過程中，學生掌握學科的核心知識，理解學習的過程，把握學科的本質及思想方法，形成積極的內在學習動機、高級的社會性情感、積極的態度、正確的價值觀，成為既具獨立性、批判性、創造性，又有合作精神、基礎扎實的優秀的學習者，成為未來社會實踐的主人.

由此可見，深度學習既是教師的一種教學方式，又是學生的一種學習方式，深度學習有沒有發生，必須通過學生才能得以體現. 在學習幾何的過程中，要讓學生不僅知道“有哪些性質”，而且知道這些性質“是怎么來的”，并進一步掌握“發現性質”的本領. 本文以“三角形的內接正方形”為背景設計習題課，按照“定性到定量”“特殊到一般”的研究路徑，創設符合學生認知規律的問題串，學生在經歷操作、思考、探索、歸納、證明、運用等有意義的學習過程后，體會知識的發生和發展過程;在問題解決的過程中進一步掌握發現問題、提出問題的本領，把握數學內容的本質，形成數學的思維方式，為今后處理其他問題積累相關經驗. 現將教學設計和思考過程呈現如下.

一、課題分析

1. 內容解析

數學知識的產生來源于數學內部的發展需求和實際應用的需求. 從數學知識內部的發展來看，小學階段，學生學習了“方中圓”和“圓中方”兩個基本圖形，知道正方形和圓的面積比. 初中階段，學生學習了三角形的內心和外心，會用尺規作三角形的外接圓、內切圓，會求三角形的外接圓和內切圓半徑. 對于三角形、正方形、圓三個基本圖形兩兩組合，一共有3種組合6類圖形，而學生已經學習了前面4類圖形，從系統的角度提出研究“三角形的內接正方形”是自然的過程，從而建立知識間的整體聯系. 同時，該問題也有實際應用背景，如“從一塊三角形材料中裁出一個最大的正方形”，這類問題綜合性強、難度大，在歷年中考中以壓軸題形式呈現，是培養學生數學思維、促進深度學習的好素材.

本課題安排在中考一輪復習之后，學生對各單元知識已經進行了回顧和整理，設計以“三角形的內接正方形”為背景的幾何習題課. 通過回顧三角形的研究路徑，體會幾何學習的基本套路，從兩個同類圖形的結構關系入手，引出研究不同類圖形（三角形、正方形、圓）的位置關系，再回顧已經學過的“圓中方”等熟悉圖形，為新的研究對象（三角形的內接正方形）的獲得及研究思路奠定基礎. 通過下定義和分類，明確概念的內涵和外延. 在尺規作圖中，引導學生從最簡單的圖形入手畫出內接正方形，再類比推廣到一般三角形. 對于一個三角形中存在多個內接正方形的情況，引導學生用作差法比較大小，從而得到一般性的結論.

本節課的教學重點：通過類比舊知，發現和提出新的研究對象（三角形的內接正方形），明確研究思路.

2. 教學目標

（1）通過類比，發現和提出新的研究對象（三角形的內接正方形），會下定義和分類.

（2）能用尺規畫出有兩條共邊的內接正方形，再類比推廣到只有一條共邊的情況.

（3）會用作差法比較正方形面積的大小，理解最短邊上的內接正方形面積最大.

3. 教學問題診斷分析

學生已經學習了三角形、正方形、圓的相關知識，已經學過了圓的內接正方形等圖形的尺規作圖，邊長、面積的計算. 通過教材中習題的練習，對于三角形的內接正方形，已學會根據三角形的底和高，求內接正方形的邊長，會求特殊三角形中內接正方形面積的最大值，這些舊知為新知的學習奠定了基礎、指引了方向. 但是，學生不清楚確定內接正方形的方法，不清楚如何用尺規畫出內接正方形，在日常學習過程中，也缺乏對這方面的主動思考.

本節課的教學難點：用尺規畫出任意三角形的內接正方形.

二、教學過程

1. 激活舊知

問題1：幾何是研究空間結構與性質的一門學科，初中階段我們重點學習了哪些圖形？

生1：我們已經學習了三角形、特殊四邊形、圓這些基本平面圖形.

追問1：對于三角形、正方形、圓這類基本圖形，我們是按照什么學習路徑展開的？

生2：圖形的學習通常按照“定義—性質—判定—應用”的順序展開學習，性質的學習路徑又會經歷“操作—猜想—證明—運用”的環節.

追問2：對于兩個同類圖形，我們已經學習了用全等、相似、位似等聯系來刻畫. 那么對于兩個不同類圖形組合在一起，又能得到哪些熟悉的圖形？

生3：我們在小學階段學習了圓中方、方中圓，九年級又學習了三角形的內切圓、三角形的外接圓.（教師展示圖1～4.）A0835152-84DB-4BF2-B518-40FC70401A18

追問3：在圖1中，我們把四個點都在圓上的正方形叫做圓的內接正方形. 對于兩個不同類圖形，我們通常會研究它們之間特殊的位置關系. 對于圖1～4，我們還學過哪些知識？

生4：對于圖1～2，我會求正方形和圓的面積比、邊長和半徑比.

生5：對于圖3～4，我會用直尺和圓規作三角形的內切圓與外接圓，根據三角形求圓的半徑.

小結：在學習過程中，我們往往按照“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑，對于一個確定的圖形，如圓的內接正方形、三角形的內切圓、三角形的外接圓，我們可以從如何確定圖形（尺規作圖）、定量計算線段長度和圖形面積等方面進行研究.

【設計意圖】通過復習舊知，激活已有知識，回顧三角形的研究路徑，體會幾何學習的基本套路，從兩個同類圖形的結構關系入手，引出研究不同類圖形（三角形、正方形、圓）的位置關系，再回顧已經熟悉的圖形（圖1～4）中所學習的內容，從而為新的研究對象（三角形的內接正方形）的獲得，以及研究思路奠定基礎.

2. 定性分析，獲得研究對象

問題2：對于三角形、正方形、圓兩兩組合，我們已經研究了圓的內接正方形、正方形的內切圓、三角形的內切圓、圓的內接三角形，類比圖1～4，你還能得到哪些圖形，試畫出圖形，并給圖形下定義.

生6：類比圖2，得到了圖5，我把△BCE叫做正方形ABCD的內接三角形，定義：三個頂點都在正方形邊上的三角形，叫做該正方形的內接三角形.

生7：類比圖1，得到了圖6，我把正方形DEFG叫做△ABC的內接正方形，定義：四個頂點都在三角形邊上的正方形，叫做該三角形的內接正方形.

追問1：圖5、圖6中的內接三角形、內接正方形是唯一確定的嗎？

生8：圖5中的三角形不唯一，有無數個，圖6中的正方形是唯一確定的.

追問2：我們今天就來研究三角形的內接正方形，它真的是“唯一”確定的嗎？

生9：三角形有3條邊，而正方形有4個頂點，則必有兩個頂點在三角形同一邊上，如圖7、圖8，還存在與BC共邊的情況，所以一共有3個.

生10：我發現不是所有的三角形都存在3個內接正方形. 當△ABC為銳角三角形時有三個內接正方形;當△ABC為直角三角形時，存在2個內接正方形;當△ABC為鈍角三角形時，只存在1個內接正方形，如圖9～11所示.

追問3：將圖6～11的六個內接正方形進行分類，并說出你的分類標準.

生11：按照正方形與三角形共邊的條數進行分類，圖9中有2條共邊，另外5個正方形只有1條共邊.

【設計意圖】在三角形、正方形、圓兩兩組合的情況討論中，引導學生通過類比圖1～4，自主思考、畫圖，提出新的研究對象（圖5、圖6），通過類比“圓的內接正方形”的定義對新對象下定義，明確概念的內涵. 追問1、追問2從圖形的確定性、唯一性展開，明確本節課的研究對象——三角形的內接正方形，引導學生從定義的內涵對內接正方形的個數進行分析，生10相比于生9，進行了更深層次的思考與實踐. 在得到一系列新的圖形后，追問3引導學生對新的圖形進行分類，確定分類的標準，明確概念的外延. 同時，通過分類，將特殊的圖9提煉出來，為后面尺規作圖、定量計算環節按照“從特殊到一般”的方法的展開奠定基礎. 通過問題串的形式層層遞進，在教師的引導下，將學生的思維逐漸引向深入.

3. 定量研究，確定對象

問題3：選取任意一個三角形，用三角尺（作垂線）和圓規畫出它的一個內接正方形.

生12：我選擇作圖9的正方形，它比較簡單，因為它有兩條邊與直角三角形共邊. 如圖12，作∠C的平分線，與AB交于點E，過點E作DE⊥AC，EF⊥BC，即得正方形CDEF.

追問1：對于圖6、圖12，記△ABC邊BC長度為a，邊BC上的高為h，內接正方形邊長為x，用a，h表示x.

生13：在圖12中，可以用等積法，根據[S△ABC=S△ACE+]

[S△BCE]，可得[12ah=12ax+12hx]，即[x=aha+h]. 也可以用相似，根據△ADE ∽ △ACB，可得[h-xh=xa]，即[x=aha+h].

生14：在圖6中，根據△ADG ∽ △ABC，可得[h-xh=xa]，即[x=aha+h].

追問2：通過計算，你有什么發現？

生15：我發現正方形的邊長取決于與之共邊的三角形邊長和對應邊上的高，與三角形的形狀無關. 換言之，等底等高的三角形，等底邊上的內接正方形邊長相等.

追問3：那么你能否類比圖12的方法，將另外5幅圖的三角形轉化成直角三角形，用尺規作出其內接正方形呢？

生16：如圖13，過點C的直線m⊥BC，過點A的直線n⊥m，直線m，n交于點A′，連接A′B，作∠A′CB的平分線交A′B于點O，過點O作A′C的垂線交AB，AC于點D，G，再作DE⊥BC，GF⊥BC，于是可得正方形DEFG. 其他圖形的作圖方法同理可得，略.

【設計意圖】尺規作圖要思考如何確定正方形的頂點，而只要確定正方形的一個頂點，就能找到其余頂點. 在前面定性分析的基礎上，學生能夠自然地想到圖9的尺規作圖是最容易的，只要畫出直角的平分線就能找到頂點. 設置3個問題串，通過算一算，引導學生發現內接正方形的邊長取決于三角形的底和高，與三角形的形狀無關. 既然與形狀無關，那么能否將其他三角形轉化成直角三角形來構圖？學生也能夠自然地想到通過作平行線，將其他三角形轉化成等底等高的直角三角形，一旦直角三角形的內接正方形頂點找到了，那么一般三角形中的內接正方形也隨之確定下來了. 通過問題串的形式，在問題解決的過程中，讓學生經歷“從特殊到一般”的研究過程，體會類比、轉化的數學思想，在經歷思維深層思考、解決了富有挑戰性的問題后，讓學生收獲成功的喜悅，從而巧妙地突破了本節課的難點.A0835152-84DB-4BF2-B518-40FC70401A18

問題4：在同一個直角三角形中，有2個內接正方形，那么哪個正方形的面積更大呢？

生17：正方形面積大小比較可以轉化為比較邊長，如圖9、圖10，記BC = a，AB = c，△ABC的面積為S，正方形邊長分別為x1，x2. 參考生13的方法，由[x=][aha+h]，得[x1=2Sa+2Sa]. 化簡，得[x1=2aSa2+2S]，[x2=2cSc2+2S]. 采用作差法比較大小，得[x1-x2=2Sc-aac-2Sa2+2Sc2+2S]. 由[c-a>0，] [12ac>S]，得[x1-x2>0]，即[x1>x2].

追問：由上述計算過程，你有什么發現，可以類比推廣到銳角三角形嗎？

生18：在直角三角形中，直角邊上的內接正方形面積比斜邊上的內接正方形面積大. 推廣到銳角三角形中，最短邊上的內接正方形面積最大.

【設計意圖】在問題3中，我們已經用底和高表示出正方形的邊長，對于一個三角形中有多個內接正方形時，我們自然而然地想到，去比較它們面積的大小. 問題4的解決也運用了“從特殊到一般”的研究方法，先研究直角三角形中的2個正方形，通過作差、通分、因式分解，再對單個子項逐一討論后，確定出直角邊上的內接正方形面積較大. 最后，類比遷移到銳角三角形中的3種情況，將學生的思維引向深入地思考，得到一般性的結論——最短邊上的內接正方形面積最大，也為后面的應用奠定基礎.

4. 應用拓展

例? 如圖14，現有一批三角形木料，邊長分別為42 dm，40 dm，26 dm，現要加工出面積最大的正方形（不能拼接）. 試在圖中用三角尺和圓規畫出△ABC所包含的面積最大的正方形，簡要說明作圖方法（不要求證明），并判斷正方形的邊長能否超過15.5 dm.

【設計意圖】此題為應用題，考查三個知識點：（1）與最短邊共邊的內接正方形面積最大;（2）類比問題3，用尺規作出內接正方形;（3）運用相似三角形知識，計算正方形的邊長，考查學生運用數學知識解決實際問題的能力，體會數學來源于生活，應用于生活.

5. 回顧總結

（1）你學會了有關三角形內接正方形的哪些知識？

（2）這些知識的發現經歷了哪些環節？

（3）我們是如何想到去研究三角形的內接正方形的？

【設計意圖】通過三個問題和板書引導學生回顧本節課的學習內容，建立知識之間的整體聯系. 通過操作、猜想、證明、應用等環節感悟知識的發生和發展過程，體會“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑，滲透類比、轉化與化歸等數學思想，提高學生發現問題和提出問題的能力.

三、教學反思

習題課是中考復習中的一個重要環節，是知識回顧、整理及簡單應用后主題的延續與拓展，挑戰性的學習主題是促進學生深度學習的很好的素材，可以幫助學生把握數學內容的本質，提高數學思維能力. 筆者認為習題課要達成深度學習的目標需要具備以下三個要素.

1. 選題源于教材，高于教材

當前，最常見的復習課是教師以“奇、特、巧、新”等為選題標準，通過“講解題，不講怎樣解題”“講解法，不講如何想到解法”的方式給學生灌輸技巧，最后總結為“解法—技巧”.“解法多的題” ≠ “好題”，那些與重要概念和性質相關、反映數學本質、體現基礎知識聯系性的題才是真正的“好題”. 好的解法應追求把問題簡單地說清楚，并從中提煉基本結構、思想方法，這樣才能真正做到一通百通. 本課題基于教材和中考情況，設置有挑戰性的學習主題，以問題串的形式驅動課堂學習，將學生已有的知識推廣到一般三角形中，通過尺規作圖、求最值等問題，引發深度學習. 浙教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）八年級下冊第19頁作業題第5題，考查了等腰直角三角形中求最大的正方形的面積，教材九年級上冊第149頁作業題第5題，考查了一般三角形中，已知底和高，運用相似三角形知識求內接正方形的邊長. 學生在前期學習中，已經對相關內容有了初步的了解. 同時，該結構也經常作為壓軸題出現在中考試題中，如2019年浙江嘉興卷、浙江舟山卷. 同時，在廣東、山東、遼寧、天津的中考試題中均有出現，是中考中的常客，也是學生考試答題的難點. 基于上述分析，筆者確定了“三角形的內接正方形”的學習主題.

2. 課堂以生為本，學為中心

深度學習的內涵要求課堂教學中要以生為本，以學為中心. 教學設計要站在學生的角度去設計問題，在教師的指導下，既要讓學生自然地獲得研究對象和思路，又要讓學生進行挑戰性的學習任務，這樣才能激發學生的學習欲望. 本課題按照“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑，精心設計問題串，層層遞進，激發學生的求知欲，并將學習的思維引向深處. 尺規作圖是本節課的難點，筆者查閱資料，發現有圖15～17三種作法，均利用了位似來進行構圖，但對于學生來說，幾乎難以想到. 筆者按照由易到難的原則，圖9中的正方形是學生容易想到的，通過算一算發現等底等高的三角形，等底邊上的內接正方形邊長一樣，通過類比圖9，將其他圖形轉化成等底等高的直角三角形，從而巧妙地突破了本節課的難點. 在研究同一三角形中面積最大的正方形時，先研究直角三角形中的2個正方形，通過作差法比較大小，再類比遷移到銳角三角形中的3種情況，將學生的思維引向深處.

3. 一般觀念引領幾何學習

一般觀念指與核心概念和理論相關的研究問題的一般“套路”. 例如，如何抽象一個數學對象;怎樣研究一類數學對象. 幾何教學中可遵循“基本事實—概念—性質—結構”的公理化體系，按照“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑展開學習. 本課題通過問題1，激活學生的已有知識，包括小學階段學習的圓中方、方中圓，九年級階段學習的三角形內切圓和外接圓，從而自然引出本節課的研究對象. 從所學習的已有知識內容中，包括定性上對內接圖形存在性的討論，尺規作圖，定量計算長度和面積，為新的研究對象明確了研究方向和研究思路. 在教師的精心組織下，學生經歷了操作、猜想、證明、應用等環節，既自然地得到新的研究對象和研究思路，又進行了有挑戰性的學習任務，在運用特殊、類比、轉化等方法解決難題的過程中，經歷了更深層次的思考，獲得了成功的體驗，感悟學習的一般方法. 通過習題課教學，學生在提高解題能力的同時，提高了發現問題和提出問題的能力，體會研究問題的一般路徑，從中領悟數學思想方法，積累數學活動經驗，達成深度學習.

參考文獻：

[1]FSR MARTON，R SALJO. On qualitative differences in learning：I—Outcome and process[J]. British Journal of Educational Psychology，1976（46）：4-11.

[2]何玲，黎加厚. 促進學生深度學習[J]. 現代教育，2005（5）：29-30.

[3]郭華. 深度學習及其意義[J]. 課程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.

[4]章建躍. 如何使學生發現和提出有研究價值的問題[J]. 中學數學教學參考（上旬），2014（1 / 2）：7-10.

[5]章建躍，陳向蘭. 數學教育之取勢明道優術[J]. 數學通報，2014，53（10）：1-7，66.A0835152-84DB-4BF2-B518-40FC70401A18