用一般觀念引領章起始課教學

王萬豐 周孝輝

摘? 要：數學的研究對象不同，但是數學研究的思路與方法卻大致相同. 在數學教學中，我們應在一般觀念下去思考一個數學對象的研究思路、方法與套路，從數學對象的發生、發展處展開教學.“二次函數y = ax2（a ≠ 0）的圖象和性質”是學生完整地經歷了一次函數的研究歷程而開始學習的，在教學的過程中應充分發揮先行組織者的教學理論，引導學生整體回顧一次函數的研究思路與方法，用類比思想規劃研究“二次函數y = ax2（a ≠ 0）的圖象和性質”的學習思路與方法而展開教學，這樣的教學提升了數學活動經驗，發展了數學素養.

關鍵詞：一般觀念;類比研究;設計教學

一、引言

多次聽過人教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）九年級上冊“二次函數y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質”這節課，課堂上多數教師都是開門見山，上課伊始就直接告訴學生我們要開始研究二次函數y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質，直接就對a取特殊值，列表、畫圖象來得出二次函數y = ax2（a ≠ 0）的性質，接著就應用性質解決問題. 表面上看，這堂課是很夯實的一堂課，結果往往是學生能記住二次函數y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質，也能夠應用性質解決一些問題，從完成教學任務來看也沒有什么大的問題，但是總感覺缺少點什么.

細細思考，這樣的教學是碎片化的教學，是“掐頭去尾燒中段”式的教學. 試想，如果我們要研究二次函數的性質，為何是從研究“二次函數y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質”開始的？要研究“二次函數y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質”又為何要對a進行取值？要對a進行取值，又為何要進行分類，分成a > 0和a < 0兩類？研究二次函數y = ax2（a ≠ 0）的性質又如何歸納及從哪幾個方面去歸納？這些問題如果不解決，學生仍然學不會研究函數的性質. 從過程與方法目標來講，這樣的教學對發展學生的數學活動經驗沒有任何幫助，這樣的教學只是教會了學生“知其然”，而沒有讓學生思考“何以知其然”及“何由以知其所以然”.

出現以上問題的根源在于：教師在教學設計的過程中沒有應用一般觀念引領教學.

所謂一般觀念，指的是與核心概念和理論相關的研究問題的一般“套路”，是代數、幾何及統計與概率的研究思路、研究內容和研究方法. 用一般觀念指導教學，能夠幫助學生形成更高層次的認知能力.

一般觀念引領下的章起始課教學，需要按照“整體—部分”的順序展開. 首先，在整體視野下明確本章或本節內容的研究思路;其次，圍繞核心內容提出研究問題，明確研究目標（研究內容）;最后，展開對本節內容的研究. 這種章起始課的教學方法可以使學生用整體的視角理解知識的直接關聯，感悟知識的發生、發展和應用過程中蘊含的數學思想方法，讓學生“知其然”，并“知其所以然”，知其“何由以知其所以然”.

二、一般觀念下的函數研究的內容與方法

1. 函數知識的整體性與內在聯系

函數知識是初中階段代數最重要的內容，初中階段研究了一次函數、二次函數及反比例函數，在學習的過程中都要學習函數的相關概念，函數的表示方法，學會用描點法畫出函數的圖象，結合函數圖象研究函數的性質，利用函數的性質解決實際問題等. 具體如表1所示.

2. 函數研究的基本思路

函數圖象與性質是函數研究的主體，通過對函數圖象與性質的學習，從數量和圖象兩個方面及其相互聯系中顯示出函數本質特征是聯系變化，通過觀察發現圖象的規律，再根據這些規律得出關于數值大小的性質，即研究函數的增減性. 一次函數是一種單調遞增或單調遞減的函數;二次函數的圖象具有對稱性，其單調性需要分類討論，在遞增和遞減的分界點處會產生函數的最大（小）值，所以研究二次函數的性質要研究其對稱性、增減性及最大（小）值;反比例函數是分段函數，是有區間的單調性，教材主要研究其增減性.

綜上所述，研究函數的性質主要研究其圖象分布規律及其對稱性、增減性及特殊點. 歸納如圖1所示.

3. 函數性質的研究方法

研究一個數學對象，遵循的方法一般是從特殊到一般、從簡單到復雜. 要研究函數的性質，就必然要先給出函數的圖象，一次函數的性質研究是先從正比例函數研究開始的，通過平移正比例函數的圖象，即可得到一次函數的圖象，從而研究一次函數的性質，如圖2所示.

與一次函數類似，二次函數也是利用平移來得到函數圖象的. 從最基本的二次函數y = ax2（a ≠ 0）開始研究，通過向上（或向下）再向左（或向右）平移得到二次函數y = a（x - h）2 + k（a ≠ 0）的圖象與性質，再將二次函數y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）配方變形為y = a（x - h）2 + k（a ≠ 0）的形式，從而得出二次函數y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的圖象和性質，具體如圖3所示.

可以發現，一次函數與二次函數性質的研究方法具有高度的相似性，都是可以通過一個最基本的函數經過平移得到所研究的一般函數. 只是平移的復雜程度不同，一次函數的圖象是一條直線，所以只需要由正比例函數通過向上（或向下）平移即可得到;而二次函數的圖象是一條拋物線，需要由y = ax2（a ≠ 0）進行左右或上下平移得到.

4. 正比例函數y = kx（k ≠ 0）與二次函數y = ax2（a ≠ 0）性質的研究方法比較

函數性質的研究是函數研究的主體，應用函數模型可以更加精確地描述變量之間的關系，利用函數性質解決實際問題中的最值問題. 那么函數的性質是如何研究的呢？實際上，函數性質的得出是采用不完全歸納法，即通過研究幾個特例函數的特點，通過歸納得出這類函數的共性即為函數的性質. 通過查閱教材，將正比例函數y = kx（k ≠ 0）及二次函數y = ax2（a ≠ 0）性質研究的方法歸納如圖4所示.D1F06254-D527-440D-AAF7-DBE3A549AB70

可以看出，研究函數性質的主要方法是：先將其系數進行分類與特殊化，從而有了具體的函數作為研究對象，通過描點法畫出特殊函數的圖象，將研究函數的性質轉化為研究幾個特例函數的特點，并進行不完全歸納，共同的特點稱為函數的性質;對于分類的系數有不同的特點，性質將進行分類表述. 具體圖示如圖5所示.

由以上分析可以看出，函數研究的套路與方法基本類似，特別是一次函數與二次函數，其性質研究的思路與方法完全一致. 所以在教學中應從整體思考函數研究的套路與方法，發揮一次函數性質研究的先行組織者作用，充分利用一次函數性質研究的數學活動經驗，設計出邏輯連貫的數學活動，讓學生通過類比一次函數，主動構建起研究二次函數的套路與方法，形成函數性質的研究路徑，發展學生的核心素養.

5. 數學活動經驗對函數研究的指導作用

教材對函數學習的內容是這樣安排的，八年級下冊學生學習函數的相關概念及表示方法，學會描點法畫函數圖象，初步學會用函數模型解決實際問題;在此基礎上研究正比例函數的圖象和性質，再研究一次函數的圖象和性質;九年級上冊研究二次函數的圖象和性質，九年級下冊將研究反比例函數的圖象和性質.

從數學活動經驗的要求來看，教師應以“手把手”的方式去教學生研究一次函數，特別是在本章復習中要總結出函數的研究套路與方法，初步形成研究函數的基本數學活動經驗;然后以“幫把手”的方式研究二次函數，在研究二次函數的性質之前要與學生一起構建研究二次函數的套路與方法，形成研究路徑，鞏固研究函數的數學活動經驗，當然，應該發揮一次函數的先行組織者作用. 另外，在本章復習階段仍然需要繼續回顧研究二次函數的套路與方法，鞏固研究函數的數學活動經驗，形成較為穩固的研究函數的數學活動經驗. 在這兩章的基礎上，學生具備了研究函數的數學活動經驗，所以教師應以“放開手”的方式去教反比例函數，應完全放手讓學生自己去研究反比例函數，如表2所示.

三、一般觀念引領下的“二次函數y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質”教學設計

1. 構建函數性質研究的一般方法

問題1：學習了二次函數的定義后，接下來我們將研究二次函數哪方面的內容？

師生活動：學生根據學習一次函數的經驗得出研究二次函數的圖象、性質及應用. 得到圖1.

【設計意圖】根據先行組織者理論，體現類比研究思想，明確研究內容.

問題2：對于函數的圖象和性質的研究我們已經有了一定的基礎，你認為我們應如何研究二次函數的圖象和性質？

追問1：如何研究一次函數的圖象與性質？

師生活動：先讓學生展望研究二次函數圖象的方法，當學生感到困難時引導學生回顧一次函數的相關研究內容和方法. 經歷從特殊到一般的探究過程，先研究特殊的一次函數——正比例函數y = kx（k ≠ 0）的圖象和性質，再研究一般的一次函數y = kx + b（k ≠ 0）的圖象和性質;通過描點法畫出一次函數的圖象，觀察特例函數與一般函數的位置關系，總結得到圖2. 另外，在研究正比例函數的過程中，分k > 0，k < 0兩種情況討論，由k取具體的數入手，最后歸納出一般的情況，總結得到圖4（1）.

【設計意圖】通過此問題進行研究框架的搭建，雖然二次函數與一次函數的研究對象有差異，復雜程度有差異，但研究方法是從特殊到一般. 復習回顧一次函數的研究內容和研究方法，帶領學生體會函數的研究內容和研究方法，為后續自主構建研究二次函數的圖象和性質幫把手.

追問2：通過類比一次函數的研究思路與方法，你能說說二次函數應如何研究嗎？

追問3：如何研究y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質？

師生活動：學生主動構建研究思路與方法，教師提升并完善研究路徑，形成研究路徑的共識，即先研究y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質. 繼續類比研究正比例函數的研究思路，構建出研究y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質的思路與方法，包括對字母a進行分類討論，如何對a取特殊值，通過畫圖象歸納共性得出函數的性質等，構建出如圖4（2）所示的研究路徑.

【設計意圖】通過此問題進行研究框架的搭建，讓學生應用一般觀念思考研究函數的套路與方法，從系統的角度構建出函數圖象的研究路徑，這既是對數學學習的深度思考，又是基于一般觀念引領去思考數學，提升學習數學的品味.

2. 類比探究二次函數y = ax2（a ≠ 0）的圖象和性質

問題3：類比一次函數的研究內容和研究方法，畫出二次函數y = x2的圖象，你能說說它的圖象具有哪些特征嗎？

追問1：怎樣用描點法畫出函數圖象？自變量x的取值范圍是什么？

追問2：從哪些角度去觀察、概括特例函數y = x2的圖象的特征？

師生活動：學生積極思考圖象的特征，有序思考研究二次函數性質的幾個角度，即對稱性、增減性、圖象分布及最值等.

【設計意圖】教師引導學生概括觀察的角度和方法，嘗試類比探究特殊的二次函數y = x2的圖象和性質，也可以適時引入幾何畫板軟件進行畫圖，輔助教學，并以函數y = x2的圖象為觀察對象，了解拋物線的相關概念.

問題4：在同一直角坐標系中畫出函數[y=12x2]，y = 2x2的圖象，函數[y=12x2]，y = 2x2的圖象與函數y = x2的圖象相比，有什么共同點？有什么不同點？通過歸納得出當a > 0時，二次函數y = ax2（a ≠ 0）的圖象有什么特點？

追問1：這種共同點是由什么因素引起的？

追問2：這三個函數有哪些不同點？是由什么因素決定的？

【設計意圖】經歷從特殊到一般的研究過程，歸納出二次函數y = ax2（a > 0）的圖象特征.D1F06254-D527-440D-AAF7-DBE3A549AB70

問題5：類比a > 0時的研究過程，研究當a < 0時，二次函數y = ax2的圖象特征.

追問1：通過列表（略），你能猜測出拋物線y = x2與y = -x2的圖象有什么關系嗎？你能通過表格中的數據或者函數解析式來證明你的結論嗎？

師生活動：學生猜測兩條拋物線的位置關系，并通過觀察表格中的數據，得到一些特殊點是關于x軸對稱，歸納得出兩條拋物線也是關于x軸對稱;也可以通過一般情況加以證明，即點（m，m2）在拋物線y = x2上，那么點（m，-m2）在拋物線y = -x2上，也可證明兩條拋物線關于x軸對稱.

【設計意圖】通過說明兩條拋物線的位置關系，培養學生觀察、歸納、猜想、論證的能力，培養學生邏輯思維能力，通過類比a > 0的研究過程，經歷從特殊到一般的研究過程，從特殊的數值入手，觀察函數圖象的特征，并歸納出二次函數y = ax2（a < 0）的圖象與性質.

問題6：你能說出y = ax2的圖象和性質嗎？

【設計意圖】通過再一次歸納與總結，分類表述二次函數y = ax2（a ≠ 0）的圖象和性質，培養學生有條理地表達及有條理地思考函數性質的能力.

四、一般觀念引領章起始課的幾點思考

1. 一般觀念引領教學的價值——數學育人

我們知道，所有科學問題的本質都是簡單而有序的. 人類的智慧表現在用簡單的概念闡明科學的基本問題，用相似的方法解決不同的問題，而數學的方法就是簡單的基本方法. 這正與數學研究對象相匹配，無論是在代數領域還是在幾何領域，研究的對象千變萬化，但是研究的內容與方法是一脈相承的，正所謂“研究對象在變，研究套路不變，思想方法不變”. 所以，在教學中，我們應當讓學生感悟到數學研究的基本方法，體會用相似的方法解決不同的問題的數學思想方法，經歷用相同的方法研究不同的數學對象的過程，學會一般觀念引領構建出數學研究對象的基本路徑、基本套路與基本方法，并用自主構建的研究方法研究一個新的對象，經歷了數學抽象、邏輯推理等過程，發展了數學學科核心素養，也正是用數學的方式育人的體現.

2. 一般觀念引領教學的方法——先行組織者

美國教育心理學家奧蘇貝爾提出，學生面對新的學習任務時，如果原有認知結構中缺少同化新知識的適當的上位觀念，或原有觀念不夠清晰，則有必要設計一個先于學習材料呈現之前呈現的一個引導性材料，幫助構建一個使新、舊知識發生聯系的橋梁.

學生在研究一個新的對象時，總是會感覺有些困難，若能夠在一般觀念的引領下，回顧恰當的上位觀念，并能對此上位觀念的研究思路、研究方法與研究套路進行回顧與整理，就能幫助學生構建出章起始課中數學對象的研究思路與研究方法. 本節課中，對于如何研究二次函數的性質，教師通過“如何研究一次函數的圖象與性質？”這一問題，啟發學生思考上位觀念，并通過追問、對話，回顧整理出一次函數的研究套路，通過類比，構建二次函數的研究思路與研究方法.

3. 一般觀念引領教學的思想——類比思想

在教學中，要想從一般觀念引領章起始課的教學，基本方法應發揮先行組織者的作用，用類比思想構建一個數學對象的研究路徑與框架，在章復習課用一般觀念引領教學，引導學生從研究思路、研究對象、研究方法、知識結構等角度理解知識的本質，形成比較穩固的數學活動經驗. 那么在章起始課的教學中就通過類比思想，構建出新的研究對象的研究路徑與框架.

本節課的教學是基于一次函數的研究方法與套路，通過類比，得出二次函數的研究方法與套路，通過一次函數性質的研究內容類比得出二次函數性質的研究內容，體現出“幫把手”研究二次函數性質的思想. 在研究二次函數的圖象與性質中，進一步將函數圖象性質的研究套路明朗化，形成穩定的數學活動經驗，就可以“放開手”讓學生研究反比例函數的圖象與性質，達到“教是為了不教”這一目的，也是教學的最高境界.

4. 一般觀念引領教學的基礎——理解數學

應用一般觀念引領教學，教師首先必須懂得如何用數學的方式分析中學數學課程中每一個數學對象的研究套路，即要理解數學中每一類數學對象的研究思路、研究內容與研究方法，從知識的發生、發展的內在邏輯角度，用更高的觀點理解數學知識.

例如，用“怎樣研究函數”的一般觀念去引領教學，教師應從更高的角度去理解函數的相關內容. 例如，函數是如何定義的？函數的圖象與性質是如何展開研究的？函數性質的研究內容有哪些？函數性質的邏輯起點又是什么？如何歸納函數的性質？等等. 教師只有從更高的觀點來理解所教學的內容，才能深化學生對知識的理解，才能設計出讓學生理解“何由以知其所以然”的高觀點的課堂.

本節課的教學實踐表明，一般觀念引領下的章起始課教學，可以幫助學生在整體視野下建立知識之間的聯系，形成系統、簡約的知識結構，并利用這些知識結構展開新的研究，形成穩定的數學活動經驗，用相同的方法做不同的事情. 章建躍博士認為，數學教學的根本任務就是要發展學生的思維，就是要使學生面對一個新的問題時總能找到方法. 注重一般觀念的思維引領作用，抓住知識之間的內在聯系，使學生掌握研究問題的一般觀念，并應用一般觀念研究新的問題，是實現數學育人的重要途徑.

參考文獻：

[1]章建躍. 學會用數學的方式解讀內容設計教學：以“相交線”為例[J]. 數學通報，2019，58（1）：8-12，15.

[2]吳增生. 用數學發展智慧：基于腦、適于腦、發展腦的數學教學策略[M]. 南昌：江西教育出版社，2016.

[3]吳增生. 整體建構核心素養導向下的總復習教學策略體系[J]. 中國數學教育（初中版），2019（7 / 8）：3-11，37.

[4]王亮亮. 中考數學改革對初中數學教學的反撥作用[J]. 數學通報，2016，55（5）：10-14.

[5]王萬豐. 整體設計教學? 發展核心素養：用類比的方法研究新函數[J]. 中國數學教育（初中版），2017（6）：2-4，8.D1F06254-D527-440D-AAF7-DBE3A549AB70