立足學(xué)生認(rèn)知，彰顯知識(shí)本色

施家貴

【摘要】學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，立足學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)才是有效的.筆者以對(duì)《復(fù)數(shù)的三角表示》的教學(xué)為例，分析學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與認(rèn)知難點(diǎn)，以四元五環(huán)的教學(xué)模式展開設(shè)計(jì)，通過設(shè)計(jì)合理的問題情境，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生與發(fā)展的過程，力求凸顯知識(shí)的本質(zhì)，以提高學(xué)生的思維水平.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);復(fù)數(shù);問題情境

1 問題提出

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上[1].有效的教學(xué)是要先了解學(xué)生原有知識(shí)的掌握情況，然后根據(jù)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備還原學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)的心理建構(gòu)，使學(xué)生能夠自發(fā)產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的驅(qū)動(dòng)力.因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要靈活地使用教材，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，從學(xué)生的認(rèn)知起始點(diǎn)出發(fā)，將課堂的教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具體的學(xué)習(xí)任務(wù)，時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的課堂生成，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的感知、抽象、概括、辨析、深化;設(shè)計(jì)相應(yīng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生能夠在課堂上不斷積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而使學(xué)生的認(rèn)知邏輯與學(xué)科知識(shí)邏輯可以達(dá)到統(tǒng)一，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在新課標(biāo)改革過程中，雖然很多教師加強(qiáng)對(duì)改革理念的學(xué)習(xí)，并努力嘗試在日常的課堂教學(xué)中滲透新理念.但在實(shí)際課堂中，由于課時(shí)的限制以及應(yīng)試的要求，課堂上教師更注重講授，忽略了學(xué)生的學(xué)習(xí)和課堂的生成.這一現(xiàn)象的存在，本質(zhì)上就是因?yàn)榻處煂?duì)新課標(biāo)理念的把握不到位，未能做到以學(xué)生為中心、以活動(dòng)為中心進(jìn)行教學(xué).教師在教學(xué)活動(dòng)中尊重學(xué)生個(gè)體，鼓勵(lì)學(xué)生參與課堂，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和習(xí)慣，促進(jìn)教師能夠在遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上更好地進(jìn)行課堂教學(xué)活動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)高效的數(shù)學(xué)課堂.本文以新教材增加的“復(fù)數(shù)的三角表示”為例進(jìn)行基于學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)設(shè)計(jì)探究.

2 教學(xué)分析

2.1 教材變化

課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整，原來復(fù)數(shù)是選修模塊，新教材中復(fù)數(shù)被調(diào)整到必修模塊，可見復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)新教材中的地位得到了提高.在新舊教材中復(fù)數(shù)涵蓋的知識(shí)點(diǎn)基本上是相同的，但是在新人教A版中增加了“復(fù)數(shù)的三角表示”這塊內(nèi)容.復(fù)數(shù)的三角表示具有比較顯著的幾何特征，可以幫助學(xué)生在掌握復(fù)數(shù)的表示與運(yùn)算本質(zhì)的同時(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想.新教材有意按先三角函數(shù)、后向量、最后復(fù)數(shù)的順序?qū)⑷呓Y(jié)合在一起，促使學(xué)生體會(huì)到數(shù)與形之間的緊密關(guān)系，因此復(fù)數(shù)的三角表示對(duì)提升學(xué)生的抽象素養(yǎng)起到了不可小覷的作用[2].

復(fù)數(shù)的三角形式作為高中數(shù)學(xué)的選學(xué)模塊，在學(xué)生的知識(shí)內(nèi)容考查上不做硬性的要求，但是這塊內(nèi)容可以給學(xué)習(xí)能力好的學(xué)生做知識(shí)拓展，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的典型載體.但是筆者認(rèn)為教師應(yīng)該將復(fù)數(shù)的三角表示當(dāng)成必修模塊進(jìn)行教學(xué)，利用復(fù)數(shù)的三角表示進(jìn)行一些復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算非常方便，能起到簡(jiǎn)化計(jì)算的作用;另外，在解決平面向量、平面幾何和三角公式推導(dǎo)等相關(guān)問題時(shí)，復(fù)數(shù)的三角表示也能發(fā)揮它的重要輔助作用.基于此，筆者認(rèn)為教師應(yīng)重視復(fù)數(shù)的三角表示的教學(xué)，盡量讓所有學(xué)生都進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí).在復(fù)數(shù)的三角表示教學(xué)過程中，教師應(yīng)該從學(xué)生的認(rèn)知視角出發(fā)，不斷強(qiáng)化復(fù)數(shù)與向量、三角的聯(lián)系，完善學(xué)生的認(rèn)知建構(gòu)，助力提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

2.2? 學(xué)生的認(rèn)知分析

2.2.1 學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)生在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的三角形式之前，已經(jīng)掌握了平面向量、三角函數(shù)以及復(fù)數(shù)等基本內(nèi)容，一方面能夠正確處理復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)以及向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，教師可以在此基礎(chǔ)上從復(fù)數(shù)的幾何意義入手引入復(fù)數(shù)的三角表示;另一方面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義及基本的三角恒等變換，為學(xué)生探究復(fù)數(shù)的三角表示奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ).

2.2.2 學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)

高一年級(jí)學(xué)生經(jīng)過一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，抽象思維能力有了一定的提升，但是在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生對(duì)知識(shí)的整合能力不強(qiáng)，缺乏應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)造意識(shí)，在利用幾何圖形與三角之間的關(guān)系推導(dǎo)復(fù)數(shù)的三角形式時(shí)考慮得不夠完善，只是將這種表示形式當(dāng)成結(jié)論記下來，對(duì)問題的本質(zhì)理解得不夠透徹，無法靈活地使用復(fù)數(shù)的三角表示解決問題，主要體現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：一是復(fù)數(shù)的三角表示形式較為抽象，學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)三角表示的理解往往流于形式，學(xué)生沒有從形的角度去理解抽象復(fù)數(shù)的三角表示，導(dǎo)致三角表示的形式已發(fā)生混淆，對(duì)基本元素的把握容易發(fā)生偏差;二是在進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)三角式時(shí)，學(xué)生只是按部就班地套用公式，不能真正體會(huì)復(fù)數(shù)三角形式的內(nèi)涵，遇到比較靈活的題目，學(xué)生就會(huì)無法剖析題目的本質(zhì)，難以下手.

3 基于學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)設(shè)計(jì)

考慮到學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，教師從學(xué)生的舊有知識(shí)出發(fā)，用問題情境引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，采用四元五環(huán)的教學(xué)模式進(jìn)行《復(fù)數(shù)的三角表示》教學(xué)設(shè)計(jì).

3.1 數(shù)學(xué)情境，感知復(fù)數(shù)的三角表示背景

問題1 我們之前學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念與幾何意義，那么我們能不能從復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)一步來研究復(fù)數(shù)的其他表示形式？

追問1 復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）的幾何表示方法有哪些？

復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）唯一確定，與平面向量OZ=（a，b）一一對(duì)應(yīng).

追問2 既然復(fù)數(shù)可以用向量表示，而向量可以由它的大小和方向唯一確定，那么，我們能否借助向量的大小和方向這兩個(gè)要素來表示復(fù)數(shù)呢？

設(shè)計(jì)意圖 在該教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師圍繞著復(fù)數(shù)的幾何意義設(shè)置了三個(gè)具有啟發(fā)性的問題，其中前兩個(gè)問題設(shè)置的是舊知情境，從復(fù)數(shù)的幾何表示方法出發(fā)，讓學(xué)生回顧了復(fù)數(shù)的概念和幾何意義，加強(qiáng)學(xué)生所學(xué)的復(fù)數(shù)的三角表示與幾何圖形之間的聯(lián)系，為新知識(shí)起到鋪墊或?qū)б饔?接著教師基于學(xué)生知識(shí)起點(diǎn)設(shè)置了問題3，學(xué)生無法直接回答從而引發(fā)認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的熱情，也讓學(xué)生獲得對(duì)復(fù)數(shù)的三角表示的最初感知.

3.2 數(shù)學(xué)探究，抽象復(fù)數(shù)的三角表示特征

問題2 向量的大小可以用模表示，那么向量的方向如何表示呢？

由圖1看出，向量的方向可以借助角θ也就是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角來表示向量OZ的方向.

問題3 如何用向量的模和角來表示復(fù)數(shù)？為什么？

由圖1可知，在直角三角形中，a=rcosθ，b=rsinθ，

所以a+bi=rcosθ+irsinθ=r（cosθ+isinθ）.

追問1 若這個(gè)角是任意角，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？

由三角函數(shù)的定義可知，當(dāng)這個(gè)角為任意角時(shí)，這個(gè)結(jié)論仍然成立.

其中r=a2+b2，cosθ=ar，sinθ=br.

追問2 大家能不能用上面的結(jié)論來表示點(diǎn)Z在實(shí)軸或虛軸上對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)？

學(xué)生活動(dòng)：

z=1=1（cos0+isin0）z

=-1=1（cosπ+isinπ），

z=i=1（cosπ2+isinπ2）z

=-i=1（cos3π2+isin3π2）.

設(shè)計(jì)意圖 復(fù)數(shù)的三角表示特征的探究過程始終圍繞著學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)——復(fù)數(shù)的幾何意義展開，教師在課堂抓住提問的生成資源點(diǎn)進(jìn)行追問，通過不斷完善復(fù)數(shù)的三角表達(dá)形式來進(jìn)行新知識(shí)的建構(gòu)，讓學(xué)生能夠充分理解復(fù)數(shù)三角表示的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.接著學(xué)生用推導(dǎo)出的結(jié)論表示特殊位置上的復(fù)數(shù)，初步感知復(fù)數(shù)的三角表達(dá)形式，這樣既尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也使學(xué)生在這個(gè)活動(dòng)過程中反復(fù)利用幾何圖形探究復(fù)數(shù)的三角形式，促使學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思維習(xí)慣.整個(gè)教學(xué)過程中，教師不以自我傳授和教師的經(jīng)驗(yàn)作為教學(xué)的中心，而是用問題作為載體，啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，真正考慮到學(xué)生的思維發(fā)展.

3.3 數(shù)學(xué)體悟，概括復(fù)數(shù)的三角表示要義

問題4 所有的復(fù)數(shù)都可以表示為z=

r（cosθ+isinθ）嗎？

所有的復(fù)數(shù)都有唯一向量與它相對(duì)應(yīng)，故所有的復(fù)數(shù)都可以表示為z=r（cosθ+isinθ）.

問題5 這種表示形式中r表示什么？其范圍呢？

r表示復(fù)數(shù)z的模，因此r≥0

問題6 θ的幾何意義又是什么？

θ表示以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角.

問題7 那現(xiàn)在大家一起來總結(jié)其結(jié)構(gòu)特征，概括復(fù)數(shù)的這種表示形式？

一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式.其中，r是復(fù)數(shù)z的模;θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）的輻角.r（cosθ+isinθ）叫做復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來，a+bi（a，b∈R）叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱代數(shù)形式[3].

師生活動(dòng) 教師引導(dǎo)學(xué)生概括復(fù)數(shù)的三角形式要義，得出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x.

設(shè)計(jì)意圖 教師通過問題4引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到所有的復(fù)數(shù)都能用復(fù)數(shù)的三角形式來表示，體會(huì)復(fù)數(shù)三角表示的普適性;通過問題5、6強(qiáng)化r和θ的幾何意義，促使學(xué)生更深刻地把握復(fù)數(shù)的三角形式的基本要素;通過問題7讓學(xué)生從結(jié)構(gòu)形式上把握事物的本質(zhì)，概括出簡(jiǎn)約的文字語言.教師在課堂上留給學(xué)生足夠的時(shí)間去體悟、歸納復(fù)數(shù)的三角表示的要義，讓新知識(shí)通過學(xué)生的理解納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，而沒有直接將結(jié)論拋給學(xué)生進(jìn)行記憶，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索和理解能力，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.4 數(shù)學(xué)應(yīng)用，深化復(fù)數(shù)的三角表示理解

例1 分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個(gè)輻角，畫出它們對(duì)應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：

cosπ+isinπ;（2）6（cos11π6+isin11π6）.

例2 畫出下列復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式：

12+32i;（2）1-i.

師生活動(dòng) 總結(jié)復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角式互相轉(zhuǎn)化的方法與步驟.

共同點(diǎn)：畫出對(duì)應(yīng)的向量;

三角式轉(zhuǎn)代數(shù)式：熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值求解.

代數(shù)式轉(zhuǎn)三角式：結(jié)合三角函數(shù)定義，

①利用公式r=a2+b2，求出復(fù)數(shù)的模;

②利用cosθ=ar，或sinθ=br，結(jié)合復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在位置確定復(fù)數(shù)的一個(gè)輻角.

設(shè)計(jì)意圖 經(jīng)歷前面環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)后，學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的兩種表示方式的基本要素和結(jié)構(gòu)已經(jīng)有了較為深入的理解，此時(shí)教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)置這兩道例題，讓學(xué)生抓住表示形式的基本要素進(jìn)行思路探尋，經(jīng)歷并總結(jié)復(fù)數(shù)的兩種表示式之間的互化，認(rèn)識(shí)到兩種結(jié)構(gòu)形式既有各自的特征又相互聯(lián)系，并再次感受復(fù)數(shù)的三角表示的產(chǎn)生發(fā)展及應(yīng)用過程，加深對(duì)復(fù)數(shù)三角表示的再認(rèn)知.

總之，在課堂教學(xué)中需要教師以學(xué)生認(rèn)知作為教學(xué)的起點(diǎn)，設(shè)計(jì)合理的問題情境，不斷地用問題驅(qū)動(dòng)促使學(xué)生進(jìn)行積極的思考，彰顯知識(shí)本色，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象水平.

參考文獻(xiàn)：

[1]張春莉.學(xué)習(xí)者視角下的學(xué)習(xí)歷程分析[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2019，11.

[2]閏洪德.基于數(shù)學(xué)抽象過程中的問題驅(qū)動(dòng)探析——以“復(fù)數(shù)的三角表示（第一課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].數(shù)學(xué)通訊，2020（8）：19-21.

[3]課程教材研究所.普通高中教科書 數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)A版[M].北京：人民教育出版社，2020.