10.八校聯考試題

一、單項選擇題

1.“0<θ<π3”是“0

（A）充分不必要條件.

（B）必要不充分條件.

（C）充要條件.

（D）既不充分也不必要條件.

2.已知z=2i1-i-1+2i，則復數z在復平面內對應的點位于（）

（A）第一象限.（B）第二象限.

（C）第三象限.（D）第四象限.

3.設a，b為非零向量，λ，μ∈R，則下列命題為真命題的是（）

（A）若a·（a-b）=0，則a=b.

（B）若b=λa，則|a|+|b|=|a+b|.

（C）若λa+μb=0，則λ=μ=0.

（D）若|a|>|b|，則（a+b）·（a-b）>0.

4.已知函數y=f（x）的圖象與函數y=2x的圖象關于直線y=x對稱，g（x）為奇函數，且當x>0時，g（x）=f（x）-x，則g（-8）=（）

（A）-5.（B）-6.（C）5.（D）6.

5.如圖1，拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l與C相交于A，B兩點，l與y軸相交于E點.圖1

已知|AF|=7，|BF|=3，記△AEF的面積為S1，△BEF的面積為S2，則（）

（A）S1=2S2.

（B）2S1=3S2.

（C）S1=3S2.

（D）3S1=4S2.

6.已知3tan20°+λcos70°=3，則λ的值為（）

（A）3.（B）23.（C）33.（D）43.

7.如圖2，已知四棱柱ABCD|A1B1C1D1的底面為平行四邊形，E，F，G分別為棱AA1，CC1，C1D1的中點，則（）

（A）直線BC1與平面EFG平行，直線BD1與平面EFG相交.圖2

（B）直線BC1與平面EFG相交，直線BD1與平面EFG平行.

（C）直線BC1，BD1都與平面EFG平行.

（D）直線BC1，BD1都與平面EFG相交.

8.設a，b都為正數，e為自然對數的底數，若aea+1+b

（A）ab>e.（B）b>ea+1.

（C）ab

二、多項選擇題

9.已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<π2）的部分圖象如圖3所示，則（）

圖3

（A）f（x）的最小正周期為π.

（B）fx+π6為偶函數.

（C）f（x）在區間0，π4內的最小值為1.

（D）f（x）的圖象關于直線x=-2π3對稱.

10.某中學在學校藝術節舉行“三獨”比賽（獨唱、獨奏、獨舞），由于疫情防控原因，比賽現場只有9名教師評委給每位參賽選手評分，全校4000名學生通過在線直播觀看并網絡評分，比賽評分采取10分制.某選手比賽后，現場9名教師原始評分中去掉一個最高分和一個最低分，得到7個有效評分如下表.

教師評委ABCDEFG有效評分9.69.19.48.99.29.39.5

對學生網絡評分按[7，8），[8，9），[9，10]分成三組，其頻率分布直方圖如圖4所示.

則下列說法正確的是（）

（A）現場教師評委7個有效評分與9個原始評分的中位數相同.

（B）估計全校有1200名學生的網絡評分在區間[8，9）內.圖4

（C）在去掉最高分和最低分之前，9名教師評委原始評分的極差一定大于0.7.

（D）從學生觀眾中隨機抽取10人，用頻率估計概率，X表示評分不小于9分的人數，則E（X）=5.

11.設雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，點P在C的右支上，且不與C的頂點重合，則下列命題中正確的是（）

（A）若a=3，b=2，則C的兩條漸近線的方程是y=±32x.

（B）若點P的坐標為（2，42），則C的離心率大于3.

（C）若PF1⊥PF2，則△F1PF2的面積等于b2.

（D）若C為等軸雙曲線，且|PF1|=2|PF2|，則cos∠F1PF2=35.

12.在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，沿對角線AC將矩形折成一個大小為θ的二面角B|AC|D，若cosθ=13，則（）

（A）四面體ABCD外接球的表面積為16π.

（B）點B與點D之間的距離為23.

（C）四面體ABCD的體積為423.

（D）異面直線AC與BD所成的角為45°.

三、填空題

13.設函數f（x）=ex-1+x3的圖象在點（1，f（1））處的切線為l，則直線l在y軸上的截距為.

14.已知x-2xn的展開式中第3項為常數項，則這個展開式中各項系數的絕對值之和為.

15.數列{an}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，稱為斐波那契數列，該數列是由十三世紀意大利數學家茉昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”.在數學上，斐波那契數列可表述為a1=a2=1，an=an-1+an-2（n≥3，n∈N*）.設該數列的前n項和為Sn，記a2023=m，則S2021=.（用m表示）

16.在平面直角坐標系中，若正方形的四條邊所在的直線分別經過點A（1，0），B（2，0），C（4，0），D（8，0），則這個正方形的面積可能為或.

四、解答題

17.已知函數

f（x）=3sinx2cosx2-cos2x2+12.

（1）設g（x）=f（-x），求函數g（x）的單調遞減區間;

（2）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D為BC邊的中點，若f（A）=12，a=3，求線段AD的長的取值范圍.

18.設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=3，S3=5a1.

（1）求數列{an}的通項公式;

（2）設bn=1+2Sn，數列{bn}的前n項和為Tn，定義[x]為不超過x的最大整數，例如[0.3]=0，[1.5]=1.當[T1]+[T2]+…+[Tn]=63時，求n的值.

19.如圖5，四棱錐P|ABCD的底面是正方體，平面PAB⊥平面ABCD，PB=AB，圖5E為BC的中點.

（1）若∠PBA=60°，證明：AE⊥PD;

（2）求直線AE與平面PAD所成角的余弦值的取值范圍.

20.設橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），圓C：（x-2m）2+（y-4m）2-1（m≠0），點F1，F2分別為E的左、右焦點，點C為圓心，O為原點，線段OC的垂直平分線為l.已知E的離心率為12，點F1，F2關于直線l的對稱點都在圓C上.

（1）求橢圓E的方程;

（2）設直線l與橢圓E相交于A，B兩點，問：是否存在實數m，使直線AC與BC的斜率之和為23？若存在，求實數m的值;若不存在，說明理由.

21.元旦將至，學校文學社擬舉辦“品詩詞雅韻，看俊采星馳”的古詩詞挑戰賽.初賽階段有個人晉級賽和團體對決賽.個人晉級賽為“信息連線”題，每位參賽者只有一次挑戰機會.比賽規則為：電腦隨機給出錯亂排列的五句古詩詞和五條相關的詩詞背景（如詩詞題名、詩詞作者等），要求參賽者將它們一一配對，有三對或三對以上配對正確即可晉級.團體對決賽為“詩詞問答”題，為了比賽的廣泛性，要求以班級為單位，各班級團隊的參賽人數不少于30人，且參賽人數為偶數.為了避免答題先后的干擾，當一個班級團隊全體參賽者都答題完畢后，電腦會依次顯示各人的答題是否正確，并按比賽規則裁定該班級團隊是否挑戰成功.參賽方式有如下兩種，各班可自主選擇其中之一參賽.

方式一：將班級團隊選派的2n個人平均分成n組，每組2人.電腦隨機分配給同一組兩個人一道相同試題，兩人同時獨立答題，若這兩個人中至少有一人回答正確，則該小組闖關成功.若這n個小組都闖關成功，則該班級團隊挑戰成功.

方式二：將班級團隊選派的2n個人平均分成2組，每組n人.電腦隨機分配給同一組n個人一道相同試題，各人同時獨立答題，若這n個人都回答正確，則該小組闖關成功.若這2個小組至少有一個小組闖關成功，則該班級團隊挑戰成功.

（1）甲同學參加個人晉級賽，他對電腦給出的五組信息有且只有一組能正確配對，其余四組都只能隨機配對，求甲同學能晉級的概率;

（2）在團體對決賽中，假設你班每位參賽同學對給出的試題回答正確的概率均為常數p（0

22.已知函數f（x）=alnx-sinx+x，其中a為非零常數.

（1）若函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍;

（2）設θ∈π，3π2，且cosθ=1+θsinθ，證明：當θ2sinθ

參考答案

題號123456789答案ABDCCDABAC題號10111213141516答案ABDBCACD-2729m-11617或365或19653

17.（1）由已知

f（x）=32sinx-122cos2x2-1

=32sinx-12cosx=sinx-π6，

則g（x）=f（-x）=sin-x-π6

=-sinx+π6，

所以當g（x）單調遞減時，函數y=sinx+π6單調遞增.

令-π2+2kπ≤x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，

得-2π3+2kπ≤x≤π3+2kπ，k∈Z，

所以函數g（x）的單調遞減區間是

-2π3+2kπ，π3+2kπ，k∈Z.

（2）因為

f（A）=sinA-π6=12，A∈（0，π），

則A=π3.

又a=3，

由余弦定理得3=b2+c2-bc，

即b2+c2=bc+3.

因為D為BC的中點，

則AD2=14（AB+AC）2

=14（b2+c2+bc）

=14（2bc+3）.

因為b2+c2≥2bc，

則bc+3≥2bc，

即0

所以34<|AD|2≤94，

即32<|AD|≤32，

所以線段AD的長的取值范圍是32，32.

18.（1）設等差數列{an}的公差為d，

因為a1=3，

所以S3=3a1+3d=9+3d.

因為S3=5a1=15，

所以9+3d=15，d=2，

故an=3+2（n-1）=2n+1.

（2）因為Sn=3n+n（n-1）2×2=n2+2n，

則bn=1+2Sn=1+2n（n+2）=1+1n-1n+2，

所以Tn

=n+1-13+12-14+13-15+…+

1n-1-1n+1+1n-1n+2

=n+1+12-1n-1n+2.

當n≤2時，-13≤12-1n+1-1n+2<0，

則[Tn]=n.

當n≥3時，0<12-1n+1-1n+2<12，

則[Tn]=n+1，

因為[T1]+[T2]+…+[Tn]=63，

則1+2+4+5+…+（n+1）=63，

即3+（n-2）（4+n+1）2=63，

n2+3n-130=0，

解得n=10.

19.（1）平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，

則AD⊥平面PAB，AD⊥AP，

從而AB·AD=0，AP·AD=0.

又PB=AB，∠PBA=60°，

所以△PAB為正三角形.

設AB=2，則AD=AP=2，

所以〓AE·PD=（AB+BE）·（AD-AP）

=AB+12AD·（AD-AP）

=12AD2-AB·AP

=2-4cos60°=0，

所以AE⊥PD.

（2）如圖6，分別取PA，PD的中點G，H，

圖6

則GH瘙綊12AD.

又BE瘙綊12AD，

則GH瘙綊BE，

所以四邊形BGHE為平行四邊形，

從而EH∥BG.

因為PB=AB，BG⊥PA，

平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，

則AD⊥平面PAB，AD⊥BG，

所以BG⊥平面PAD，

從而EH⊥平面PAD.

連接AH，則

∠EAH為直線AE與平面PAD所成的角.

設正方形ABCD的邊長為1，

PA=x（0

則BE=GH=12，AG=x2，

從而AE=AB2+BE2=52，

AH=AG2+GH2=x2+12.

在Rt△AHE中，

cos∠EAH=AHAE=x2+15.

當0

則cos∠EAH∈55，1，

所以直線AE與平面PAD所成角的余弦值的取值范圍是55，1.

20.（1）由已知e=ca=12，則a=2c.

設點F1，F2關于直線l的對稱點分別為M，N，

因為點O，C關于直線l對稱，

O為線段F1F2的中點，

則C為線段MN的中點，

從而線段MN為圓C的一條直徑，

所以|F1F2|=|MN|=2，即2c=2，c=1.

于是a=2，b2=a2-c2=3，

所以橢圓E的方程是x24+y23=1.

（2）因為原點O為線段F1F2的中點，圓心C為線段MN的中點，直線l為線段OC的垂直平分線，

所以點O與C也關于直線l對稱.

因為點C（2m，4m），則線段OC的中點為（m，2m），直線OC的斜率為2，

又直線l為線段OC的垂直平分線，

所以直線l的方程為y-2m=-12（x-m），

即y=-12x+5m2.

將y=-12x+5m2代入x24+y23=1，得

3x2+4-x2+5m22=12，

即4x2-10mx+25m2-12=0.

設點A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=5m2，x1x2=25m2-124，

所以kAC+kBC=y1-4mx1-2m+y2-4mx2-2m

=-12x1+3mx1-2m+x2+3mx2-2m

=-（x1+3m）（x2-2m）+（x2+3m）（x1-2m）2（x1-2m）（x2-2m）

=-2x1x2+m（x1+x2）-12m22x1x2-4m（x1+x2）+8m2.

由kAC+kBC=23，

得2x1x2+m（x1+x2）-12m22x1x2-4m（x1+x2）+8m2+23=0，

2x1x2-m（x1+x2）-4m2=0，

所以25m2-122-5m22-4m2=0，

解得m=±1，

因為直線l與橢圓E相交，則

Δ=100m2-16（25m2-12）>0，

解得m2<1625，|m|<45，

所以不存在實數m，使直線AC與BC的斜率之和為23.

21.（1）設甲同學正確配對3對為事件A，正確配對5對為事件B，甲同學能晉級為事件C，

則C=A+B，且A，B互斥.

因為甲同學只有一組能正確配對，其余四組都隨機配對，

則P（A）=C24A44=14，P（B）=1A44=124，

從而P（C）=P（A）+P（B）=14+124=724，

所以甲同學能晉級的概率為724.

（2）設選擇方式一、二的班級團隊挑戰成功的概率分別為P1，P2.

當選擇方式一時，

因為兩人都回答錯誤的概率為（1-p）2，

則兩人中至少有一人回答正確的概率為

1-（1-p）2，

所以P1=[1-（1-p）2]n=pn（2-p）n.

當選擇方式二時，因為一個小組闖關成功的概率為pn，則一個小組闖關不成功的概率為1-pn，

所以P2=1-（1-pn）2=pn（2-pn），

所以P1-P2=pn（2-p）n-pn（2-pn）

=pn[（2-p）n+pn-2].

設f（n）=（2-p）n+pn-2，

則f（n+1）-f（n）

=（2-p）n+1+pn+1-（2-p）n-pn

=（2-p）n（1-p）+pn（p-1）

=（1-p）[（2-p）n-pn].

因為0

則1-p>0，2-p>1，

從而（2-p）n>1，pn<1，

所以f（n+1）-f（n）>0，

即f（n+1）>f（n），

所以f（n）單調遞增.

因為f（2）=（2-p）2+p2-2=2p2-4p+2

=2（p-1）2>0，

則當n≥15時，f（n）>0，

從而P1-P2>0，即P1>P2，

所以為使本班挑戰成功的可能性更大，應選擇方式一參賽.

22.（1）f′（x）=ax-cosx+1（x>0）.

若a>0，因為x>0，1-cosx≥0，則f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增，符合要求.

若a<0，則當x∈0，-a2時，ax<-2，

從而f′（x）<-2-cosx+1=-（1+cosx）≤0，

所以f（x）在0，-a2上單調遞減，不符合要求.

綜上知，a的取值范圍是（0，+∞）.

（2）令f′（x）=0，

則ax-cosx+1=0，

即a=xcosx-x.

設g（x）=xcosx-x，

則g′（x）=cosx-xsinx-1.

①當x∈（0，π）時，cosx<1，sinx>0，

則cosx-1<0，-xsinx<0，

從而g′（x）<0，g（x）單調遞減.

②當x∈π，3π2時，

g″（x）=-sinx-（sinx+xcosx）

=-（2sinx+xcosx）.

因為sinx<0，cosx<0，

則g″（x）>0，g′（x）單調遞增，

因為g′（π）=-2<0，

g′3π2=3π2-1>0，

則g′（x）在π，3π2上有唯一零點，記為x0，

且當x∈（π，x0）時，g′（x）<0，g（x）單調遞減;

當x∈x0，3π2時，g′（x）>0，g（x）單調遞增.

③當x∈3π2，2π時，

g（x）=-（2cosx+cosx-xsinx）

=xsinx-3cosx.

因為sinx<0，cosx>0，

則g（x）<0，g″（x）單調遞減.

因為g″3π2=2>0，g″（2π）=-2π<0，

則g″（x）在3π2，2π內有唯一零點，記為x1，且

當x∈3π2，x1時，g″（x）>0，g′（x）單調遞增;

當x∈（x1，2π）時，g″（x）<0，g′（x）單調遞減.

因為g′3π2=3π2-1>0，g′（2π）=0，

則當x∈3π2，2π時，g′（x）>0，g（x）單調遞增.

綜上知，g（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0，2π）上單調遞增.

因為g（0）=g（2π）=0，

則當g（x0）

從而f′（x）有兩個變號零點，即f（x）在（0，2π）上恰有兩個極值點.

因為g′（x0）=0，

則cosx0-x0sinx0-1=0，

即cosx0=1+x0sinx0，

從而g（x0）=x0cosx0-x0

=x0（1+x0sinx0）-x0=x20sinx0.

取θ=x0，則cosθ=1+θsinθ，

且當θ2sinθ