基于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)下初高中函數(shù)的銜接問題

趙越

【摘要】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是當(dāng)代每個人都應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).在初高中的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)知識存在一定的關(guān)聯(lián)性.在初中階段，基于學(xué)生身心發(fā)展的特點，對于“函數(shù)”這樣具有抽象性的名詞，學(xué)生會感到陌生與不適，此時需要教師給予專業(yè)的指導(dǎo)與評價;在高中階段，會進(jìn)一步加深對函數(shù)的學(xué)習(xí)，引申出其他的基本初等函數(shù)的概念、圖象以及性質(zhì).本文將從函數(shù)的知識關(guān)聯(lián)性領(lǐng)域，學(xué)生如何能更好地接受函數(shù)的領(lǐng)域和教師如何講授函數(shù)的領(lǐng)域進(jìn)行剖析，希望能為初高中（函數(shù)部分）銜接過程中存在問題的學(xué)生提供一些幫助.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);高中數(shù)學(xué);函數(shù)

1 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對函數(shù)的要求

1.1 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對函數(shù)的要求

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)重要的組成部分，它具有一定的抽象性.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對函數(shù)部分的要求是[1]：

（1）探索實際生活案例中的變化規(guī)律以及數(shù)量關(guān)系，了解常量（在某一變化過程中，取值固定不變的量）和變量（在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量）的概念;

（2）了解函數(shù)的概念（函數(shù)、自變量、因變量）和三種表示方法（圖象法、列表法、解析式法），可以列舉出函數(shù)的具體實例;

（3）能結(jié)合實例判斷出函數(shù)自變量x變化的范圍;

（4）在不同的實際案例中，可以應(yīng)用不同的表示函數(shù)的方法去表達(dá).

1.2 《普通數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對函數(shù)的要求

函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的主線.《普通數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對函數(shù)的要求是[2]：

（1）在初中學(xué)習(xí)函數(shù)概念的基礎(chǔ)之上，能利用集合的知識刻畫函數(shù)的定義，了解集合與函數(shù)之間的關(guān)系;

（2）理解函數(shù)的三要素（定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系），以及在實際案例中能求得相應(yīng)的結(jié)果;

（3）了解分段函數(shù)的概念，并能做簡單的應(yīng)用;

（4）掌握函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）的概念及其幾何意義.

綜合初中和高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對函數(shù)的要求，說明函數(shù)的知識十分重要.學(xué)生掌握函數(shù)的相關(guān)概念對提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及在實際生活方面有很大的益處.

2 初高中函數(shù)概念的銜接問題及解決辦法

2.1 初高中階段函數(shù)概念

（1）初中階段函數(shù)的概念：在某一變化過程中，存在兩個變量，例如x和y，對于任意的一個變量x，都有唯一確定的y值與之相對應(yīng)，此時稱y是x的函數(shù).其中，x叫做自變量，y叫做因變量.

（2）高中階段函數(shù)的概念：設(shè)集合A、集合B是兩個非空的數(shù)集，對于集合A中的任意一個變量x，通過一定的對應(yīng)關(guān)系f作用后，在集合B中都有唯一確定的fx值與之相對應(yīng)，此時稱f：A→B為從集合A到集合B的一種函數(shù)關(guān)系[3].

2.2 初高中函數(shù)概念的銜接問題

對于學(xué)生而言：（1）在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時，對概念性的定義理解不深刻，記憶模糊甚至是遺忘;（2）在高中初學(xué)函數(shù)時，由于結(jié)合集合的相關(guān)概念來刻畫函數(shù)的概念，如果對于集合的知識掌握不好，會導(dǎo)致對函數(shù)概念的理解出現(xiàn)問題;（3）出現(xiàn)新的符號fx，與初中學(xué)習(xí)的y的概念混淆.

對于教師而言：（1）初中教師講授函數(shù)的概念時，沒有適當(dāng)引入與高中相關(guān)的知識;（2）高中教師講授函數(shù)的概念時，沒有導(dǎo)入復(fù)習(xí)初中函數(shù)的概念;（3）高中教師對函數(shù)的概念理解不深刻，對于概念性的定義一帶而過，沒有注重知識的關(guān)聯(lián)性.

2.3 針對初高中函數(shù)概念的銜接問題提出相應(yīng)的解決辦法

（1）學(xué)生應(yīng)深刻理解函數(shù)的概念，注意初高中對函數(shù)概念的異同點;

（2）初中教師在講授函數(shù)的概念時，要適當(dāng)拓展高中知識，告知學(xué)生們學(xué)習(xí)函數(shù)的重要性;

（3）高中教師在講授函數(shù)的概念時，要結(jié)合初中函數(shù)的概念和集合的相關(guān)知識，讓學(xué)生們獨(dú)立總結(jié)函數(shù)概念;

（4）教師可指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出函數(shù)概念中的精華：“x任意，y唯一”，即對于任意的一個x值，都有唯一的一個y值與之相對應(yīng).

3 初高中函數(shù)性質(zhì)的銜接問題及解決辦法

3.1 初高中階段函數(shù)性質(zhì)

（1）初中階段函數(shù)的性質(zhì)：學(xué)生主要學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù).在探究以上三類函數(shù)的性質(zhì)時，會涉及在某個范圍內(nèi)，圖象呈上升（下降）趨勢，y隨x的增大而增大（減小）;以正比例函數(shù)y=kx其中k是常數(shù)，k≠0為例，其圖象是一條過原點的直線，同時該直線關(guān)于原點對稱;以二次函數(shù)y=ax2其中a是常數(shù)，a≠0為例，其圖象是以（0，0）點為頂點的一條拋物線，同時該拋物線關(guān)于y軸對稱.

（2）高中階段函數(shù)的性質(zhì)：學(xué)生主要學(xué)習(xí)的函數(shù)有冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)（正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)）.在探究以上函數(shù)的性質(zhì)時，一般從函數(shù)的定義域（x變化的范圍）、值域（y變化的范圍）、單調(diào)性、奇偶性、定點等方面著手.

3.2 初高中函數(shù)性質(zhì)的銜接問題

對于學(xué)生而言：（1）在高中學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象和性質(zhì)后，沒有建立完整函數(shù)的體系;（2）函數(shù)性質(zhì)相對來說比較多，學(xué)生記憶出現(xiàn)混亂;（3）雖然已經(jīng)掌握函數(shù)的性質(zhì)，但沒有應(yīng)用的能力.

對于教師而言：（1）初中教師講授函數(shù)性質(zhì)時，沒有指導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)特定函數(shù)的特定性質(zhì);（2）初中教師講授函數(shù)性質(zhì)時，沒有拓展延伸高中相關(guān)知識;（3）高中教師講授函數(shù)性質(zhì)時，沒有注重與初中函數(shù)性質(zhì)的對比.

3.3 針對初高中函數(shù)性質(zhì)的銜接問題提出相應(yīng)的解決辦法

（1）學(xué)生們在學(xué)習(xí)每一個函數(shù)的性質(zhì)后，都應(yīng)記憶清楚，以免出現(xiàn)倒攝抑制;

（2）初中教師在講授反比例函數(shù)增減區(qū)間時，要注意“在每個象限內(nèi)”的引導(dǎo);

（3）高中教師在講授冪函數(shù)的性質(zhì)時，應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生們復(fù)習(xí)初中所學(xué)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì);

（4）高中教師在講授函數(shù)性質(zhì)時，可適當(dāng)編口訣，以便學(xué)生理解和記憶.例如，在講解函數(shù)單調(diào)性時：在區(qū)間a，b，當(dāng)x1fx2，則稱函數(shù)在a，b為單調(diào)遞減函數(shù);此時可總結(jié)為“同增異減”[4].

4 初高中函數(shù)與其他知識點的關(guān)聯(lián)問題

4.1 初高中函數(shù)與方程、不等式的關(guān)聯(lián)問題

4.1.1 初高中函數(shù)與方程的關(guān)系

以一次函數(shù)與二元一次方程（組）為例：一次函數(shù)經(jīng)過變換可變?yōu)槎淮畏匠?一次函數(shù)的圖象是由無數(shù)個點組成的直線，對于二元一次方程而言，會出現(xiàn)無數(shù)組解.由此可知一次函數(shù)圖象上的點與二元一次方程的解是一一對應(yīng)的[5];同理可得出結(jié)論，二元一次方程組的解是兩個一次函數(shù)交點的橫縱坐標(biāo)值.類比歸納，對于兩個不同的函數(shù)求交點坐標(biāo)時，只需將兩函數(shù)聯(lián)立解方程組即可.

4.1.2 初高中函數(shù)與不等式的關(guān)系

以一次函數(shù)y=kx+b其中k，b是常數(shù)，k≠0與反比例函數(shù)y=kx其中k是常數(shù)，k≠0為例：求出kx+b>kx的解集？實則可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)圖象在上、反比例函數(shù)圖象在下的問題.類比歸納，對于兩個不同函數(shù)求不等式問題時，只需畫出函數(shù)圖象，數(shù)值大的圖象在上、數(shù)值小的圖象在下，求得結(jié)果時應(yīng)注意看x的變化范圍.

以二次函數(shù)為例：求二次函數(shù)與x軸的交點個數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的判別式問題.對于一元二次方程而言，根的判別式

Δ=b2-4ac>0，=0，<0，有兩個不相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根 沒有實數(shù)根，

轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與x軸的交點個數(shù)也可用公式b2-4ac>0，=0，<0，與x軸兩個交點與x軸一個交點與x軸沒有交點.

由此引申至高中所學(xué)函數(shù)零點問題：函數(shù)的零點函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)值一元二次方程的實數(shù)根.

4.2 初中銳角三角函數(shù)與高中三角函數(shù)的關(guān)聯(lián)問題

在初中解直角三角形一章包含了銳角三角函數(shù)的內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生心理發(fā)展規(guī)律以及認(rèn)知特點，初中在進(jìn)行教學(xué)時，講解了銳角（30°，45°，60°）的正弦值、余弦值、正切值.在高中講解三角函數(shù)時，加大了涉及的廣度、難度以及深度.在高中的教材中，將三角函數(shù)獨(dú)立成章，足見其重要性.

4.3 在學(xué)習(xí)函數(shù)與其他知識點關(guān)聯(lián)問題時，應(yīng)注意的幾個方面

（1）學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)知識后，可以多關(guān)注身邊的實例，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中函數(shù)的知識，利用已有的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析求解;

（2）函數(shù)知識的學(xué)習(xí)，是鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維.因此，初中教師在進(jìn)行銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)時，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)告知學(xué)生，銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)是為高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)做鋪墊;

（3）初中教師在講完初中課程后，可及時歸納函數(shù)、方程以及不等式之間的關(guān)系;

（4）高中教師在講解三角函數(shù)時，注意與初中知識的關(guān)聯(lián)性，由淺入深、循序漸進(jìn);

（5）教師在講解函數(shù)知識時，關(guān)注學(xué)生的身心素質(zhì)和思維，要適應(yīng)新課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，把握函數(shù)的銜接性，以及函數(shù)的應(yīng)用性[6];

（6）教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從多方面認(rèn)識函數(shù)[7]，通過函數(shù)的教學(xué)滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)史以及數(shù)學(xué)思想.

5 結(jié)語

函數(shù)是一種“工具”，函數(shù)是一種“操作程序”，函數(shù)更是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維的一種“方法”.對于函數(shù)的學(xué)習(xí)，從初中過渡到高中，應(yīng)將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)貫穿教學(xué)活動當(dāng)中，教師應(yīng)當(dāng)重視函數(shù)部分的內(nèi)容和方法的銜接，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，掌握函數(shù)的學(xué)習(xí)方法[8].

本文首先從課程標(biāo)準(zhǔn)對函數(shù)學(xué)習(xí)的要求入手，強(qiáng)調(diào)函數(shù)學(xué)習(xí)的重要性;其次，分析初高中對函數(shù)概念的異同點，為初高中函數(shù)概念的銜接提供了解決辦法;再次，辨析初高中的函數(shù)性質(zhì)，為初高中函數(shù)性質(zhì)的銜接提供了解決辦法;最后，梳理函數(shù)與其他知識點的關(guān)聯(lián)問題，并給出建議.初高中數(shù)學(xué)函數(shù)的銜接問題一定不止于此，以期其他學(xué)者、一線教師或其他科研人員補(bǔ)充總結(jié).

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