三角形內切圓的半徑公式及其應用

彭長軍

【摘要】 任何三角形都有唯一的內切圓，該圓的圓心就是三內角平分線的交點，半徑就是圓心到三邊的距離，其大小不僅與三角形的周長有關，而且還與三角形的面積有關，在許多與內切圓有關的三角形問題中都會涉及到半徑，因此，本文首先推導出三角形內切圓的半徑公式，然后舉例予以說明.

【關鍵詞】 三角形;內切圓;半徑;應用

如圖1，設△ABC的三邊長分別為BC=a，CA=b，AB=c，半周長為p=a+b+c2，內切圓O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F，圓O的半徑為r，連接OD，OE，OF，OA，OB，OC，則

OE⊥BC，OF⊥AC，OD⊥AB.

且OD=OE=OF=r.

于是S△ABC=S△OBC+S△OCA+S△OAB

=12ar+12br+12cr

=12（a+b+c）r

=pr，

由此可得三角形內切圓的半徑

r=S△ABCp.①

如圖2，設直角△ABC的兩直角邊長分別為BC=a，CA=b，斜邊AB=c，內切圓O與AB，BC，CA分別相切于D，E，F，圓O的半徑為r.連接OE，OF，則四邊形OECF為正方形.

設BE=BD=x，

AD=AF=y，

則x+r=a，y+r=b，x+y=c，

由此可得直角三角形內切圓的半徑

r=a+b-c2=a+b+c2-c=p-c，

其中p為半周長.

由公式①及直角三角形的面積公式S=12ab，得直角三角形內切圓半徑r=aba+b+c，

其中a，b為兩直角邊長，c為斜邊長.

下面舉例予以說明.圖3

例1 在△ABC中，已知AB=8，BC=15，∠B=60°，求△ABC的內切圓的面積.

解法1 如圖3，過A作AD⊥BC于D，

則AD=ABsin60°=43，

BD=ABcos60°=4，

所以DC=11，

從而AC=AD2+DC2=13，

所以S△ABC=12BC·AD=303.

設△ABC的內切圓半徑為r，則

r=2S△ABCAB+BC+CA=6038+15+13=533，

所以△ABC的內切圓的面積為πr2=253π.

解法2 因為S△ABC=12AB·BCsin60°

=303，

所以內切圓半徑為r=2S△ABCAB+BC+CA=533，

其面積為253π.

注 因為AD=ABsinB，

所以S△ABC=12BC·AD=12BC·ABsinB，

同理可得S△ABC=12BC·ACsinC

=12AC·ABsinA，

即三角形的面積等于兩邊與其夾角正弦乘積的一半.

例2 已知等腰三角形的頂角為120°，內切圓的面積為12πcm2，求這個等腰三角形的各邊的長.

解 易知內切圓半徑為23cm.

設等腰三角形的腰長為xcm，則其

底邊長為2xsin60°=3x（cm），

底邊上的高為x2cm，

所以12×3x×x2=12（2+3）x×23，

即x=8+43，

所以這個等腰三角形的各邊長分別為

8+43cm，12+83cm，8+43cm.

例3 已知Rt△ABC的周長為6+23，斜邊上的中線長為2，求其內切圓半徑長r.

解 易知斜邊長為4，半周長為3+3，

所以r=3+3-4=3-1.

例4 在△ABC中，∠C=90°，若此三角形的面積與其周長的數值相等，求a+b-c的值.

解 設內切圓半徑為r，

則pr=2pr=2，

所以a+b-c=2r=4.

例5 在△ABC中，三邊上的高分別為ha，hb，hc，內切圓半徑為r，求證：1r=1ha+1hb+1hc.

證明 因為

S△ABC=pr=12aha=12bhb=12chc，

所以1ha=a2pr，1hb=b2pr，1hc=c2pr，

所以1ha+1hb+1hc=a2pr+b2pr+c2pr

=a+b+c2pr

=2p2pr=1r.

例6 已知△ABC的內切圓的半徑r=3，且∠B=60°，BC=8，求AB和AC的長.

解 如圖4，因為

OE=3，

∠OBE=30°，

所以BE=3，

CE=8-3=5，

由切線長定理知 BD=3，CF=5.

設AD=AF=x，則半周長p=x+8.

由S△ABC=12AB·BCsin60°=pr，得x=2，

所以AB=x+3=5，

AC=x+5=7.

例7 求邊長分別為6cm，8cm，10cm的三角形的內心與外心間的距離.

解 顯然三角形為直角三角形.

如圖，設O是內心，G為外心，AC=6，

BC=8，

AB=10.

因為OD=12（BC+CA-AB）

=12（6+8-10）

=2，

所以AD=AF=AC-CF=6-2=4，

所以DG=5-4=1，

所以OG=22+12=5.