初中數學解題教學中幾何變換法的有效應用

馬雄政

【摘要】隨著教育教學的不斷變換，初中數學教學內容將以往的“幾何”轉換為“空間與圖像”，這不僅增加了圖形與變換的內容，還在一定的程度上使得學生的思維從靜態向動態轉變.因此，本文將從“旋轉變換”、“平移變換”、“軸對稱變換”、“相似變換”四個方面對幾何變換法在數學解題中的有效應用進行討論，期望能夠指導學生掌握解題方法，達到快速且高效解題的目的.

【關鍵詞】初中數學;幾何變換法;解題方法

1 旋轉變換的應用

旋轉變換是初中數學解決幾何問題的一種較為常用的方法.學生在解決一些較為復雜的幾何問題時，教師們可以運用旋轉變換將復雜的問題簡單化，這不僅有利于學生對圖形本質進行認識，還能夠有效提高學生解決幾何問題的能力.例1是在題中給出變換，需要學生對生成圖形的性質進行探究.

例1 如圖1所示，已知在△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC，點D在AB上，連接CD，并將CD繞點C順時針旋轉90°至CE的位置，連接AE，請證明AE⊥AB.

分析 從題干可知其中含有等腰三角形以及正方形的幾何問題，可以通過全等三角形進行論證，但是沒有旋轉變換的角度考察問題來得方便.

解 由∠ACB=90°，且AC=BC可以得到∠CAB=∠CBA=45°.

因為AC為BC旋轉90°得到，

且CD順時針旋轉90°到CE，

所以△BCD繞點C順時針旋轉90°可以得到△ACE，

且∠CAE=∠CBA=45°，

所以∠CAB+∠CAE=45°+45°=90°，

所以AE⊥AB.

2 平移變換的應用

在幾何變換中平移變換是最為基礎的變換方法.平移變換是保持兩點間距離不變的變換，這種變換下圖形的大小和形狀不變，實質是全等變換.因此，平移變換在幾何解題中的應用能夠有效幫助學生解決問題.

例2 如圖2所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD+BC=3，AC= 3，BD= 6，請求出梯形ABCD的面積.

分析 平移變換經常會用于與平行線、中線等相關的問題中.本題需要學生們利用平移變換將題干中的已知條件進行適當集中，使得題干中隱含的條件得到充分展示，這樣能夠使得學生快速解題.

解 將BD沿著BC方向平移至CE位置，

得到平行四邊形BCDE，

因為AD∥BC，

所以點E在AD的延長線上，

所以CE=BD= 6，

AE=AD+DE=AD+BC=3，

又因為AC= 3，且AC2+CE2=AE2，

所以AC⊥CE.

設點C到直線AD的距離為h，

所以h=AC·CEAE= 2.

所以S梯形ABCD=12（AD+BC）h

=12×3× 2

=3 22.

3 軸對稱變換的應用

在初中數學幾何解題中，軸對稱變換就是將題設中已知或隱形的某直線為軸，將圖形翻折所進行的全等變換.軸對稱變換是利用全等形的性質來遷移題設條件及彌補題設之不足而達到解決問題的有效方法.

例3 如圖3所示，在等腰三角形ABC中，D、E為斜邊AC上的點，滿足∠DBE=45°，求證：DE2=AD2+CE2.

分析 本例題的結論提醒AD、CE、DE首尾相連可以構成直角三角形，因此本題可以借助軸對稱變換進行解題.同樣的，旋轉變換也能夠使得問題得證.

證明 如圖3所示，作AB關于AD的對稱線段BF，連接DF、EF，

所以∠DFB=∠DAB=45°，DF=AD，BF=BA=BC.

因為∠EBF=45°-∠DBF=45°-∠DBA=∠EBC，

又因為BE=BE，

所以△BEF≌△BEC.

所以EF=EC，∠BFE=∠BCE=45°，

∠BFE+∠BFD=90°，

所以DE2=DF2+EF2，

所以DE2=AD2+CE2.

4 相似變換的應用

所謂相似變換就是指代把一個圖形放大或者縮小若干倍后得到的圖形跟原來的圖形相似.在初中數學教學中，相似變換的用途十分廣泛.

例4 如圖4所示，為了測量金字塔的高度OB，先豎一根已知長度的木棒O′B′比較棒子的影長A′B′與金字塔的影長AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′=1米，A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.

分析 對于一些生活實際案例的解題中，教師們需要引導學生們充分利用相似變換的性質，使得學生們能夠將提議整合為熟悉的幾何圖形，從而找到解題的思路.

解 因為太陽光是平行光線，

所以∠OAB=∠O′A′B′，

因為∠ABO=∠A′B′O′=90°，

所以△OAB∽△O′A′B′，

所以OBO′B′=ABA′B′

所以OB=AB×O′B′A′B′=274×12=137（米），

即金字塔高度OB為137米.

綜上所述，在初中幾何問題的解題教學中，教師們需要引導學生養成相應的解題思路.幾何變換法是解決平面幾何問題的重要方法.無論是旋轉變換、平移變換、軸對稱變換還是相似變換都有其自身的優點和局限性，數學教師們可以讓學生對具體問題進行具體分析，根據問題中的特征選取合適的解題方法.

參考文獻：

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